0:00:07.603,0:00:11.000
這看起來像是一堆整齊、[br]精心排列的數字[br]

0:00:11.000,0:00:14.506
其實是個數學百寶箱

0:00:14.506,0:00:18.654
印度數學家稱之為「須彌山之梯」

0:00:18.654,0:00:21.131
在伊朗稱作「海亞姆三角形」

0:00:21.131,0:00:23.738
在中國稱作「楊輝三角」

0:00:23.738,0:00:28.033
對多數西方世界來說，[br]它是「帕斯卡三角形」[br]

0:00:28.033,0:00:31.085
由法國數學家 布萊茲·帕斯卡 而得名

0:00:31.085,0:00:35.234
似乎有些不公平，[br]他的研究時間明顯較晚[br]

0:00:35.234,0:00:37.476
但他仍有許多貢獻

0:00:37.476,0:00:42.270
究竟是什麼讓世界上的數學家[br]如此感興趣呢？[br]

0:00:42.270,0:00:46.124
簡單來說，它充滿了許多型式和秘密

0:00:46.124,0:00:49.428
首先且最重要的， [br]有個產生三角形的型式[br]

0:00:49.428,0:00:54.477
從 1 開始，然後想像它的左右各有一個 0

0:00:54.477,0:00:58.592
將它們兩兩相加，便能得到下一列

0:00:58.592,0:01:02.066
然後不斷的重複

0:01:02.066,0:01:05.784
繼續下去，你會得到像這樣的東西

0:01:05.784,0:01:09.325
按理來說，帕斯卡三角形是無限大的

0:01:09.325,0:01:18.904
每一列對應到二項式 (x+y)^n[br]展開時的係數 [br]

0:01:18.904,0:01:21.307
n 代表列數

0:01:21.307,0:01:23.746
從 0 開始算起

0:01:23.746,0:01:26.552
所以，當 n=2 並將式子展開

0:01:26.552,0:01:31.107
你會得到 (x^2) + 2xy + (y^2)

0:01:31.107,0:01:34.023
其係數，即在變數前的數字

0:01:34.023,0:01:38.397
與帕斯卡三角形裡[br]對應列的數字完全吻合[br]

0:01:38.397,0:01:43.256
同樣地，當 n=3 時[br]展開會得到這樣的係數[br]

0:01:43.256,0:01:48.493
所以，要查詢所有係數時，[br]這三角形是快又簡單的方式[br]

0:01:48.493,0:01:50.037
還不止這樣

0:01:50.037,0:01:52.897
譬如，個別把每列的數字加起來

0:01:52.897,0:01:56.039
你會得到連續的 2 的次方

0:01:56.039,0:02:01.221
或是將其中一列作十進位展開

0:02:01.221,0:02:07.835
也就是說[br]第二列就變成 (1x1) + (2x10) + (1x100)[br]

0:02:07.835,0:02:12.111
會得到 121，也就是 11^2

0:02:12.111,0:02:15.872
看看如果對第六列也這樣做，[br]會發生什麼事[br]

0:02:15.872,0:02:25.136
總和是 1,771,561, 也就是 11^6，以此類推

0:02:25.136,0:02:27.890
除此之外也有幾何的運用

0:02:27.890,0:02:29.691
看一下對角線

0:02:29.691,0:02:34.117
最前面兩個不怎麼有趣：全都是 1，[br]再來就是正整數

0:02:34.117,0:02:36.656
即是所謂的自然數

0:02:36.656,0:02:40.707
但下一個對角線數字就是三角形數

0:02:40.707,0:02:42.783
因為如果拿這些數目的點

0:02:42.783,0:02:46.389
你可以把它們組成一個個正三角形

0:02:46.389,0:02:49.307
下一條對角線是四面體的數字

0:02:49.307,0:02:54.622
因為同樣地，[br]你能用這數目的球堆出四面體[br]

0:02:54.622,0:02:57.996
或這樣，把奇數的部分上色

0:02:57.996,0:03:00.881
當三角形還小時，看起來不怎麼樣

0:03:00.881,0:03:03.298
但若是加到好幾千列

0:03:03.298,0:03:07.439
會得到一個碎形，[br]稱為「謝爾賓斯基三角形」[br]

0:03:07.439,0:03:10.756
這三角形不只是個數學的藝術

0:03:10.756,0:03:12.742
它也相當的實用

0:03:12.742,0:03:18.571
尤其在組合數學領域裡的[br]機率和計算 [br]

0:03:18.571,0:03:20.454
假設，你想要有 5 個小孩

0:03:20.454,0:03:22.270
想知道理想中的家庭

0:03:22.270,0:03:26.590
有 3 個女孩和 2 個男孩的機率

0:03:26.590,0:03:28.388
在二項式展開中

0:03:28.388,0:03:32.116
相當於女加男的 5 次方

0:03:32.116,0:03:33.660
所以我們看第五列

0:03:33.660,0:03:37.131
第一個數字[br]代表有 5 個女孩的可能性[br]

0:03:37.131,0:03:39.929
最後一個數字[br]代表有 5 個男孩的可能性[br]

0:03:39.929,0:03:42.692
而第三個數字就是我們要找的

0:03:42.692,0:03:46.642
整列所有可能性總和[br]當中的 10 個可能性[br]

0:03:46.642,0:03:51.490
因此機率為 10/32，也就是 31.25%

0:03:51.490,0:03:55.316
或是你隨機在 12 個朋友中

0:03:55.316,0:03:57.084
挑出 5 人組籃球隊

0:03:57.084,0:04:00.102
總共會有多少種五人組合呢？

0:04:00.102,0:04:05.062
在組合數學術語中， [br]這問題的用語表達是 12 取 5[br]

0:04:05.062,0:04:07.237
可用此公式算出

0:04:07.237,0:04:11.708
或是你可查三角形第 12 列的第 6 個數字

0:04:11.708,0:04:13.383
得到你要的答案

0:04:13.383,0:04:15.079
帕斯卡三角形中的諸多型式

0:04:15.079,0:04:19.387
是由數學優雅交織而成的驗證

0:04:19.387,0:04:23.271
至今仍為我們揭開新的秘密

0:04:23.271,0:04:27.422
舉例來說，[br]數學家們最近找到一個方法來展開[br]

0:04:27.422,0:04:30.019
像這樣的多項式

0:04:30.019,0:04:31.758
接下來會有怎樣的發現呢？

0:04:31.758,0:04:34.097
就要看你囉！

0:04:34.102,0:04:39.822
翻譯：Kelly Liu