0:00:07.603,0:00:11.000
这些看上去[br]可能只是一堆排列整齐的数字，

0:00:11.000,0:00:14.506
实际上，它可是一个数学的宝藏。

0:00:14.506,0:00:18.614
印度数学家称它为"须弥山之梯"。

0:00:18.614,0:00:21.131
在伊朗，它是"海亚姆三角"。

0:00:21.131,0:00:23.738
而在中国，它被称为"杨辉三角"。

0:00:23.738,0:00:27.733
在大部分西方国家，[br]它叫”帕斯卡三角“。

0:00:27.733,0:00:30.895
得名于法国数学家, 布莱斯 ·帕斯卡。

0:00:30.895,0:00:32.234
这似乎有点不太公平。

0:00:32.234,0:00:35.234
因为帕斯卡的发现比其他人更晚，

0:00:35.234,0:00:37.476
但帕斯卡也对此做出了许多贡献。

0:00:37.476,0:00:42.270
那么，是什么让世界各地的[br]数学家们对它如此感兴趣？

0:00:42.270,0:00:46.044
简单地说，它充满了各种形式和秘密。

0:00:46.044,0:00:49.428
首先，这是构造三角的形式。

0:00:49.428,0:00:54.477
从 1 开始，[br]并假设两边各有一个看不见的 0，

0:00:54.477,0:00:58.592
把相邻的数字加起来，[br]你就会得到下一行。

0:00:58.592,0:01:02.066
现在，重复这样的操作，

0:01:02.066,0:01:05.784
反复进行，[br]你最终会得到这样一个图形。

0:01:05.784,0:01:09.325
实际上，帕斯卡三角是无限大的。

0:01:09.325,0:01:18.674
它每一行的数字都对应[br](x+y)^n 二项式展开的系数，

0:01:18.674,0:01:21.077
其中 n 是行的序号，

0:01:21.077,0:01:23.746
从 0 开始算。

0:01:23.746,0:01:26.972
当 n=2时，[br]二项式展开你会得到

0:01:26.972,0:01:31.107
x^2 + 2xy + y^2。

0:01:31.107,0:01:34.683
那些系数，就是每一项变量前的数字，

0:01:34.683,0:01:38.437
和帕斯卡三角对应行的数字相同。

0:01:38.437,0:01:43.256
n=3 也是一样，展开得到这个。

0:01:43.256,0:01:48.493
所以，这个三角能让我们[br]快速得到二项式的系数。

0:01:48.493,0:01:50.037
然而，奥秘远远不止这些。

0:01:50.037,0:01:52.909
比如说，把每一行的数字加起来，

0:01:52.909,0:01:56.039
你会得到连续的2的次方。

0:01:56.039,0:02:01.221
或者在某一行，把每一个数字[br]当成十进制的一部分。

0:02:01.221,0:02:07.835
换句话说，第二行是[br](1x1) + (2x10) + (1x100)，

0:02:07.835,0:02:12.111
你会得到 121，也就是 11^2。

0:02:12.111,0:02:15.872
那么，同理到第六行，看看会发生什么。

0:02:15.872,0:02:25.136
总和是 1,771,561， [br]也就是 11^6，其他也一样。

0:02:25.136,0:02:27.890
除此之外，也有一些几何的应用。

0:02:27.890,0:02:29.691
看看那些对角线，

0:02:29.691,0:02:32.457
开头两条并不是很有趣，全都是 1。

0:02:32.457,0:02:36.656
接下来是正整数，也被称为自然数。

0:02:36.656,0:02:40.707
而下一条对角线的数字，则被称为三角数。

0:02:40.707,0:02:42.783
因为如果你用那些数量的点，

0:02:42.783,0:02:46.389
可以把它们堆成等边三角形。

0:02:46.389,0:02:49.307
下一条对角线是四面体数。

0:02:49.307,0:02:54.622
同理，你可以把那些球堆成四面体。

0:02:54.622,0:02:57.996
或者这样︰[br]把所有的奇数画上阴影，

0:02:57.996,0:03:00.881
当三角形还小，你还看不出什么。

0:03:00.881,0:03:03.298
不过如果你加上成千上万行，

0:03:03.298,0:03:07.439
你会得到一个分形，[br]也就是谢尔宾斯基三角形。

0:03:07.439,0:03:10.756
这个三角形不仅是一个数学的艺术品，

0:03:10.756,0:03:12.742
它还很有用，

0:03:12.742,0:03:18.536
尤其是在组合学中的概率计算中。

0:03:18.536,0:03:20.454
假设，你想要五个小孩,

0:03:20.454,0:03:21.650
你想要知道

0:03:21.650,0:03:26.590
拥有三个女孩和两个男孩[br]这样理想家庭的概率是多少。

0:03:26.590,0:03:28.388
在二项展开式中，

0:03:28.388,0:03:32.116
它对应的就是女孩加男孩的五次方。

0:03:32.116,0:03:33.660
所以我们看第五行，

0:03:33.660,0:03:37.131
第一个数字代表五个女孩的可能性，

0:03:37.131,0:03:39.929
最后一个数字代表五个男孩的可能性。

0:03:39.929,0:03:42.692
第三个数字就是我们要找的。

0:03:42.692,0:03:46.642
这一行所有可能性的总和分之10，

0:03:46.642,0:03:51.490
那就得到 10/32，或者31.25%。

0:03:51.490,0:03:55.316
再者，如果你从十二个朋友中

0:03:55.316,0:03:57.084
随机选出5人组成一个篮球队，

0:03:57.084,0:04:00.102
一共可能有多少种五人组合呢？

0:04:00.102,0:04:05.062
从组合学上看，[br]这个问题可以看成是从12中挑5，

0:04:05.062,0:04:07.237
并可以用这个公式计算，

0:04:07.237,0:04:11.708
或者你可以找到这个三角形的[br]第十二行第六项，

0:04:11.708,0:04:13.383
就是你要的答案。

0:04:13.383,0:04:15.079
帕斯卡三角的诸多形式，

0:04:15.079,0:04:19.387
是数学元素优美交织的证明。

0:04:19.387,0:04:23.271
到现在，它仍然揭示着新秘密。

0:04:23.271,0:04:26.082
例如，数学家最近发现了

0:04:26.082,0:04:30.019
一个展开这种多项式的方法。

0:04:30.019,0:04:31.758
接下来我们还可能发现什么？

0:04:31.758,0:04:34.097
这就看你了。