这些看上去
可能只是一堆排列整齐的数字,
实际上,它可是一个数学的宝藏。
印度数学家称它为"须弥山之梯"。
在伊朗,它是"海亚姆三角"。
而在中国,它被称为"杨辉三角"。
在大部分西方国家,
它叫”帕斯卡三角“。
得名于法国数学家, 布莱斯 ·帕斯卡。
这似乎有点不太公平。
因为帕斯卡的发现比其他人更晚,
但帕斯卡也对此做出了许多贡献。
那么,是什么让世界各地的
数学家们对它如此感兴趣?
简单地说,它充满了各种形式和秘密。
首先,这是构造三角的形式。
从 1 开始,
并假设两边各有一个看不见的 0,
把相邻的数字加起来,
你就会得到下一行。
现在,重复这样的操作,
反复进行,
你最终会得到这样一个图形。
实际上,帕斯卡三角是无限大的。
它每一行的数字都对应
(x+y)^n 二项式展开的系数,
其中 n 是行的序号,
从 0 开始算。
当 n=2时,
二项式展开你会得到
x^2 + 2xy + y^2。
那些系数,就是每一项变量前的数字,
和帕斯卡三角对应行的数字相同。
n=3 也是一样,展开得到这个。
所以,这个三角能让我们
快速得到二项式的系数。
然而,奥秘远远不止这些。
比如说,把每一行的数字加起来,
你会得到连续的2的次方。
或者在某一行,把每一个数字
当成十进制的一部分。
换句话说,第二行是
(1x1) + (2x10) + (1x100),
你会得到 121,也就是 11^2。
那么,同理到第六行,看看会发生什么。
总和是 1,771,561,
也就是 11^6,其他也一样。
除此之外,也有一些几何的应用。
看看那些对角线,
开头两条并不是很有趣,全都是 1。
接下来是正整数,也被称为自然数。
而下一条对角线的数字,则被称为三角数。
因为如果你用那些数量的点,
可以把它们堆成等边三角形。
下一条对角线是四面体数。
同理,你可以把那些球堆成四面体。
或者这样︰
把所有的奇数画上阴影,
当三角形还小,你还看不出什么。
不过如果你加上成千上万行,
你会得到一个分形,
也就是谢尔宾斯基三角形。
这个三角形不仅是一个数学的艺术品,
它还很有用,
尤其是在组合学中的概率计算中。
假设,你想要五个小孩,
你想要知道
拥有三个女孩和两个男孩
这样理想家庭的概率是多少。
在二项展开式中,
它对应的就是女孩加男孩的五次方。
所以我们看第五行,
第一个数字代表五个女孩的可能性,
最后一个数字代表五个男孩的可能性。
第三个数字就是我们要找的。
这一行所有可能性的总和分之10,
那就得到 10/32,或者31.25%。
再者,如果你从十二个朋友中
随机选出5人组成一个篮球队,
一共可能有多少种五人组合呢?
从组合学上看,
这个问题可以看成是从12中挑5,
并可以用这个公式计算,
或者你可以找到这个三角形的
第十二行第六项,
就是你要的答案。
帕斯卡三角的诸多形式,
是数学元素优美交织的证明。
到现在,它仍然揭示着新秘密。
例如,数学家最近发现了
一个展开这种多项式的方法。
接下来我们还可能发现什么?
这就看你了。