这些看上去 可能只是一堆排列整齐的数字，
实际上，它可是一个数学的宝藏。
印度数学家称它为"须弥山之梯"。
在伊朗，它是"海亚姆三角"。
而在中国，它被称为"杨辉三角"。
在大部分西方国家， 它叫”帕斯卡三角“。
得名于法国数学家, 布莱斯 ·帕斯卡。
这似乎有点不太公平。
因为帕斯卡的发现比其他人更晚，
但帕斯卡也对此做出了许多贡献。
那么，是什么让世界各地的 数学家们对它如此感兴趣？
简单地说，它充满了各种形式和秘密。
首先，这是构造三角的形式。
从 1 开始， 并假设两边各有一个看不见的 0，
把相邻的数字加起来， 你就会得到下一行。
现在，重复这样的操作，
反复进行， 你最终会得到这样一个图形。
实际上，帕斯卡三角是无限大的。
它每一行的数字都对应 (x+y)^n 二项式展开的系数，
其中 n 是行的序号，
从 0 开始算。
当 n=2时， 二项式展开你会得到
x^2 + 2xy + y^2。
那些系数，就是每一项变量前的数字，
和帕斯卡三角对应行的数字相同。
n=3 也是一样，展开得到这个。
所以，这个三角能让我们 快速得到二项式的系数。
然而，奥秘远远不止这些。
比如说，把每一行的数字加起来，
你会得到连续的2的次方。
或者在某一行，把每一个数字 当成十进制的一部分。
换句话说，第二行是 (1x1) + (2x10) + (1x100)，
你会得到 121，也就是 11^2。
那么，同理到第六行，看看会发生什么。
总和是 1,771,561， 也就是 11^6，其他也一样。
除此之外，也有一些几何的应用。
看看那些对角线，
开头两条并不是很有趣，全都是 1。
接下来是正整数，也被称为自然数。
而下一条对角线的数字，则被称为三角数。
因为如果你用那些数量的点，
可以把它们堆成等边三角形。
下一条对角线是四面体数。
同理，你可以把那些球堆成四面体。
或者这样︰ 把所有的奇数画上阴影，
当三角形还小，你还看不出什么。
不过如果你加上成千上万行，
你会得到一个分形， 也就是谢尔宾斯基三角形。
这个三角形不仅是一个数学的艺术品，
它还很有用，
尤其是在组合学中的概率计算中。
假设，你想要五个小孩,
你想要知道
拥有三个女孩和两个男孩 这样理想家庭的概率是多少。
在二项展开式中，
它对应的就是女孩加男孩的五次方。
所以我们看第五行，
第一个数字代表五个女孩的可能性，
最后一个数字代表五个男孩的可能性。
第三个数字就是我们要找的。
这一行所有可能性的总和分之10，
那就得到 10/32，或者31.25%。
再者，如果你从十二个朋友中
随机选出5人组成一个篮球队，
一共可能有多少种五人组合呢？
从组合学上看， 这个问题可以看成是从12中挑5，
并可以用这个公式计算，
或者你可以找到这个三角形的 第十二行第六项，
就是你要的答案。
帕斯卡三角的诸多形式，
是数学元素优美交织的证明。
到现在，它仍然揭示着新秘密。
例如，数学家最近发现了
一个展开这种多项式的方法。
接下来我们还可能发现什么？
这就看你了。