1 00:00:07,603 --> 00:00:11,000 这些看上去 可能只是一堆排列整齐的数字, 2 00:00:11,000 --> 00:00:14,506 实际上,它可是一个数学的宝藏。 3 00:00:14,506 --> 00:00:18,614 印度数学家称它为"须弥山之梯"。 4 00:00:18,614 --> 00:00:21,131 在伊朗,它是"海亚姆三角"。 5 00:00:21,131 --> 00:00:23,738 而在中国,它被称为"杨辉三角"。 6 00:00:23,738 --> 00:00:27,733 在大部分西方国家, 它叫”帕斯卡三角“。 7 00:00:27,733 --> 00:00:30,895 得名于法国数学家, 布莱斯 ·帕斯卡。 8 00:00:30,895 --> 00:00:32,234 这似乎有点不太公平。 9 00:00:32,234 --> 00:00:35,234 因为帕斯卡的发现比其他人更晚, 10 00:00:35,234 --> 00:00:37,476 但帕斯卡也对此做出了许多贡献。 11 00:00:37,476 --> 00:00:42,270 那么,是什么让世界各地的 数学家们对它如此感兴趣? 12 00:00:42,270 --> 00:00:46,044 简单地说,它充满了各种形式和秘密。 13 00:00:46,044 --> 00:00:49,428 首先,这是构造三角的形式。 14 00:00:49,428 --> 00:00:54,477 从 1 开始, 并假设两边各有一个看不见的 0, 15 00:00:54,477 --> 00:00:58,592 把相邻的数字加起来, 你就会得到下一行。 16 00:00:58,592 --> 00:01:02,066 现在,重复这样的操作, 17 00:01:02,066 --> 00:01:05,784 反复进行, 你最终会得到这样一个图形。 18 00:01:05,784 --> 00:01:09,325 实际上,帕斯卡三角是无限大的。 19 00:01:09,325 --> 00:01:18,674 它每一行的数字都对应 (x+y)^n 二项式展开的系数, 20 00:01:18,674 --> 00:01:21,077 其中 n 是行的序号, 21 00:01:21,077 --> 00:01:23,746 从 0 开始算。 22 00:01:23,746 --> 00:01:26,972 当 n=2时, 二项式展开你会得到 23 00:01:26,972 --> 00:01:31,107 x^2 + 2xy + y^2。 24 00:01:31,107 --> 00:01:34,683 那些系数,就是每一项变量前的数字, 25 00:01:34,683 --> 00:01:38,437 和帕斯卡三角对应行的数字相同。 26 00:01:38,437 --> 00:01:43,256 n=3 也是一样,展开得到这个。 27 00:01:43,256 --> 00:01:48,493 所以,这个三角能让我们 快速得到二项式的系数。 28 00:01:48,493 --> 00:01:50,037 然而,奥秘远远不止这些。 29 00:01:50,037 --> 00:01:52,909 比如说,把每一行的数字加起来, 30 00:01:52,909 --> 00:01:56,039 你会得到连续的2的次方。 31 00:01:56,039 --> 00:02:01,221 或者在某一行,把每一个数字 当成十进制的一部分。 32 00:02:01,221 --> 00:02:07,835 换句话说,第二行是 (1x1) + (2x10) + (1x100), 33 00:02:07,835 --> 00:02:12,111 你会得到 121,也就是 11^2。 34 00:02:12,111 --> 00:02:15,872 那么,同理到第六行,看看会发生什么。 35 00:02:15,872 --> 00:02:25,136 总和是 1,771,561, 也就是 11^6,其他也一样。 36 00:02:25,136 --> 00:02:27,890 除此之外,也有一些几何的应用。 37 00:02:27,890 --> 00:02:29,691 看看那些对角线, 38 00:02:29,691 --> 00:02:32,457 开头两条并不是很有趣,全都是 1。 39 00:02:32,457 --> 00:02:36,656 接下来是正整数,也被称为自然数。 40 00:02:36,656 --> 00:02:40,707 而下一条对角线的数字,则被称为三角数。 41 00:02:40,707 --> 00:02:42,783 因为如果你用那些数量的点, 42 00:02:42,783 --> 00:02:46,389 可以把它们堆成等边三角形。 43 00:02:46,389 --> 00:02:49,307 下一条对角线是四面体数。 44 00:02:49,307 --> 00:02:54,622 同理,你可以把那些球堆成四面体。 45 00:02:54,622 --> 00:02:57,996 或者这样︰ 把所有的奇数画上阴影, 46 00:02:57,996 --> 00:03:00,881 当三角形还小,你还看不出什么。 47 00:03:00,881 --> 00:03:03,298 不过如果你加上成千上万行, 48 00:03:03,298 --> 00:03:07,439 你会得到一个分形, 也就是谢尔宾斯基三角形。 49 00:03:07,439 --> 00:03:10,756 这个三角形不仅是一个数学的艺术品, 50 00:03:10,756 --> 00:03:12,742 它还很有用, 51 00:03:12,742 --> 00:03:18,536 尤其是在组合学中的概率计算中。 52 00:03:18,536 --> 00:03:20,454 假设,你想要五个小孩, 53 00:03:20,454 --> 00:03:21,650 你想要知道 54 00:03:21,650 --> 00:03:26,590 拥有三个女孩和两个男孩 这样理想家庭的概率是多少。 55 00:03:26,590 --> 00:03:28,388 在二项展开式中, 56 00:03:28,388 --> 00:03:32,116 它对应的就是女孩加男孩的五次方。 57 00:03:32,116 --> 00:03:33,660 所以我们看第五行, 58 00:03:33,660 --> 00:03:37,131 第一个数字代表五个女孩的可能性, 59 00:03:37,131 --> 00:03:39,929 最后一个数字代表五个男孩的可能性。 60 00:03:39,929 --> 00:03:42,692 第三个数字就是我们要找的。 61 00:03:42,692 --> 00:03:46,642 这一行所有可能性的总和分之10, 62 00:03:46,642 --> 00:03:51,490 那就得到 10/32,或者31.25%。 63 00:03:51,490 --> 00:03:55,316 再者,如果你从十二个朋友中 64 00:03:55,316 --> 00:03:57,084 随机选出5人组成一个篮球队, 65 00:03:57,084 --> 00:04:00,102 一共可能有多少种五人组合呢? 66 00:04:00,102 --> 00:04:05,062 从组合学上看, 这个问题可以看成是从12中挑5, 67 00:04:05,062 --> 00:04:07,237 并可以用这个公式计算, 68 00:04:07,237 --> 00:04:11,708 或者你可以找到这个三角形的 第十二行第六项, 69 00:04:11,708 --> 00:04:13,383 就是你要的答案。 70 00:04:13,383 --> 00:04:15,079 帕斯卡三角的诸多形式, 71 00:04:15,079 --> 00:04:19,387 是数学元素优美交织的证明。 72 00:04:19,387 --> 00:04:23,271 到现在,它仍然揭示着新秘密。 73 00:04:23,271 --> 00:04:26,082 例如,数学家最近发现了 74 00:04:26,082 --> 00:04:30,019 一个展开这种多项式的方法。 75 00:04:30,019 --> 00:04:31,758 接下来我们还可能发现什么? 76 00:04:31,758 --> 00:04:34,097 这就看你了。