Математические секреты треугольника Паскаля — Ваджди Мухаммед Ратеми

Смотрите полную версию урока: http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

Треугольник Паскаля, который на первый взгляд может показаться просто кучей аккуратно расположенных чисел, на самом деле является драгоценным кладом математики. Но что же в нём так привлекает математиков во всём мире? Ваджди Мухаммед Ратеми показывает закономерности и секреты, которыми изобилует треугольник Паскаля.

Урок — Ваджди Мухаммед Ратеми, мультипликация — Генрик Мальмгрен.

Возможно, это выглядит,
как куча аккуратно расположенных чисел,

но на самом деле
это драгоценный клад математики.

Индийские математики называли это
лестницей на гору Меру.

В Иране это треугольник Хайяма.

А в Китае это треугольник Ян Хуэя.

Большей части западного мира
это известно как треугольник Паскаля,

в честь французского математика
Блеза Паскаля,

что кажется слегка несправедливым,
так как он явно опоздал на «вечеринку»,

но он всё-таки внёс большой вклад.

Так что же в этом такого, что так увлекало
математиков по всему миру?

Вкратце, в этом треугольнике скрыто
множество закономерностей и секретов.

Прежде всего, это тот принцип,
по которому он получается.

Начните с единицы и представьте невидимые
нули по обе стороны от неё.

Сложите числа попарно,
и получите следующий ряд.

Далее, делайте так снова и снова.

Продолжайте эту операцию, и перед вами
развернётся что-то вроде этого,

хотя на самом деле треугольник Паскаля
продолжается до бесконечности.

Каждый ряд соответствует так называемым
коэффициентам биномиального разложения,

выражения вида (x+y)^n,

где n — номер ряда,

а нумерация их начинается с нуля.

Так что, если мы примем n=2
и разложим данное выражение,

то получим (x^2) + 2xy + (y^2).

Коэффициенты, то есть числа,
стоящие перед переменными,

совпадают с числами во втором ряду
треугольника Паскаля.

То же самое можно увидеть при n=3,
что даёт такое разложение.

Итак, треугольник — это быстрый и лёгкий
способ нахождения этих коэффициентов.

Но это ещё не всё.

Например, сложите все числа в каждом ряду,

и вы получите последовательность
степеней двойки.

Или в каком-либо из рядов каждое число
будем считать цифрой десятичного числа.

Иначе говоря, второй ряд даёт
(1 x 1) + (2 x 10) + (1 x 100),

и мы получаем 121, что равно 11^2.

Посмотрим, что произойдёт,
если то же самое сделать с шестым рядом.

Это даст 1 771 561,
что равняется 11^6, и так далее.

Есть и геометрические применения
этого треугольника.

Взгляните на диагонали.

Первые две не очень интересны:
только единицы,

а потом целые положительные числа,
известные также как натуральные числа.

Но числа на следующей диагонали
называются треугольными числами,

так как если взять столько кружков,

то из них можно построить
равносторонние треугольники.

На следующей диагонали располагаются
тетраэдрические числа,

так как, аналогично, из такого числа сфер
можно сложить тетраэдры.

А как насчёт такого:
затеним все чётные числа —

не так уж и много, когда треугольник мал,

если же добавить тысячи рядов,

то получим фрактал,
известный как треугольник Серпинского.

Этот треугольник — не просто
математическое произведение искусства.

Он ещё весьма полезен,

особенно когда речь заходит о вероятностях

и вычислениях в области комбинаторики.

Скажем, вы хотите,
чтобы у вас было пятеро детей,

и желали бы узнать вероятность того,

что у вас будет семья вашей мечты
с тремя девочками и двумя мальчиками.

В биномиальном разложении

этому соответствует
(девочка + мальчик) в пятой степени.

Итак, мы смотрим на пятый ряд,

в котором первое число
соответствует пяти девочкам,

а последнее — пяти мальчикам.

Нам же нужно третье число.

Десять из суммы
всех вероятностей в этом ряду.

В итоге получаем 10/32, то есть 31,25%.

Или же, если вы случайно выбираете
в баскетбольную команду пять игроков

из группы двенадцати друзей,

то сколько возможно
различных групп пяти игроков?

На языке комбинаторики эта задача
формулировалась бы как 5 из 12

и могла бы решаться по такой формуле,

или же можно просто посмотреть
на 6-й элемент 12-го ряда в треугольнике

и сразу получить ответ.

Закономерности, имеющиеся
в треугольнике Паскаля,

свидетельствуют об изящном переплетении
основ математики.

И он по сей день продолжает
открывать новые секреты.

К примеру, недавно математики обнаружили,
как его можно расширить

для полиномов такого вида.

Что ещё мы сможем открыть?

Что ж, это зависит от вас.