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帕斯卡三角的数学秘密 - Wajdi Mohamed Ratemi

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    这些看上去
    可能只是一堆排列整齐的数字,
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    实际上,它可是一个数学的宝藏。
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    印度数学家称它为"须弥山之梯"。
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    在伊朗,它是"海亚姆三角"。
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    而在中国,它被称为"杨辉三角"。
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    在大部分西方国家,
    它叫”帕斯卡三角“。
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    得名于法国数学家, 布莱斯 ·帕斯卡。
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    这似乎有点不太公平。
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    因为帕斯卡的发现比其他人更晚,
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    但帕斯卡也对此做出了许多贡献。
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    那么,是什么让世界各地的
    数学家们对它如此感兴趣?
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    简单地说,它充满了各种形式和秘密。
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    首先,这是构造三角的形式。
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    从 1 开始,
    并假设两边各有一个看不见的 0,
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    把相邻的数字加起来,
    你就会得到下一行。
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    现在,重复这样的操作,
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    反复进行,
    你最终会得到这样一个图形。
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    实际上,帕斯卡三角是无限大的。
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    它每一行的数字都对应
    (x+y)^n 二项式展开的系数,
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    其中 n 是行的序号,
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    从 0 开始算。
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    当 n=2时,
    二项式展开你会得到
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    x^2 + 2xy + y^2。
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    那些系数,就是每一项变量前的数字,
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    和帕斯卡三角对应行的数字相同。
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    n=3 也是一样,展开得到这个。
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    所以,这个三角能让我们
    快速得到二项式的系数。
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    然而,奥秘远远不止这些。
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    比如说,把每一行的数字加起来,
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    你会得到连续的2的次方。
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    或者在某一行,把每一个数字
    当成十进制的一部分。
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    换句话说,第二行是
    (1x1) + (2x10) + (1x100),
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    你会得到 121,也就是 11^2。
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    那么,同理到第六行,看看会发生什么。
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    总和是 1,771,561,
    也就是 11^6,其他也一样。
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    除此之外,也有一些几何的应用。
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    看看那些对角线,
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    开头两条并不是很有趣,全都是 1。
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    接下来是正整数,也被称为自然数。
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    而下一条对角线的数字,则被称为三角数。
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    因为如果你用那些数量的点,
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    可以把它们堆成等边三角形。
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    下一条对角线是四面体数。
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    同理,你可以把那些球堆成四面体。
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    或者这样︰
    把所有的奇数画上阴影,
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    当三角形还小,你还看不出什么。
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    不过如果你加上成千上万行,
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    你会得到一个分形,
    也就是谢尔宾斯基三角形。
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    这个三角形不仅是一个数学的艺术品,
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    它还很有用,
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    尤其是在组合学中的概率计算中。
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    假设,你想要五个小孩,
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    你想要知道
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    拥有三个女孩和两个男孩
    这样理想家庭的概率是多少。
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    在二项展开式中,
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    它对应的就是女孩加男孩的五次方。
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    所以我们看第五行,
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    第一个数字代表五个女孩的可能性,
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    最后一个数字代表五个男孩的可能性。
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    第三个数字就是我们要找的。
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    这一行所有可能性的总和分之10,
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    那就得到 10/32,或者31.25%。
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    再者,如果你从十二个朋友中
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    随机选出5人组成一个篮球队,
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    一共可能有多少种五人组合呢?
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    从组合学上看,
    这个问题可以看成是从12中挑5,
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    并可以用这个公式计算,
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    或者你可以找到这个三角形的
    第十二行第六项,
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    就是你要的答案。
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    帕斯卡三角的诸多形式,
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    是数学元素优美交织的证明。
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    到现在,它仍然揭示着新秘密。
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    例如,数学家最近发现了
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    一个展开这种多项式的方法。
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    接下来我们还可能发现什么?
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    这就看你了。
Title:
帕斯卡三角的数学秘密 - Wajdi Mohamed Ratemi
Speaker:
Wajdi Mohamed Ratemi
Description:

观看完整课程:http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

帕斯卡三角, 第一眼看起来或许只是一堆排列整齐的数字,实际上它是一个数学宝藏。但是什么让世界上的数学家们对它如此着迷呢?Wajdi Mohamed Ratemi 展示了帕斯卡三角各种形式和秘密。

课程教授:Wajdi Mohamed Ratemi,动画制作:Henrik Malmgren。

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Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:50

Chinese, Simplified subtitles

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