帕斯卡三角的数学秘密 - Wajdi Mohamed Ratemi

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帕斯卡三角, 第一眼看起来或许只是一堆排列整齐的数字，实际上它是一个数学宝藏。但是什么让世界上的数学家们对它如此着迷呢？Wajdi Mohamed Ratemi 展示了帕斯卡三角各种形式和秘密。

课程教授：Wajdi Mohamed Ratemi，动画制作：Henrik Malmgren。

这些看上去
可能只是一堆排列整齐的数字，

实际上，它可是一个数学的宝藏。

印度数学家称它为"须弥山之梯"。

在伊朗，它是"海亚姆三角"。

而在中国，它被称为"杨辉三角"。

在大部分西方国家，
它叫”帕斯卡三角“。

得名于法国数学家, 布莱斯 ·帕斯卡。

这似乎有点不太公平。

因为帕斯卡的发现比其他人更晚，

但帕斯卡也对此做出了许多贡献。

那么，是什么让世界各地的
数学家们对它如此感兴趣？

简单地说，它充满了各种形式和秘密。

首先，这是构造三角的形式。

从 1 开始，
并假设两边各有一个看不见的 0，

把相邻的数字加起来，
你就会得到下一行。

现在，重复这样的操作，

反复进行，
你最终会得到这样一个图形。

实际上，帕斯卡三角是无限大的。

它每一行的数字都对应
(x+y)^n 二项式展开的系数，

其中 n 是行的序号，

从 0 开始算。

当 n=2时，
二项式展开你会得到

x^2 + 2xy + y^2。

那些系数，就是每一项变量前的数字，

和帕斯卡三角对应行的数字相同。

n=3 也是一样，展开得到这个。

所以，这个三角能让我们
快速得到二项式的系数。

然而，奥秘远远不止这些。

比如说，把每一行的数字加起来，

你会得到连续的2的次方。

或者在某一行，把每一个数字
当成十进制的一部分。

换句话说，第二行是
(1x1) + (2x10) + (1x100)，

你会得到 121，也就是 11^2。

那么，同理到第六行，看看会发生什么。

总和是 1,771,561，
也就是 11^6，其他也一样。

除此之外，也有一些几何的应用。

看看那些对角线，

开头两条并不是很有趣，全都是 1。

接下来是正整数，也被称为自然数。

而下一条对角线的数字，则被称为三角数。

因为如果你用那些数量的点，

可以把它们堆成等边三角形。

下一条对角线是四面体数。

同理，你可以把那些球堆成四面体。

或者这样︰
把所有的奇数画上阴影，

当三角形还小，你还看不出什么。

不过如果你加上成千上万行，

你会得到一个分形，
也就是谢尔宾斯基三角形。

这个三角形不仅是一个数学的艺术品，

它还很有用，

尤其是在组合学中的概率计算中。

假设，你想要五个小孩,

你想要知道

拥有三个女孩和两个男孩
这样理想家庭的概率是多少。

在二项展开式中，

它对应的就是女孩加男孩的五次方。

所以我们看第五行，

第一个数字代表五个女孩的可能性，

最后一个数字代表五个男孩的可能性。

第三个数字就是我们要找的。

这一行所有可能性的总和分之10，

那就得到 10/32，或者31.25%。

再者，如果你从十二个朋友中

随机选出5人组成一个篮球队，

一共可能有多少种五人组合呢？

从组合学上看，
这个问题可以看成是从12中挑5，

并可以用这个公式计算，

或者你可以找到这个三角形的
第十二行第六项，

就是你要的答案。

帕斯卡三角的诸多形式，

是数学元素优美交织的证明。

到现在，它仍然揭示着新秘密。

例如，数学家最近发现了

一个展开这种多项式的方法。

接下来我们还可能发现什么？

这就看你了。