0:00:07.603,0:00:11.000
Возможно, это выглядит,[br]как куча аккуратно расположенных чисел,

0:00:11.000,0:00:14.506
но на самом деле [br]это драгоценный клад математики.

0:00:14.506,0:00:18.654
Индийские математики называли это[br]лестницей на гору Меру.

0:00:18.654,0:00:21.131
В Иране это треугольник Хайяма.

0:00:21.131,0:00:23.738
А в Китае это треугольник Ян Хуэя.

0:00:23.738,0:00:28.033
Большей части западного мира [br]это известно как треугольник Паскаля,

0:00:28.033,0:00:31.085
в честь французского математика [br]Блеза Паскаля,

0:00:31.085,0:00:35.234
что кажется слегка несправедливым,[br]так как он явно опоздал на «вечеринку»,

0:00:35.234,0:00:37.476
но он всё-таки внёс большой вклад.

0:00:37.476,0:00:42.270
Так что же в этом такого, что так увлекало[br]математиков по всему миру?

0:00:42.270,0:00:46.124
Вкратце, в этом треугольнике скрыто[br]множество закономерностей и секретов.

0:00:46.124,0:00:49.428
Прежде всего, это тот принцип,[br]по которому он получается.

0:00:49.428,0:00:54.477
Начните с единицы и представьте невидимые[br]нули по обе стороны от неё.

0:00:54.477,0:00:58.592
Сложите числа попарно,[br]и получите следующий ряд.

0:00:58.592,0:01:02.066
Далее, делайте так снова и снова.

0:01:02.066,0:01:05.794
Продолжайте эту операцию, и перед вами[br]развернётся что-то вроде этого,

0:01:05.794,0:01:09.325
хотя на самом деле треугольник Паскаля[br]продолжается до бесконечности.

0:01:09.325,0:01:14.914
Каждый ряд соответствует так называемым[br]коэффициентам биномиального разложения,

0:01:14.914,0:01:18.898
выражения вида (x+y)^n,

0:01:18.898,0:01:21.307
где n — номер ряда,

0:01:21.307,0:01:23.746
а нумерация их начинается с нуля.

0:01:23.746,0:01:26.552
Так что, если мы примем n=2[br]и разложим данное выражение,

0:01:26.552,0:01:31.107
то получим (x^2) + 2xy + (y^2).

0:01:31.107,0:01:34.023
Коэффициенты, то есть числа,[br]стоящие перед переменными,

0:01:34.023,0:01:38.397
совпадают с числами во втором ряду [br]треугольника Паскаля.

0:01:38.397,0:01:43.256
То же самое можно увидеть при n=3,[br]что даёт такое разложение.

0:01:43.256,0:01:47.953
Итак, треугольник — это быстрый и лёгкий[br]способ нахождения этих коэффициентов.

0:01:48.493,0:01:50.037
Но это ещё не всё.

0:01:50.037,0:01:52.897
Например, сложите все числа в каждом ряду,

0:01:52.897,0:01:56.039
и вы получите последовательность[br]степеней двойки.

0:01:56.039,0:02:01.221
Или в каком-либо из рядов каждое число[br]будем считать цифрой десятичного числа.

0:02:01.221,0:02:07.835
Иначе говоря, второй ряд даёт[br](1 x 1) + (2 x 10) + (1 x 100),

0:02:07.835,0:02:12.111
и мы получаем 121, что равно 11^2.

0:02:12.111,0:02:15.872
Посмотрим, что произойдёт,[br]если то же самое сделать с шестым рядом.

0:02:15.872,0:02:25.136
Это даст 1 771 561,[br]что равняется 11^6, и так далее.

0:02:25.136,0:02:27.890
Есть и геометрические применения[br]этого треугольника.

0:02:27.890,0:02:29.691
Взгляните на диагонали.

0:02:29.691,0:02:32.827
Первые две не очень интересны: [br]только единицы,

0:02:32.827,0:02:36.656
а потом целые положительные числа,[br]известные также как натуральные числа.

0:02:36.656,0:02:40.707
Но числа на следующей диагонали[br]называются треугольными числами,

0:02:40.707,0:02:42.783
так как если взять столько кружков,

0:02:42.783,0:02:46.389
то из них можно построить[br]равносторонние треугольники.

0:02:46.389,0:02:49.307
На следующей диагонали располагаются[br]тетраэдрические числа,

0:02:49.307,0:02:54.622
так как, аналогично, из такого числа сфер[br]можно сложить тетраэдры.

0:02:54.622,0:02:57.996
А как насчёт такого:[br]затеним все чётные числа —

0:02:57.996,0:03:00.881
не так уж и много, когда треугольник мал,

0:03:00.881,0:03:03.298
если же добавить тысячи рядов,

0:03:03.298,0:03:07.439
то получим фрактал,[br]известный как треугольник Серпинского.

0:03:07.439,0:03:10.756
Этот треугольник — не просто[br]математическое произведение искусства.

0:03:10.756,0:03:12.742
Он ещё весьма полезен,

0:03:12.742,0:03:15.481
особенно когда речь заходит о вероятностях

0:03:15.481,0:03:17.856
и вычислениях в области комбинаторики.

0:03:17.856,0:03:20.454
Скажем, вы хотите,[br]чтобы у вас было пятеро детей,

0:03:20.454,0:03:22.270
и желали бы узнать вероятность того,

0:03:22.270,0:03:26.590
что у вас будет семья вашей мечты[br]с тремя девочками и двумя мальчиками.

0:03:26.590,0:03:28.388
В биномиальном разложении

0:03:28.388,0:03:32.116
этому соответствует[br](девочка + мальчик) в пятой степени.

0:03:32.116,0:03:33.660
Итак, мы смотрим на пятый ряд,

0:03:33.660,0:03:37.131
в котором первое число[br]соответствует пяти девочкам,

0:03:37.131,0:03:39.929
а последнее — пяти мальчикам.

0:03:39.929,0:03:42.692
Нам же нужно третье число.

0:03:42.692,0:03:46.642
Десять из суммы[br]всех вероятностей в этом ряду.

0:03:46.642,0:03:51.490
В итоге получаем 10/32, то есть 31,25%.

0:03:51.490,0:03:55.316
Или же, если вы случайно выбираете[br]в баскетбольную команду пять игроков

0:03:55.316,0:03:57.084
из группы двенадцати друзей,

0:03:57.084,0:04:00.102
то сколько возможно[br]различных групп пяти игроков?

0:04:00.102,0:04:05.062
На языке комбинаторики эта задача[br]формулировалась бы как 5 из 12

0:04:05.062,0:04:07.237
и могла бы решаться по такой формуле,

0:04:07.237,0:04:11.348
или же можно просто посмотреть [br]на 6-й элемент 12-го ряда в треугольнике

0:04:11.348,0:04:12.573
и сразу получить ответ.

0:04:12.573,0:04:15.079
Закономерности, имеющиеся[br]в треугольнике Паскаля,

0:04:15.079,0:04:19.387
свидетельствуют об изящном переплетении[br]основ математики.

0:04:19.387,0:04:23.271
И он по сей день продолжает[br]открывать новые секреты.

0:04:23.271,0:04:27.422
К примеру, недавно математики обнаружили,[br]как его можно расширить

0:04:27.422,0:04:30.019
для полиномов такого вида.

0:04:30.019,0:04:31.758
Что ещё мы сможем открыть?

0:04:31.758,0:04:34.097
Что ж, это зависит от вас.