帕斯卡三角的数学秘密 - Wajdi Mohamed Ratemi
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0:08 - 0:11这些看上去
可能只是一堆排列整齐的数字, -
0:11 - 0:15实际上,它可是一个数学的宝藏。
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0:15 - 0:19印度数学家称它为"须弥山之梯"。
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0:19 - 0:21在伊朗,它是"海亚姆三角"。
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0:21 - 0:24而在中国,它被称为"杨辉三角"。
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0:24 - 0:28在大部分西方国家,
它叫”帕斯卡三角“。 -
0:28 - 0:31得名于法国数学家, 布莱斯 ·帕斯卡。
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0:31 - 0:32这似乎有点不太公平。
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0:32 - 0:35因为帕斯卡的发现比其他人更晚,
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0:35 - 0:37但帕斯卡也对此做出了许多贡献。
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0:37 - 0:42那么,是什么让世界各地的
数学家们对它如此感兴趣? -
0:42 - 0:46简单地说,它充满了各种形式和秘密。
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0:46 - 0:49首先,这是构造三角的形式。
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0:49 - 0:54从 1 开始,
并假设两边各有一个看不见的 0, -
0:54 - 0:59把相邻的数字加起来,
你就会得到下一行。 -
0:59 - 1:02现在,重复这样的操作,
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1:02 - 1:06反复进行,
你最终会得到这样一个图形。 -
1:06 - 1:09实际上,帕斯卡三角是无限大的。
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1:09 - 1:19它每一行的数字都对应
(x+y)^n 二项式展开的系数, -
1:19 - 1:21其中 n 是行的序号,
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1:21 - 1:24从 0 开始算。
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1:24 - 1:27当 n=2时,
二项式展开你会得到 -
1:27 - 1:31x^2 + 2xy + y^2。
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1:31 - 1:35那些系数,就是每一项变量前的数字,
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1:35 - 1:38和帕斯卡三角对应行的数字相同。
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1:38 - 1:43n=3 也是一样,展开得到这个。
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1:43 - 1:48所以,这个三角能让我们
快速得到二项式的系数。 -
1:48 - 1:50然而,奥秘远远不止这些。
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1:50 - 1:53比如说,把每一行的数字加起来,
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1:53 - 1:56你会得到连续的2的次方。
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1:56 - 2:01或者在某一行,把每一个数字
当成十进制的一部分。 -
2:01 - 2:08换句话说,第二行是
(1x1) + (2x10) + (1x100), -
2:08 - 2:12你会得到 121,也就是 11^2。
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2:12 - 2:16那么,同理到第六行,看看会发生什么。
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2:16 - 2:25总和是 1,771,561,
也就是 11^6,其他也一样。 -
2:25 - 2:28除此之外,也有一些几何的应用。
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2:28 - 2:30看看那些对角线,
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2:30 - 2:32开头两条并不是很有趣,全都是 1。
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2:32 - 2:37接下来是正整数,也被称为自然数。
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2:37 - 2:41而下一条对角线的数字,则被称为三角数。
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2:41 - 2:43因为如果你用那些数量的点,
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2:43 - 2:46可以把它们堆成等边三角形。
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2:46 - 2:49下一条对角线是四面体数。
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2:49 - 2:55同理,你可以把那些球堆成四面体。
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2:55 - 2:58或者这样︰
把所有的奇数画上阴影, -
2:58 - 3:01当三角形还小,你还看不出什么。
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3:01 - 3:03不过如果你加上成千上万行,
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3:03 - 3:07你会得到一个分形,
也就是谢尔宾斯基三角形。 -
3:07 - 3:11这个三角形不仅是一个数学的艺术品,
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3:11 - 3:13它还很有用,
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3:13 - 3:19尤其是在组合学中的概率计算中。
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3:19 - 3:20假设,你想要五个小孩,
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3:20 - 3:22你想要知道
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3:22 - 3:27拥有三个女孩和两个男孩
这样理想家庭的概率是多少。 -
3:27 - 3:28在二项展开式中,
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3:28 - 3:32它对应的就是女孩加男孩的五次方。
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3:32 - 3:34所以我们看第五行,
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3:34 - 3:37第一个数字代表五个女孩的可能性,
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3:37 - 3:40最后一个数字代表五个男孩的可能性。
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3:40 - 3:43第三个数字就是我们要找的。
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3:43 - 3:47这一行所有可能性的总和分之10,
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3:47 - 3:51那就得到 10/32,或者31.25%。
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3:51 - 3:55再者,如果你从十二个朋友中
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3:55 - 3:57随机选出5人组成一个篮球队,
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3:57 - 4:00一共可能有多少种五人组合呢?
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4:00 - 4:05从组合学上看,
这个问题可以看成是从12中挑5, -
4:05 - 4:07并可以用这个公式计算,
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4:07 - 4:12或者你可以找到这个三角形的
第十二行第六项, -
4:12 - 4:13就是你要的答案。
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4:13 - 4:15帕斯卡三角的诸多形式,
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4:15 - 4:19是数学元素优美交织的证明。
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4:19 - 4:23到现在,它仍然揭示着新秘密。
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4:23 - 4:26例如,数学家最近发现了
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4:26 - 4:30一个展开这种多项式的方法。
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4:30 - 4:32接下来我们还可能发现什么?
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4:32 - 4:34这就看你了。
- Title:
- 帕斯卡三角的数学秘密 - Wajdi Mohamed Ratemi
- Speaker:
- Wajdi Mohamed Ratemi
- Description:
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观看完整课程:http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi
帕斯卡三角, 第一眼看起来或许只是一堆排列整齐的数字,实际上它是一个数学宝藏。但是什么让世界上的数学家们对它如此着迷呢?Wajdi Mohamed Ratemi 展示了帕斯卡三角各种形式和秘密。
课程教授:Wajdi Mohamed Ratemi,动画制作:Henrik Malmgren。
- Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 04:50
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