< Return to Video

Математические секреты треугольника Паскаля — Ваджди Мухаммед Ратеми

  • 0:08 - 0:11
    Возможно, это выглядит,
    как куча аккуратно расположенных чисел,
  • 0:11 - 0:15
    но на самом деле
    это драгоценный клад математики.
  • 0:15 - 0:19
    Индийские математики называли это
    лестницей на гору Меру.
  • 0:19 - 0:21
    В Иране это треугольник Хайяма.
  • 0:21 - 0:24
    А в Китае это треугольник Ян Хуэя.
  • 0:24 - 0:28
    Большей части западного мира
    это известно как треугольник Паскаля,
  • 0:28 - 0:31
    в честь французского математика
    Блеза Паскаля,
  • 0:31 - 0:35
    что кажется слегка несправедливым,
    так как он явно опоздал на «вечеринку»,
  • 0:35 - 0:37
    но он всё-таки внёс большой вклад.
  • 0:37 - 0:42
    Так что же в этом такого, что так увлекало
    математиков по всему миру?
  • 0:42 - 0:46
    Вкратце, в этом треугольнике скрыто
    множество закономерностей и секретов.
  • 0:46 - 0:49
    Прежде всего, это тот принцип,
    по которому он получается.
  • 0:49 - 0:54
    Начните с единицы и представьте невидимые
    нули по обе стороны от неё.
  • 0:54 - 0:59
    Сложите числа попарно,
    и получите следующий ряд.
  • 0:59 - 1:02
    Далее, делайте так снова и снова.
  • 1:02 - 1:06
    Продолжайте эту операцию, и перед вами
    развернётся что-то вроде этого,
  • 1:06 - 1:09
    хотя на самом деле треугольник Паскаля
    продолжается до бесконечности.
  • 1:09 - 1:15
    Каждый ряд соответствует так называемым
    коэффициентам биномиального разложения,
  • 1:15 - 1:19
    выражения вида (x+y)^n,
  • 1:19 - 1:21
    где n — номер ряда,
  • 1:21 - 1:24
    а нумерация их начинается с нуля.
  • 1:24 - 1:27
    Так что, если мы примем n=2
    и разложим данное выражение,
  • 1:27 - 1:31
    то получим (x^2) + 2xy + (y^2).
  • 1:31 - 1:34
    Коэффициенты, то есть числа,
    стоящие перед переменными,
  • 1:34 - 1:38
    совпадают с числами во втором ряду
    треугольника Паскаля.
  • 1:38 - 1:43
    То же самое можно увидеть при n=3,
    что даёт такое разложение.
  • 1:43 - 1:48
    Итак, треугольник — это быстрый и лёгкий
    способ нахождения этих коэффициентов.
  • 1:48 - 1:50
    Но это ещё не всё.
  • 1:50 - 1:53
    Например, сложите все числа в каждом ряду,
  • 1:53 - 1:56
    и вы получите последовательность
    степеней двойки.
  • 1:56 - 2:01
    Или в каком-либо из рядов каждое число
    будем считать цифрой десятичного числа.
  • 2:01 - 2:08
    Иначе говоря, второй ряд даёт
    (1 x 1) + (2 x 10) + (1 x 100),
  • 2:08 - 2:12
    и мы получаем 121, что равно 11^2.
  • 2:12 - 2:16
    Посмотрим, что произойдёт,
    если то же самое сделать с шестым рядом.
  • 2:16 - 2:25
    Это даст 1 771 561,
    что равняется 11^6, и так далее.
  • 2:25 - 2:28
    Есть и геометрические применения
    этого треугольника.
  • 2:28 - 2:30
    Взгляните на диагонали.
  • 2:30 - 2:33
    Первые две не очень интересны:
    только единицы,
  • 2:33 - 2:37
    а потом целые положительные числа,
    известные также как натуральные числа.
  • 2:37 - 2:41
    Но числа на следующей диагонали
    называются треугольными числами,
  • 2:41 - 2:43
    так как если взять столько кружков,
  • 2:43 - 2:46
    то из них можно построить
    равносторонние треугольники.
  • 2:46 - 2:49
    На следующей диагонали располагаются
    тетраэдрические числа,
  • 2:49 - 2:55
    так как, аналогично, из такого числа сфер
    можно сложить тетраэдры.
  • 2:55 - 2:58
    А как насчёт такого:
    затеним все чётные числа —
  • 2:58 - 3:01
    не так уж и много, когда треугольник мал,
  • 3:01 - 3:03
    если же добавить тысячи рядов,
  • 3:03 - 3:07
    то получим фрактал,
    известный как треугольник Серпинского.
  • 3:07 - 3:11
    Этот треугольник — не просто
    математическое произведение искусства.
  • 3:11 - 3:13
    Он ещё весьма полезен,
  • 3:13 - 3:15
    особенно когда речь заходит о вероятностях
  • 3:15 - 3:18
    и вычислениях в области комбинаторики.
  • 3:18 - 3:20
    Скажем, вы хотите,
    чтобы у вас было пятеро детей,
  • 3:20 - 3:22
    и желали бы узнать вероятность того,
  • 3:22 - 3:27
    что у вас будет семья вашей мечты
    с тремя девочками и двумя мальчиками.
  • 3:27 - 3:28
    В биномиальном разложении
  • 3:28 - 3:32
    этому соответствует
    (девочка + мальчик) в пятой степени.
  • 3:32 - 3:34
    Итак, мы смотрим на пятый ряд,
  • 3:34 - 3:37
    в котором первое число
    соответствует пяти девочкам,
  • 3:37 - 3:40
    а последнее — пяти мальчикам.
  • 3:40 - 3:43
    Нам же нужно третье число.
  • 3:43 - 3:47
    Десять из суммы
    всех вероятностей в этом ряду.
  • 3:47 - 3:51
    В итоге получаем 10/32, то есть 31,25%.
  • 3:51 - 3:55
    Или же, если вы случайно выбираете
    в баскетбольную команду пять игроков
  • 3:55 - 3:57
    из группы двенадцати друзей,
  • 3:57 - 4:00
    то сколько возможно
    различных групп пяти игроков?
  • 4:00 - 4:05
    На языке комбинаторики эта задача
    формулировалась бы как 5 из 12
  • 4:05 - 4:07
    и могла бы решаться по такой формуле,
  • 4:07 - 4:11
    или же можно просто посмотреть
    на 6-й элемент 12-го ряда в треугольнике
  • 4:11 - 4:13
    и сразу получить ответ.
  • 4:13 - 4:15
    Закономерности, имеющиеся
    в треугольнике Паскаля,
  • 4:15 - 4:19
    свидетельствуют об изящном переплетении
    основ математики.
  • 4:19 - 4:23
    И он по сей день продолжает
    открывать новые секреты.
  • 4:23 - 4:27
    К примеру, недавно математики обнаружили,
    как его можно расширить
  • 4:27 - 4:30
    для полиномов такого вида.
  • 4:30 - 4:32
    Что ещё мы сможем открыть?
  • 4:32 - 4:34
    Что ж, это зависит от вас.
Title:
Математические секреты треугольника Паскаля — Ваджди Мухаммед Ратеми
Speaker:
Wajdi Mohamed Ratemi
Description:

Смотрите полную версию урока: http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

Треугольник Паскаля, который на первый взгляд может показаться просто кучей аккуратно расположенных чисел, на самом деле является драгоценным кладом математики. Но что же в нём так привлекает математиков во всём мире? Ваджди Мухаммед Ратеми показывает закономерности и секреты, которыми изобилует треугольник Паскаля.

Урок — Ваджди Мухаммед Ратеми, мультипликация — Генрик Мальмгрен.

more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:50

Russian subtitles

Revisions