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Bienvenue à la présentation sur les systèmes d'équations linéaires.
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Alors c'est parti, on va voir de quoi ça parle.
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Donc, disons que j'ai deux équations.
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La première équation, laissez-moi l'écrire, 9x -
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4y = -78.
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Et la deuxième équation je vais l'écrire comme 4x +
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y est égal à -18.
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Maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va en fait
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utiliser les deux équations pour trouver x et y.
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On sait déjà que si vous avez une équation, elle a une
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variable, c'est très facile à résoudre pour cette seule variable.
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Mais maintenant on a deux équations.
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Vous pouvez un peu les voir comme deux contraintes.
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Et on va résoudre les deux variables.
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Et vous pourriez être un peu confus.
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Comment est-ce que ça marche ?
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Est-ce juste magique que deux équations peuvent résoudre
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pour deux variables ?
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Eh bien, non.
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Parce que vous pouvez en fait réarranger chacune de ces
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équations de sorte qu'elles ressemblent un peu à un
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format y = mx + b
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Et je ne vais pas dessiner ces deux équations, parce que
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je ne sais pas à quoi elles ressemblent, mais si c'était un axe
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de coordonnées -- et je ne sais pas à quoi ressemble cette
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première droite, on pourrait faire un autre modèle où l'aurait trouvé
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-- Mais disons juste pour l'exemple, que la première droite, tous les
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x et les y satisfont 9x - 4y = -78,
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disons qu'elle ressemble à ça.
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Et disons que tous les x et y qui satisfont cette
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deuxième équation, 4x + y = -18, disons
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qu'elle ressemble à ça.
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D'accord ?
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Donc, sur la droite se trouve l'ensemble des x et des y qui satisfont cette
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équation, et sur la droite verte sont tous les x et y
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qui satisfont à cette équation.
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Mais il n'y a qu'une seule paire de x et y qui satisfont les
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deux équations, et vous pouvez deviner où c'est, c'est
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juste ici, d'accord ?
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Quel que soit ce point -- je vais le faire en rose pour qu'il ressorte.
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Quel que soit ce point, remarquez qu'il est sur les deux droites.
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Donc, le x et le y de ce point seront la solution à
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ce système d'équations.
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Donc essayons de trouver comment faire ça.
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Donc ce qu'on veut faire c'est d'éliminer une variable, car
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si on peut éliminer une variable alors on peut juste
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résoudre celle qui reste.
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Et pour faire ça -- voyons voir, je veux éliminer,
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j'ai envie d'éliminer ce y, et je pense que vous aurez
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une intuition sur comment on pourra faire ça plus tard.
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Et ce que je vais faire c'est que je vais faire en sorte
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que lorsque j'additionne ça à ça, ils s'annulent.
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Bon, ils ne s'annulent pas pour l'instant, donc je dois
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multiplier cette équation du bas par 4, et je pense que ce sera
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évident pourquoi je fais ça.
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donc on va multiplier cette équation en bas par 4.
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Et j'obtiens 16x + 4y = 40 plus 32 moins 72.
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Ok ?
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Tout ce que j'ai fait c'est que j'ai multiplié les deux côtés
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de l'équation par 4, d'accord ?
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Et vous devez multiplier chaque terme parce
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c'est la propriété distributive des deux côtés.
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Ce que vous faites d'un côté vous devez le faire de l'autre.
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Laissez-moi réécrire l'équation du dessus.
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Et je vais l'écrire dans la même couleur pour qu'on puisse suivre
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ce qu'on a fait.
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9x - 4y est égal à -78.
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Ok, donc maintenant, si on additionnait ces deux équations, quand vous
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additionnez des équations, vous additionnez le côté gauche et vous
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additionnez le côté droit.
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Donc lorsque vous ajoutez, vous avez 16x + 9x.
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Et c'est égal à 25x.
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Ok ?
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16 + 9.
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4y - 4y, ça fait juste zéro.
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Donc, c'est zéro égal, et puis on a -72 - 78
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Donc, donc ça fait -150, d'accord ?
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Il suffit de les additionner tous ensemble.
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Donc on a 25x = 150.
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Eh bien, on pourrait simplement diviser les deux côtés par 25 ou multiplier les deux
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côtés par 1/25, c'est la même chose.
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Et vous obtenez x égal -- c'est moins 150
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-- x est égal à moins 6.
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Donc là on a résolu l'abscisse.
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Maintenant pour trouver l'ordonnée, on peut utiliser n'importe
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quelle équation d'en haut.
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Donc je vais utiliser celle-ci, elle a l'air un peu,
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un petit peu plus simple.
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Donc on remplace le x d'ici et on obtient
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4 fois -6 plus y est égal à -18.
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Je vais ici.
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4 fois -6 on obtient -24, plus y est égal à -18.
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Ensuite y est égal à 24 - 18.
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Donc y est égal à 6.
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Ainsi, ces deux droite, ou ces deux équations on pourrait dire,
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se croisent au point x = -6 et y = +6.
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Alors, en réalité elles se croisent plutôt quelque part par là
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J'ai dessiné ça, la droite ressemble sûrement plus à quelque chose comme ça.
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Mais c'est plutôt cool, non ?
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Nous avons en fait résolu pour deux variables en utilisant deux équations.
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Voyons voir combien de temps il me reste.
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Je pense qu'on a assez de temps pour faire un autre problème.
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Donc, disons que j'ai les points -- et je vais les écrire
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avec deux couleurs différentes -- moins 7x moins 4y égal 9.
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ensuite la deuxième équation va être x +
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2y est égal à 3.
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Maintenant si je devais faire ça le plus vite possible, je multiplierais
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sûrement cette équation par 7 et ça l'annulerait
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automatiquement.
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Mais c'est le moyen facile.
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Je vais vous montrer que parfois vous pourriez avoir à
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multiplier les deux équations -- en fait, pas dans ce cas.
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En fait, on va faire la manière courte très rapidement.
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Donc on va multiplier cette équation du bas par 7.
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Et la raison pour laquelle je veux la multiplier par 7
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c'est que je veux que ça s'annule avec ça.
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Si vous le multipliez par 7, vous obtenez 7x + 14y = 21
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Écrivons cette première équation à nouveau.
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-7x - 4y est égal à 9.
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Maintenant on additionne.
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Ça c'est +7x, ça ressemble juste à un moins.
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Ok, donc ça fait zéro.
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14 - 4y + 10y est égal à 30.
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y est égal à 3.
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Maintenant on remplace dans l'autre équation
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faisons celle-là.
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x + 2 fois y, 2 fois 3.
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x + 6 = 3.
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On trouve x = -3.
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Celle-là était super facile.
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L'intersection.
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J'espère que je ne l'ai pas fait trop vite.
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Bon, sinon vous pouvez mettre en pause et revoir la vidéo.
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Ok, donc ces deux droites se coupent au point
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-3 ; 3.
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On en fait un autre.
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J'espère qu'il sera plus dur.
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Je pense qu'il le sera.
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Ok, -3x -9y est égal à 66.
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On a -7x + 4y est égal à -71.
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Donc ici c'est pas évident.
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Ce qu'on doit faire, disons qu'on veut annuler
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les y en premier.
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Ce qu'on fait c'est qu'on essaie de faire que les deux soient égaux au plus petit
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multiple commun de 9 et 4.
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Donc, si on multiplie l'équation du dessus par 4, on obtient --
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Je vais le faire ici.
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Multiplions ça par 4.
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Fois 4.
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On va avoir -12x - 36Y est égal à 4 fois 66 --
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240 + 24 ça fait 264.
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Voilà, j'espère que c'est juste.
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On multiplie la deuxième équation par 9.
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Donc c'est -63x + 36y est égal à, voyons,
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un gros nombre.
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639.
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Ok, maintenant on additionne les deux équations.
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moins 12 moins 63 ça donne moins 75x -- ceux-là s'annulent -- égal
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264, donc combien font 639 moins 264.
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Je le fais en temps réel.
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Je n'utilise pas de manuel de solution ou quoi que ce soit.
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13 et 5, 70.
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Je ne sais pas si j'ai raison, mais on va voir.
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Vu qu'en fait c'est moins 639, c'est moins
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375, et je sais que 75 va dans 300 quatre fois,
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donc x est égal à 5.
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75 fois 5 égal 375.
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On vient de diviser les deux côtés par 75.
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Donc, si x = 5 on le remplace juste dans --
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prenons cette équation.
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Donc on a -3 fois 5 - 9y est égal à 66.
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Ça donne -15 - 9y = 66
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Moins 9y est égal à 81.
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Et puis on a y est égal à moins 9.
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Donc la réponse est 5 ; -9.
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Je pense que vous êtes prêts à faire des systèmes d'équations maintenant.
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Amusez-vous bien.