WEBVTT

00:00:07.603 --> 00:00:11.000
這看起來像是一堆整齊、
精心排列的數字


00:00:11.000 --> 00:00:14.506
其實是個數學百寶箱

00:00:14.506 --> 00:00:18.654
印度數學家稱之為「須彌山之梯」

00:00:18.654 --> 00:00:21.131
在伊朗稱作「海亞姆三角形」

00:00:21.131 --> 00:00:23.738
在中國稱作「楊輝三角」

00:00:23.738 --> 00:00:28.033
對多數西方世界來說，
它是「帕斯卡三角形」


00:00:28.033 --> 00:00:31.085
由法國數學家 布萊茲·帕斯卡 而得名

00:00:31.085 --> 00:00:35.234
似乎有些不公平，
他的研究時間明顯較晚


00:00:35.234 --> 00:00:37.476
但他仍有許多貢獻

00:00:37.476 --> 00:00:42.270
究竟是什麼讓世界上的數學家
如此感興趣呢？


00:00:42.270 --> 00:00:46.124
簡單來說，它充滿了許多型式和秘密

00:00:46.124 --> 00:00:49.428
首先且最重要的， 
有個產生三角形的型式


00:00:49.428 --> 00:00:54.477
從 1 開始，然後想像它的左右各有一個 0

00:00:54.477 --> 00:00:58.592
將它們兩兩相加，便能得到下一列

00:00:58.592 --> 00:01:02.066
然後不斷的重複

00:01:02.066 --> 00:01:05.784
繼續下去，你會得到像這樣的東西

00:01:05.784 --> 00:01:09.325
按理來說，帕斯卡三角形是無限大的

00:01:09.325 --> 00:01:18.904
每一列對應到二項式 (x+y)^n
展開時的係數 


00:01:18.904 --> 00:01:21.307
n 代表列數

00:01:21.307 --> 00:01:23.746
從 0 開始算起

00:01:23.746 --> 00:01:26.552
所以，當 n=2 並將式子展開

00:01:26.552 --> 00:01:31.107
你會得到 (x^2) + 2xy + (y^2)

00:01:31.107 --> 00:01:34.023
其係數，即在變數前的數字

00:01:34.023 --> 00:01:38.397
與帕斯卡三角形裡
對應列的數字完全吻合


00:01:38.397 --> 00:01:43.256
同樣地，當 n=3 時
展開會得到這樣的係數


00:01:43.256 --> 00:01:48.493
所以，要查詢所有係數時，
這三角形是快又簡單的方式


00:01:48.493 --> 00:01:50.037
還不止這樣

00:01:50.037 --> 00:01:52.897
譬如，個別把每列的數字加起來

00:01:52.897 --> 00:01:56.039
你會得到連續的 2 的次方

00:01:56.039 --> 00:02:01.221
或是將其中一列作十進位展開

00:02:01.221 --> 00:02:07.835
也就是說
第二列就變成 (1x1) + (2x10) + (1x100)


00:02:07.835 --> 00:02:12.111
會得到 121，也就是 11^2

00:02:12.111 --> 00:02:15.872
看看如果對第六列也這樣做，
會發生什麼事


00:02:15.872 --> 00:02:25.136
總和是 1,771,561, 也就是 11^6，以此類推

00:02:25.136 --> 00:02:27.890
除此之外也有幾何的運用

00:02:27.890 --> 00:02:29.691
看一下對角線

00:02:29.691 --> 00:02:34.117
最前面兩個不怎麼有趣：全都是 1，
再來就是正整數

00:02:34.117 --> 00:02:36.656
即是所謂的自然數

00:02:36.656 --> 00:02:40.707
但下一個對角線數字就是三角形數

00:02:40.707 --> 00:02:42.783
因為如果拿這些數目的點

00:02:42.783 --> 00:02:46.389
你可以把它們組成一個個正三角形

00:02:46.389 --> 00:02:49.307
下一條對角線是四面體的數字

00:02:49.307 --> 00:02:54.622
因為同樣地，
你能用這數目的球堆出四面體


00:02:54.622 --> 00:02:57.996
或這樣，把奇數的部分上色

00:02:57.996 --> 00:03:00.881
當三角形還小時，看起來不怎麼樣

00:03:00.881 --> 00:03:03.298
但若是加到好幾千列

00:03:03.298 --> 00:03:07.439
會得到一個碎形，
稱為「謝爾賓斯基三角形」


00:03:07.439 --> 00:03:10.756
這三角形不只是個數學的藝術

00:03:10.756 --> 00:03:12.742
它也相當的實用

00:03:12.742 --> 00:03:18.571
尤其在組合數學領域裡的
機率和計算 


00:03:18.571 --> 00:03:20.454
假設，你想要有 5 個小孩

00:03:20.454 --> 00:03:22.270
想知道理想中的家庭

00:03:22.270 --> 00:03:26.590
有 3 個女孩和 2 個男孩的機率

00:03:26.590 --> 00:03:28.388
在二項式展開中

00:03:28.388 --> 00:03:32.116
相當於女加男的 5 次方

00:03:32.116 --> 00:03:33.660
所以我們看第五列

00:03:33.660 --> 00:03:37.131
第一個數字
代表有 5 個女孩的可能性


00:03:37.131 --> 00:03:39.929
最後一個數字
代表有 5 個男孩的可能性


00:03:39.929 --> 00:03:42.692
而第三個數字就是我們要找的

00:03:42.692 --> 00:03:46.642
整列所有可能性總和
當中的 10 個可能性


00:03:46.642 --> 00:03:51.490
因此機率為 10/32，也就是 31.25%

00:03:51.490 --> 00:03:55.316
或是你隨機在 12 個朋友中

00:03:55.316 --> 00:03:57.084
挑出 5 人組籃球隊

00:03:57.084 --> 00:04:00.102
總共會有多少種五人組合呢？

00:04:00.102 --> 00:04:05.062
在組合數學術語中， 
這問題的用語表達是 12 取 5


00:04:05.062 --> 00:04:07.237
可用此公式算出

00:04:07.237 --> 00:04:11.708
或是你可查三角形第 12 列的第 6 個數字

00:04:11.708 --> 00:04:13.383
得到你要的答案

00:04:13.383 --> 00:04:15.079
帕斯卡三角形中的諸多型式

00:04:15.079 --> 00:04:19.387
是由數學優雅交織而成的驗證

00:04:19.387 --> 00:04:23.271
至今仍為我們揭開新的秘密

00:04:23.271 --> 00:04:27.422
舉例來說，
數學家們最近找到一個方法來展開


00:04:27.422 --> 00:04:30.019
像這樣的多項式

00:04:30.019 --> 00:04:31.758
接下來會有怎樣的發現呢？

00:04:31.758 --> 00:04:34.097
就要看你囉！

00:04:34.102 --> 00:04:39.822
翻譯：Kelly Liu