1
00:00:07,603 --> 00:00:11,000
Возможно, это выглядит,
как куча аккуратно расположенных чисел,

2
00:00:11,000 --> 00:00:14,506
но на самом деле 
это драгоценный клад математики.

3
00:00:14,506 --> 00:00:18,654
Индийские математики называли это
лестницей на гору Меру.

4
00:00:18,654 --> 00:00:21,131
В Иране это треугольник Хайяма.

5
00:00:21,131 --> 00:00:23,738
А в Китае это треугольник Ян Хуэя.

6
00:00:23,738 --> 00:00:28,033
Большей части западного мира 
это известно как треугольник Паскаля,

7
00:00:28,033 --> 00:00:31,085
в честь французского математика 
Блеза Паскаля,

8
00:00:31,085 --> 00:00:35,234
что кажется слегка несправедливым,
так как он явно опоздал на «вечеринку»,

9
00:00:35,234 --> 00:00:37,476
но он всё-таки внёс большой вклад.

10
00:00:37,476 --> 00:00:42,270
Так что же в этом такого, что так увлекало
математиков по всему миру?

11
00:00:42,270 --> 00:00:46,124
Вкратце, в этом треугольнике скрыто
множество закономерностей и секретов.

12
00:00:46,124 --> 00:00:49,428
Прежде всего, это тот принцип,
по которому он получается.

13
00:00:49,428 --> 00:00:54,477
Начните с единицы и представьте невидимые
нули по обе стороны от неё.

14
00:00:54,477 --> 00:00:58,592
Сложите числа попарно,
и получите следующий ряд.

15
00:00:58,592 --> 00:01:02,066
Далее, делайте так снова и снова.

16
00:01:02,066 --> 00:01:05,794
Продолжайте эту операцию, и перед вами
развернётся что-то вроде этого,

17
00:01:05,794 --> 00:01:09,325
хотя на самом деле треугольник Паскаля
продолжается до бесконечности.

18
00:01:09,325 --> 00:01:14,914
Каждый ряд соответствует так называемым
коэффициентам биномиального разложения,

19
00:01:14,914 --> 00:01:18,898
выражения вида (x+y)^n,

20
00:01:18,898 --> 00:01:21,307
где n — номер ряда,

21
00:01:21,307 --> 00:01:23,746
а нумерация их начинается с нуля.

22
00:01:23,746 --> 00:01:26,552
Так что, если мы примем n=2
и разложим данное выражение,

23
00:01:26,552 --> 00:01:31,107
то получим (x^2) + 2xy + (y^2).

24
00:01:31,107 --> 00:01:34,023
Коэффициенты, то есть числа,
стоящие перед переменными,

25
00:01:34,023 --> 00:01:38,397
совпадают с числами во втором ряду 
треугольника Паскаля.

26
00:01:38,397 --> 00:01:43,256
То же самое можно увидеть при n=3,
что даёт такое разложение.

27
00:01:43,256 --> 00:01:47,953
Итак, треугольник — это быстрый и лёгкий
способ нахождения этих коэффициентов.

28
00:01:48,493 --> 00:01:50,037
Но это ещё не всё.

29
00:01:50,037 --> 00:01:52,897
Например, сложите все числа в каждом ряду,

30
00:01:52,897 --> 00:01:56,039
и вы получите последовательность
степеней двойки.

31
00:01:56,039 --> 00:02:01,221
Или в каком-либо из рядов каждое число
будем считать цифрой десятичного числа.

32
00:02:01,221 --> 00:02:07,835
Иначе говоря, второй ряд даёт
(1 x 1) + (2 x 10) + (1 x 100),

33
00:02:07,835 --> 00:02:12,111
и мы получаем 121, что равно 11^2.

34
00:02:12,111 --> 00:02:15,872
Посмотрим, что произойдёт,
если то же самое сделать с шестым рядом.

35
00:02:15,872 --> 00:02:25,136
Это даст 1 771 561,
что равняется 11^6, и так далее.

36
00:02:25,136 --> 00:02:27,890
Есть и геометрические применения
этого треугольника.

37
00:02:27,890 --> 00:02:29,691
Взгляните на диагонали.

38
00:02:29,691 --> 00:02:32,827
Первые две не очень интересны: 
только единицы,

39
00:02:32,827 --> 00:02:36,656
а потом целые положительные числа,
известные также как натуральные числа.

40
00:02:36,656 --> 00:02:40,707
Но числа на следующей диагонали
называются треугольными числами,

41
00:02:40,707 --> 00:02:42,783
так как если взять столько кружков,

42
00:02:42,783 --> 00:02:46,389
то из них можно построить
равносторонние треугольники.

43
00:02:46,389 --> 00:02:49,307
На следующей диагонали располагаются
тетраэдрические числа,

44
00:02:49,307 --> 00:02:54,622
так как, аналогично, из такого числа сфер
можно сложить тетраэдры.

45
00:02:54,622 --> 00:02:57,996
А как насчёт такого:
затеним все чётные числа —

46
00:02:57,996 --> 00:03:00,881
не так уж и много, когда треугольник мал,

47
00:03:00,881 --> 00:03:03,298
если же добавить тысячи рядов,

48
00:03:03,298 --> 00:03:07,439
то получим фрактал,
известный как треугольник Серпинского.

49
00:03:07,439 --> 00:03:10,756
Этот треугольник — не просто
математическое произведение искусства.

50
00:03:10,756 --> 00:03:12,742
Он ещё весьма полезен,

51
00:03:12,742 --> 00:03:15,481
особенно когда речь заходит о вероятностях

52
00:03:15,481 --> 00:03:17,856
и вычислениях в области комбинаторики.

53
00:03:17,856 --> 00:03:20,454
Скажем, вы хотите,
чтобы у вас было пятеро детей,

54
00:03:20,454 --> 00:03:22,270
и желали бы узнать вероятность того,

55
00:03:22,270 --> 00:03:26,590
что у вас будет семья вашей мечты
с тремя девочками и двумя мальчиками.

56
00:03:26,590 --> 00:03:28,388
В биномиальном разложении

57
00:03:28,388 --> 00:03:32,116
этому соответствует
(девочка + мальчик) в пятой степени.

58
00:03:32,116 --> 00:03:33,660
Итак, мы смотрим на пятый ряд,

59
00:03:33,660 --> 00:03:37,131
в котором первое число
соответствует пяти девочкам,

60
00:03:37,131 --> 00:03:39,929
а последнее — пяти мальчикам.

61
00:03:39,929 --> 00:03:42,692
Нам же нужно третье число.

62
00:03:42,692 --> 00:03:46,642
Десять из суммы
всех вероятностей в этом ряду.

63
00:03:46,642 --> 00:03:51,490
В итоге получаем 10/32, то есть 31,25%.

64
00:03:51,490 --> 00:03:55,316
Или же, если вы случайно выбираете
в баскетбольную команду пять игроков

65
00:03:55,316 --> 00:03:57,084
из группы двенадцати друзей,

66
00:03:57,084 --> 00:04:00,102
то сколько возможно
различных групп пяти игроков?

67
00:04:00,102 --> 00:04:05,062
На языке комбинаторики эта задача
формулировалась бы как 5 из 12

68
00:04:05,062 --> 00:04:07,237
и могла бы решаться по такой формуле,

69
00:04:07,237 --> 00:04:11,348
или же можно просто посмотреть 
на 6-й элемент 12-го ряда в треугольнике

70
00:04:11,348 --> 00:04:12,573
и сразу получить ответ.

71
00:04:12,573 --> 00:04:15,079
Закономерности, имеющиеся
в треугольнике Паскаля,

72
00:04:15,079 --> 00:04:19,387
свидетельствуют об изящном переплетении
основ математики.

73
00:04:19,387 --> 00:04:23,271
И он по сей день продолжает
открывать новые секреты.

74
00:04:23,271 --> 00:04:27,422
К примеру, недавно математики обнаружили,
как его можно расширить

75
00:04:27,422 --> 00:04:30,019
для полиномов такого вида.

76
00:04:30,019 --> 00:04:31,758
Что ещё мы сможем открыть?

77
00:04:31,758 --> 00:04:34,097
Что ж, это зависит от вас.