WEBVTT

00:00:07.603 --> 00:00:11.000
这些看上去
可能只是一堆排列整齐的数字，

00:00:11.000 --> 00:00:14.506
实际上，它可是一个数学的宝藏。

00:00:14.506 --> 00:00:18.614
印度数学家称它为"须弥山之梯"。

00:00:18.614 --> 00:00:21.131
在伊朗，它是"海亚姆三角"。

00:00:21.131 --> 00:00:23.738
而在中国，它被称为"杨辉三角"。

00:00:23.738 --> 00:00:27.733
在大部分西方国家，
它叫”帕斯卡三角“。

00:00:27.733 --> 00:00:30.895
得名于法国数学家, 布莱斯 ·帕斯卡。

00:00:30.895 --> 00:00:32.234
这似乎有点不太公平。

00:00:32.234 --> 00:00:35.234
因为帕斯卡的发现比其他人更晚，

00:00:35.234 --> 00:00:37.476
但帕斯卡也对此做出了许多贡献。

00:00:37.476 --> 00:00:42.270
那么，是什么让世界各地的
数学家们对它如此感兴趣？

00:00:42.270 --> 00:00:46.044
简单地说，它充满了各种形式和秘密。

00:00:46.044 --> 00:00:49.428
首先，这是构造三角的形式。

00:00:49.428 --> 00:00:54.477
从 1 开始，
并假设两边各有一个看不见的 0，

00:00:54.477 --> 00:00:58.592
把相邻的数字加起来，
你就会得到下一行。

00:00:58.592 --> 00:01:02.066
现在，重复这样的操作，

00:01:02.066 --> 00:01:05.784
反复进行，
你最终会得到这样一个图形。

00:01:05.784 --> 00:01:09.325
实际上，帕斯卡三角是无限大的。

00:01:09.325 --> 00:01:18.674
它每一行的数字都对应
(x+y)^n 二项式展开的系数，

00:01:18.674 --> 00:01:21.077
其中 n 是行的序号，

00:01:21.077 --> 00:01:23.746
从 0 开始算。

00:01:23.746 --> 00:01:26.972
当 n=2时，
二项式展开你会得到

00:01:26.972 --> 00:01:31.107
x^2 + 2xy + y^2。

00:01:31.107 --> 00:01:34.683
那些系数，就是每一项变量前的数字，

00:01:34.683 --> 00:01:38.437
和帕斯卡三角对应行的数字相同。

00:01:38.437 --> 00:01:43.256
n=3 也是一样，展开得到这个。

00:01:43.256 --> 00:01:48.493
所以，这个三角能让我们
快速得到二项式的系数。

00:01:48.493 --> 00:01:50.037
然而，奥秘远远不止这些。

00:01:50.037 --> 00:01:52.909
比如说，把每一行的数字加起来，

00:01:52.909 --> 00:01:56.039
你会得到连续的2的次方。

00:01:56.039 --> 00:02:01.221
或者在某一行，把每一个数字
当成十进制的一部分。

00:02:01.221 --> 00:02:07.835
换句话说，第二行是
(1x1) + (2x10) + (1x100)，

00:02:07.835 --> 00:02:12.111
你会得到 121，也就是 11^2。

00:02:12.111 --> 00:02:15.872
那么，同理到第六行，看看会发生什么。

00:02:15.872 --> 00:02:25.136
总和是 1,771,561， 
也就是 11^6，其他也一样。

00:02:25.136 --> 00:02:27.890
除此之外，也有一些几何的应用。

00:02:27.890 --> 00:02:29.691
看看那些对角线，

00:02:29.691 --> 00:02:32.457
开头两条并不是很有趣，全都是 1。

00:02:32.457 --> 00:02:36.656
接下来是正整数，也被称为自然数。

00:02:36.656 --> 00:02:40.707
而下一条对角线的数字，则被称为三角数。

00:02:40.707 --> 00:02:42.783
因为如果你用那些数量的点，

00:02:42.783 --> 00:02:46.389
可以把它们堆成等边三角形。

00:02:46.389 --> 00:02:49.307
下一条对角线是四面体数。

00:02:49.307 --> 00:02:54.622
同理，你可以把那些球堆成四面体。

00:02:54.622 --> 00:02:57.996
或者这样︰
把所有的奇数画上阴影，

00:02:57.996 --> 00:03:00.881
当三角形还小，你还看不出什么。

00:03:00.881 --> 00:03:03.298
不过如果你加上成千上万行，

00:03:03.298 --> 00:03:07.439
你会得到一个分形，
也就是谢尔宾斯基三角形。

00:03:07.439 --> 00:03:10.756
这个三角形不仅是一个数学的艺术品，

00:03:10.756 --> 00:03:12.742
它还很有用，

00:03:12.742 --> 00:03:18.536
尤其是在组合学中的概率计算中。

00:03:18.536 --> 00:03:20.454
假设，你想要五个小孩,

00:03:20.454 --> 00:03:21.650
你想要知道

00:03:21.650 --> 00:03:26.590
拥有三个女孩和两个男孩
这样理想家庭的概率是多少。

00:03:26.590 --> 00:03:28.388
在二项展开式中，

00:03:28.388 --> 00:03:32.116
它对应的就是女孩加男孩的五次方。

00:03:32.116 --> 00:03:33.660
所以我们看第五行，

00:03:33.660 --> 00:03:37.131
第一个数字代表五个女孩的可能性，

00:03:37.131 --> 00:03:39.929
最后一个数字代表五个男孩的可能性。

00:03:39.929 --> 00:03:42.692
第三个数字就是我们要找的。

00:03:42.692 --> 00:03:46.642
这一行所有可能性的总和分之10，

00:03:46.642 --> 00:03:51.490
那就得到 10/32，或者31.25%。

00:03:51.490 --> 00:03:55.316
再者，如果你从十二个朋友中

00:03:55.316 --> 00:03:57.084
随机选出5人组成一个篮球队，

00:03:57.084 --> 00:04:00.102
一共可能有多少种五人组合呢？

00:04:00.102 --> 00:04:05.062
从组合学上看，
这个问题可以看成是从12中挑5，

00:04:05.062 --> 00:04:07.237
并可以用这个公式计算，

00:04:07.237 --> 00:04:11.708
或者你可以找到这个三角形的
第十二行第六项，

00:04:11.708 --> 00:04:13.383
就是你要的答案。

00:04:13.383 --> 00:04:15.079
帕斯卡三角的诸多形式，

00:04:15.079 --> 00:04:19.387
是数学元素优美交织的证明。

00:04:19.387 --> 00:04:23.271
到现在，它仍然揭示着新秘密。

00:04:23.271 --> 00:04:26.082
例如，数学家最近发现了

00:04:26.082 --> 00:04:30.019
一个展开这种多项式的方法。

00:04:30.019 --> 00:04:31.758
接下来我们还可能发现什么？

00:04:31.758 --> 00:04:34.097
这就看你了。