這看起來像是一堆整齊、
精心排列的數字

其實是個數學百寶箱

印度數學家稱之為「須彌山之梯」

在伊朗稱作「海亞姆三角形」

在中國稱作「楊輝三角」

對多數西方世界來說，
它是「帕斯卡三角形」

由法國數學家 布萊茲·帕斯卡 而得名

似乎有些不公平，
他的研究時間明顯較晚

但他仍有許多貢獻

究竟是什麼讓世界上的數學家
如此感興趣呢？

簡單來說，它充滿了許多型式和秘密

首先且最重要的， 
有個產生三角形的型式

從 1 開始，然後想像它的左右各有一個 0

將它們兩兩相加，便能得到下一列

然後不斷的重複

繼續下去，你會得到像這樣的東西

按理來說，帕斯卡三角形是無限大的

每一列對應到二項式 (x+y)^n
展開時的係數

n 代表列數

從 0 開始算起

所以，當 n=2 並將式子展開

你會得到 (x^2) + 2xy + (y^2)

其係數，即在變數前的數字

與帕斯卡三角形裡
對應列的數字完全吻合

同樣地，當 n=3 時
展開會得到這樣的係數

所以，要查詢所有係數時，
這三角形是快又簡單的方式

還不止這樣

譬如，個別把每列的數字加起來

你會得到連續的 2 的次方

或是將其中一列作十進位展開

也就是說
第二列就變成 (1x1) + (2x10) + (1x100)

會得到 121，也就是 11^2

看看如果對第六列也這樣做，
會發生什麼事

總和是 1,771,561, 也就是 11^6，以此類推

除此之外也有幾何的運用

看一下對角線

最前面兩個不怎麼有趣：全都是 1，
再來就是正整數

即是所謂的自然數

但下一個對角線數字就是三角形數

因為如果拿這些數目的點

你可以把它們組成一個個正三角形

下一條對角線是四面體的數字

因為同樣地，
你能用這數目的球堆出四面體

或這樣，把奇數的部分上色

當三角形還小時，看起來不怎麼樣

但若是加到好幾千列

會得到一個碎形，
稱為「謝爾賓斯基三角形」

這三角形不只是個數學的藝術

它也相當的實用

尤其在組合數學領域裡的
機率和計算

假設，你想要有 5 個小孩

想知道理想中的家庭

有 3 個女孩和 2 個男孩的機率

在二項式展開中

相當於女加男的 5 次方

所以我們看第五列

第一個數字
代表有 5 個女孩的可能性

最後一個數字
代表有 5 個男孩的可能性

而第三個數字就是我們要找的

整列所有可能性總和
當中的 10 個可能性

因此機率為 10/32，也就是 31.25%

或是你隨機在 12 個朋友中

挑出 5 人組籃球隊

總共會有多少種五人組合呢？

在組合數學術語中， 
這問題的用語表達是 12 取 5

可用此公式算出

或是你可查三角形第 12 列的第 6 個數字

得到你要的答案

帕斯卡三角形中的諸多型式

是由數學優雅交織而成的驗證

至今仍為我們揭開新的秘密

舉例來說，
數學家們最近找到一個方法來展開

像這樣的多項式

接下來會有怎樣的發現呢？

就要看你囉！

翻譯：Kelly Liu