WEBVTT

00:00:07.603 --> 00:00:11.000
Возможно, это выглядит,
как куча аккуратно расположенных чисел,

00:00:11.000 --> 00:00:14.506
но на самом деле 
это драгоценный клад математики.

00:00:14.506 --> 00:00:18.654
Индийские математики называли это
лестницей на гору Меру.

00:00:18.654 --> 00:00:21.131
В Иране это треугольник Хайяма.

00:00:21.131 --> 00:00:23.738
А в Китае это треугольник Ян Хуэя.

00:00:23.738 --> 00:00:28.033
Большей части западного мира 
это известно как треугольник Паскаля,

00:00:28.033 --> 00:00:31.085
в честь французского математика 
Блеза Паскаля,

00:00:31.085 --> 00:00:35.234
что кажется слегка несправедливым,
так как он явно опоздал на «вечеринку»,

00:00:35.234 --> 00:00:37.476
но он всё-таки внёс большой вклад.

00:00:37.476 --> 00:00:42.270
Так что же в этом такого, что так увлекало
математиков по всему миру?

00:00:42.270 --> 00:00:46.124
Вкратце, в этом треугольнике скрыто
множество закономерностей и секретов.

00:00:46.124 --> 00:00:49.428
Прежде всего, это тот принцип,
по которому он получается.

00:00:49.428 --> 00:00:54.477
Начните с единицы и представьте невидимые
нули по обе стороны от неё.

00:00:54.477 --> 00:00:58.592
Сложите числа попарно,
и получите следующий ряд.

00:00:58.592 --> 00:01:02.066
Далее, делайте так снова и снова.

00:01:02.066 --> 00:01:05.794
Продолжайте эту операцию, и перед вами
развернётся что-то вроде этого,

00:01:05.794 --> 00:01:09.325
хотя на самом деле треугольник Паскаля
продолжается до бесконечности.

00:01:09.325 --> 00:01:14.914
Каждый ряд соответствует так называемым
коэффициентам биномиального разложения,

00:01:14.914 --> 00:01:18.898
выражения вида (x+y)^n,

00:01:18.898 --> 00:01:21.307
где n — номер ряда,

00:01:21.307 --> 00:01:23.746
а нумерация их начинается с нуля.

00:01:23.746 --> 00:01:26.552
Так что, если мы примем n=2
и разложим данное выражение,

00:01:26.552 --> 00:01:31.107
то получим (x^2) + 2xy + (y^2).

00:01:31.107 --> 00:01:34.023
Коэффициенты, то есть числа,
стоящие перед переменными,

00:01:34.023 --> 00:01:38.397
совпадают с числами во втором ряду 
треугольника Паскаля.

00:01:38.397 --> 00:01:43.256
То же самое можно увидеть при n=3,
что даёт такое разложение.

00:01:43.256 --> 00:01:47.953
Итак, треугольник — это быстрый и лёгкий
способ нахождения этих коэффициентов.

00:01:48.493 --> 00:01:50.037
Но это ещё не всё.

00:01:50.037 --> 00:01:52.897
Например, сложите все числа в каждом ряду,

00:01:52.897 --> 00:01:56.039
и вы получите последовательность
степеней двойки.

00:01:56.039 --> 00:02:01.221
Или в каком-либо из рядов каждое число
будем считать цифрой десятичного числа.

00:02:01.221 --> 00:02:07.835
Иначе говоря, второй ряд даёт
(1 x 1) + (2 x 10) + (1 x 100),

00:02:07.835 --> 00:02:12.111
и мы получаем 121, что равно 11^2.

00:02:12.111 --> 00:02:15.872
Посмотрим, что произойдёт,
если то же самое сделать с шестым рядом.

00:02:15.872 --> 00:02:25.136
Это даст 1 771 561,
что равняется 11^6, и так далее.

00:02:25.136 --> 00:02:27.890
Есть и геометрические применения
этого треугольника.

00:02:27.890 --> 00:02:29.691
Взгляните на диагонали.

00:02:29.691 --> 00:02:32.827
Первые две не очень интересны: 
только единицы,

00:02:32.827 --> 00:02:36.656
а потом целые положительные числа,
известные также как натуральные числа.

00:02:36.656 --> 00:02:40.707
Но числа на следующей диагонали
называются треугольными числами,

00:02:40.707 --> 00:02:42.783
так как если взять столько кружков,

00:02:42.783 --> 00:02:46.389
то из них можно построить
равносторонние треугольники.

00:02:46.389 --> 00:02:49.307
На следующей диагонали располагаются
тетраэдрические числа,

00:02:49.307 --> 00:02:54.622
так как, аналогично, из такого числа сфер
можно сложить тетраэдры.

00:02:54.622 --> 00:02:57.996
А как насчёт такого:
затеним все чётные числа —

00:02:57.996 --> 00:03:00.881
не так уж и много, когда треугольник мал,

00:03:00.881 --> 00:03:03.298
если же добавить тысячи рядов,

00:03:03.298 --> 00:03:07.439
то получим фрактал,
известный как треугольник Серпинского.

00:03:07.439 --> 00:03:10.756
Этот треугольник — не просто
математическое произведение искусства.

00:03:10.756 --> 00:03:12.742
Он ещё весьма полезен,

00:03:12.742 --> 00:03:15.481
особенно когда речь заходит о вероятностях

00:03:15.481 --> 00:03:17.856
и вычислениях в области комбинаторики.

00:03:17.856 --> 00:03:20.454
Скажем, вы хотите,
чтобы у вас было пятеро детей,

00:03:20.454 --> 00:03:22.270
и желали бы узнать вероятность того,

00:03:22.270 --> 00:03:26.590
что у вас будет семья вашей мечты
с тремя девочками и двумя мальчиками.

00:03:26.590 --> 00:03:28.388
В биномиальном разложении

00:03:28.388 --> 00:03:32.116
этому соответствует
(девочка + мальчик) в пятой степени.

00:03:32.116 --> 00:03:33.660
Итак, мы смотрим на пятый ряд,

00:03:33.660 --> 00:03:37.131
в котором первое число
соответствует пяти девочкам,

00:03:37.131 --> 00:03:39.929
а последнее — пяти мальчикам.

00:03:39.929 --> 00:03:42.692
Нам же нужно третье число.

00:03:42.692 --> 00:03:46.642
Десять из суммы
всех вероятностей в этом ряду.

00:03:46.642 --> 00:03:51.490
В итоге получаем 10/32, то есть 31,25%.

00:03:51.490 --> 00:03:55.316
Или же, если вы случайно выбираете
в баскетбольную команду пять игроков

00:03:55.316 --> 00:03:57.084
из группы двенадцати друзей,

00:03:57.084 --> 00:04:00.102
то сколько возможно
различных групп пяти игроков?

00:04:00.102 --> 00:04:05.062
На языке комбинаторики эта задача
формулировалась бы как 5 из 12

00:04:05.062 --> 00:04:07.237
и могла бы решаться по такой формуле,

00:04:07.237 --> 00:04:11.348
или же можно просто посмотреть 
на 6-й элемент 12-го ряда в треугольнике

00:04:11.348 --> 00:04:12.573
и сразу получить ответ.

00:04:12.573 --> 00:04:15.079
Закономерности, имеющиеся
в треугольнике Паскаля,

00:04:15.079 --> 00:04:19.387
свидетельствуют об изящном переплетении
основ математики.

00:04:19.387 --> 00:04:23.271
И он по сей день продолжает
открывать новые секреты.

00:04:23.271 --> 00:04:27.422
К примеру, недавно математики обнаружили,
как его можно расширить

00:04:27.422 --> 00:04:30.019
для полиномов такого вида.

00:04:30.019 --> 00:04:31.758
Что ещё мы сможем открыть?

00:04:31.758 --> 00:04:34.097
Что ж, это зависит от вас.