WEBVTT 00:00:01.050 --> 00:00:04.040 Bienvenue à la présentation sur les systèmes d'équations linéaires. 00:00:04.040 --> 00:00:06.970 Alors c'est parti, on va voir de quoi ça parle. 00:00:06.970 --> 00:00:10.110 Donc, disons que j'ai deux équations. 00:00:10.110 --> 00:00:15.740 La première équation, laissez-moi l'écrire, 9x - 00:00:15.740 --> 00:00:21.760 4y = -78. 00:00:21.760 --> 00:00:28.950 Et la deuxième équation je vais l'écrire comme 4x + 00:00:28.950 --> 00:00:33.390 y est égal à -18. 00:00:33.390 --> 00:00:35.411 Maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va en fait 00:00:35.411 --> 00:00:39.700 utiliser les deux équations pour trouver x et y. 00:00:39.700 --> 00:00:41.900 On sait déjà que si vous avez une équation, elle a une 00:00:41.900 --> 00:00:44.280 variable, c'est très facile à résoudre pour cette seule variable. 00:00:44.280 --> 00:00:45.790 Mais maintenant on a deux équations. 00:00:45.790 --> 00:00:47.340 Vous pouvez un peu les voir comme deux contraintes. 00:00:47.340 --> 00:00:50.340 Et on va résoudre les deux variables. 00:00:50.340 --> 00:00:51.790 Et vous pourriez être un peu confus. 00:00:51.790 --> 00:00:52.520 Comment est-ce que ça marche ? 00:00:52.520 --> 00:00:54.910 Est-ce juste magique que deux équations peuvent résoudre 00:00:54.910 --> 00:00:55.900 pour deux variables ? 00:00:55.900 --> 00:00:56.800 Eh bien, non. 00:00:56.800 --> 00:00:58.850 Parce que vous pouvez en fait réarranger chacune de ces 00:00:58.850 --> 00:01:01.840 équations de sorte qu'elles ressemblent un peu à un 00:01:01.840 --> 00:01:03.700 format y = mx + b 00:01:03.700 --> 00:01:06.200 Et je ne vais pas dessiner ces deux équations, parce que 00:01:06.200 --> 00:01:08.860 je ne sais pas à quoi elles ressemblent, mais si c'était un axe 00:01:08.860 --> 00:01:11.620 de coordonnées -- et je ne sais pas à quoi ressemble cette 00:01:11.620 --> 00:01:14.010 première droite, on pourrait faire un autre modèle où l'aurait trouvé 00:01:14.010 --> 00:01:16.500 -- Mais disons juste pour l'exemple, que la première droite, tous les 00:01:16.500 --> 00:01:20.540 x et les y satisfont 9x - 4y = -78, 00:01:20.540 --> 00:01:22.690 disons qu'elle ressemble à ça. 00:01:22.690 --> 00:01:26.400 Et disons que tous les x et y qui satisfont cette 00:01:26.400 --> 00:01:31.340 deuxième équation, 4x + y = -18, disons 00:01:31.340 --> 00:01:34.680 qu'elle ressemble à ça. 00:01:34.680 --> 00:01:35.620 D'accord ? 00:01:35.620 --> 00:01:40.050 Donc, sur la droite se trouve l'ensemble des x et des y qui satisfont cette 00:01:40.050 --> 00:01:42.555 équation, et sur la droite verte sont tous les x et y 00:01:42.555 --> 00:01:44.275 qui satisfont à cette équation. 00:01:44.275 --> 00:01:48.170 Mais il n'y a qu'une seule paire de x et y qui satisfont les 00:01:48.170 --> 00:01:51.430 deux équations, et vous pouvez deviner où c'est, c'est 00:01:51.430 --> 00:01:52.560 juste ici, d'accord ? 00:01:52.560 --> 00:01:57.660 Quel que soit ce point -- je vais le faire en rose pour qu'il ressorte. 00:01:57.660 --> 00:02:00.800 Quel que soit ce point, remarquez qu'il est sur les deux droites. 00:02:00.800 --> 00:02:05.260 Donc, le x et le y de ce point seront la solution à 00:02:05.260 --> 00:02:06.670 ce système d'équations. 00:02:06.670 --> 00:02:09.860 Donc essayons de trouver comment faire ça. 00:02:09.860 --> 00:02:12.080 Donc ce qu'on veut faire c'est d'éliminer une variable, car 00:02:12.080 --> 00:02:15.200 si on peut éliminer une variable alors on peut juste 00:02:15.200 --> 00:02:16.430 résoudre celle qui reste. 00:02:16.430 --> 00:02:19.930 Et pour faire ça -- voyons voir, je veux éliminer, 00:02:19.930 --> 00:02:22.210 j'ai envie d'éliminer ce y, et je pense que vous aurez 00:02:22.210 --> 00:02:24.630 une intuition sur comment on pourra faire ça plus tard. 00:02:24.630 --> 00:02:26.620 Et ce que je vais faire c'est que je vais faire en sorte 00:02:26.620 --> 00:02:29.250 que lorsque j'additionne ça à ça, ils s'annulent. 00:02:29.250 --> 00:02:31.340 Bon, ils ne s'annulent pas pour l'instant, donc je dois 00:02:31.340 --> 00:02:34.380 multiplier cette équation du bas par 4, et je pense que ce sera 00:02:34.380 --> 00:02:35.520 évident pourquoi je fais ça. 00:02:35.520 --> 00:02:37.810 donc on va multiplier cette équation en bas par 4. 00:02:37.810 --> 00:02:50.820 Et j'obtiens 16x + 4y = 40 plus 32 moins 72. 00:02:50.820 --> 00:02:51.130 Ok ? 00:02:51.130 --> 00:02:53.950 Tout ce que j'ai fait c'est que j'ai multiplié les deux côtés 00:02:53.950 --> 00:02:55.620 de l'équation par 4, d'accord ? 00:02:55.620 --> 00:02:57.210 Et vous devez multiplier chaque terme parce 00:02:57.210 --> 00:02:59.500 c'est la propriété distributive des deux côtés. 00:02:59.500 --> 00:03:01.050 Ce que vous faites d'un côté vous devez le faire de l'autre. 00:03:01.050 --> 00:03:03.300 Laissez-moi réécrire l'équation du dessus. 00:03:03.300 --> 00:03:05.230 Et je vais l'écrire dans la même couleur pour qu'on puisse suivre 00:03:05.230 --> 00:03:06.340 ce qu'on a fait. 00:03:06.340 --> 00:03:13.360 9x - 4y est égal à -78. 00:03:13.360 --> 00:03:18.580 Ok, donc maintenant, si on additionnait ces deux équations, quand vous 00:03:18.580 --> 00:03:20.430 additionnez des équations, vous additionnez le côté gauche et vous 00:03:20.430 --> 00:03:22.270 additionnez le côté droit. 00:03:22.270 --> 00:03:25.440 Donc lorsque vous ajoutez, vous avez 16x + 9x. 00:03:25.440 --> 00:03:28.590 Et c'est égal à 25x. 00:03:28.590 --> 00:03:28.950 Ok ? 00:03:28.950 --> 00:03:31.450 16 + 9. 00:03:31.450 --> 00:03:34.910 4y - 4y, ça fait juste zéro. 00:03:34.910 --> 00:03:43.680 Donc, c'est zéro égal, et puis on a -72 - 78 00:03:43.680 --> 00:03:51.490 Donc, donc ça fait -150, d'accord ? 00:03:51.490 --> 00:03:53.060 Il suffit de les additionner tous ensemble. 00:03:53.060 --> 00:03:58.820 Donc on a 25x = 150. 00:03:58.820 --> 00:04:03.420 Eh bien, on pourrait simplement diviser les deux côtés par 25 ou multiplier les deux 00:04:03.420 --> 00:04:05.380 côtés par 1/25, c'est la même chose. 00:04:05.380 --> 00:04:08.470 Et vous obtenez x égal -- c'est moins 150 00:04:08.470 --> 00:04:11.500 -- x est égal à moins 6. 00:04:11.500 --> 00:04:14.870 Donc là on a résolu l'abscisse. 00:04:14.870 --> 00:04:16.950 Maintenant pour trouver l'ordonnée, on peut utiliser n'importe 00:04:16.950 --> 00:04:18.500 quelle équation d'en haut. 00:04:18.500 --> 00:04:20.810 Donc je vais utiliser celle-ci, elle a l'air un peu, 00:04:20.810 --> 00:04:23.020 un petit peu plus simple. 00:04:23.020 --> 00:04:26.090 Donc on remplace le x d'ici et on obtient 00:04:26.090 --> 00:04:34.716 4 fois -6 plus y est égal à -18. 00:04:34.716 --> 00:04:35.730 Je vais ici. 00:04:35.730 --> 00:04:42.565 4 fois -6 on obtient -24, plus y est égal à -18. 00:04:42.565 --> 00:04:47.406 Ensuite y est égal à 24 - 18. 00:04:47.406 --> 00:04:50.510 Donc y est égal à 6. 00:04:50.510 --> 00:04:54.100 Ainsi, ces deux droite, ou ces deux équations on pourrait dire, 00:04:54.100 --> 00:05:00.300 se croisent au point x = -6 et y = +6. 00:05:00.300 --> 00:05:02.520 Alors, en réalité elles se croisent plutôt quelque part par là 00:05:02.520 --> 00:05:05.640 J'ai dessiné ça, la droite ressemble sûrement plus à quelque chose comme ça. 00:05:05.640 --> 00:05:06.950 Mais c'est plutôt cool, non ? 00:05:06.950 --> 00:05:11.830 Nous avons en fait résolu pour deux variables en utilisant deux équations. 00:05:11.830 --> 00:05:12.640 Voyons voir combien de temps il me reste. 00:05:12.640 --> 00:05:14.470 Je pense qu'on a assez de temps pour faire un autre problème. 00:05:14.470 --> 00:05:20.200 Donc, disons que j'ai les points -- et je vais les écrire 00:05:23.020 --> 00:05:32.940 avec deux couleurs différentes -- moins 7x moins 4y égal 9. 00:05:32.940 --> 00:05:39.150 ensuite la deuxième équation va être x + 00:05:39.150 --> 00:05:42.460 2y est égal à 3. 00:05:42.460 --> 00:05:45.140 Maintenant si je devais faire ça le plus vite possible, je multiplierais 00:05:45.140 --> 00:05:47.990 sûrement cette équation par 7 et ça l'annulerait 00:05:47.990 --> 00:05:49.020 automatiquement. 00:05:49.020 --> 00:05:49.850 Mais c'est le moyen facile. 00:05:49.850 --> 00:05:51.290 Je vais vous montrer que parfois vous pourriez avoir à 00:05:51.290 --> 00:05:54.780 multiplier les deux équations -- en fait, pas dans ce cas. 00:05:54.780 --> 00:05:56.800 En fait, on va faire la manière courte très rapidement. 00:05:56.800 --> 00:05:59.380 Donc on va multiplier cette équation du bas par 7. 00:05:59.380 --> 00:06:00.830 Et la raison pour laquelle je veux la multiplier par 7 00:06:00.830 --> 00:06:03.440 c'est que je veux que ça s'annule avec ça. 00:06:03.440 --> 00:06:10.150 Si vous le multipliez par 7, vous obtenez 7x + 14y = 21 00:06:10.150 --> 00:06:12.930 Écrivons cette première équation à nouveau. 00:06:12.930 --> 00:06:19.065 -7x - 4y est égal à 9. 00:06:19.065 --> 00:06:20.330 Maintenant on additionne. 00:06:20.330 --> 00:06:24.260 Ça c'est +7x, ça ressemble juste à un moins. 00:06:24.260 --> 00:06:25.900 Ok, donc ça fait zéro. 00:06:25.900 --> 00:06:32.460 14 - 4y + 10y est égal à 30. 00:06:32.460 --> 00:06:34.750 y est égal à 3. 00:06:34.750 --> 00:06:36.350 Maintenant on remplace dans l'autre équation 00:06:36.350 --> 00:06:37.980 faisons celle-là. 00:06:37.980 --> 00:06:42.110 x + 2 fois y, 2 fois 3. 00:06:42.110 --> 00:06:43.880 x + 6 = 3. 00:06:43.880 --> 00:06:45.900 On trouve x = -3. 00:06:45.900 --> 00:06:48.470 Celle-là était super facile. 00:06:48.470 --> 00:06:49.550 L'intersection. 00:06:49.550 --> 00:06:51.210 J'espère que je ne l'ai pas fait trop vite. 00:06:51.210 --> 00:06:54.430 Bon, sinon vous pouvez mettre en pause et revoir la vidéo. 00:06:54.430 --> 00:07:00.270 Ok, donc ces deux droites se coupent au point 00:07:00.270 --> 00:07:03.182 -3 ; 3. 00:07:03.182 --> 00:07:04.250 On en fait un autre. 00:07:04.250 --> 00:07:07.456 J'espère qu'il sera plus dur. 00:07:10.710 --> 00:07:11.510 Je pense qu'il le sera. 00:07:11.510 --> 00:07:20.300 Ok, -3x -9y est égal à 66. 00:07:20.300 --> 00:07:27.200 On a -7x + 4y est égal à -71. 00:07:27.200 --> 00:07:28.370 Donc ici c'est pas évident. 00:07:28.370 --> 00:07:31.540 Ce qu'on doit faire, disons qu'on veut annuler 00:07:31.540 --> 00:07:33.980 les y en premier. 00:07:33.980 --> 00:07:36.500 Ce qu'on fait c'est qu'on essaie de faire que les deux soient égaux au plus petit 00:07:36.500 --> 00:07:38.660 multiple commun de 9 et 4. 00:07:38.660 --> 00:07:43.340 Donc, si on multiplie l'équation du dessus par 4, on obtient -- 00:07:43.340 --> 00:07:44.520 Je vais le faire ici. 00:07:44.520 --> 00:07:45.870 Multiplions ça par 4. 00:07:45.870 --> 00:07:47.960 Fois 4. 00:07:47.960 --> 00:07:59.200 On va avoir -12x - 36Y est égal à 4 fois 66 -- 00:07:59.200 --> 00:08:05.400 240 + 24 ça fait 264. 00:08:05.400 --> 00:08:06.930 Voilà, j'espère que c'est juste. 00:08:06.930 --> 00:08:09.220 On multiplie la deuxième équation par 9. 00:08:09.220 --> 00:08:25.420 Donc c'est -63x + 36y est égal à, voyons, 00:08:25.420 --> 00:08:26.030 un gros nombre. 00:08:26.030 --> 00:08:29.350 639. 00:08:29.350 --> 00:08:31.540 Ok, maintenant on additionne les deux équations. 00:08:31.540 --> 00:08:43.570 moins 12 moins 63 ça donne moins 75x -- ceux-là s'annulent -- égal 00:08:43.570 --> 00:08:50.130 264, donc combien font 639 moins 264. 00:08:50.130 --> 00:08:51.160 Je le fais en temps réel. 00:08:51.160 --> 00:08:55.100 Je n'utilise pas de manuel de solution ou quoi que ce soit. 00:08:55.100 --> 00:08:59.710 13 et 5, 70. 00:08:59.710 --> 00:09:02.260 Je ne sais pas si j'ai raison, mais on va voir. 00:09:02.260 --> 00:09:06.360 Vu qu'en fait c'est moins 639, c'est moins 00:09:06.360 --> 00:09:12.440 375, et je sais que 75 va dans 300 quatre fois, 00:09:12.440 --> 00:09:16.450 donc x est égal à 5. 00:09:16.450 --> 00:09:19.515 75 fois 5 égal 375. 00:09:19.515 --> 00:09:22.460 On vient de diviser les deux côtés par 75. 00:09:22.460 --> 00:09:25.367 Donc, si x = 5 on le remplace juste dans -- 00:09:25.367 --> 00:09:27.890 prenons cette équation. 00:09:27.890 --> 00:09:36.380 Donc on a -3 fois 5 - 9y est égal à 66. 00:09:36.380 --> 00:09:41.920 Ça donne -15 - 9y = 66 00:09:41.920 --> 00:09:45.880 Moins 9y est égal à 81. 00:09:45.880 --> 00:09:49.840 Et puis on a y est égal à moins 9. 00:09:49.840 --> 00:09:53.530 Donc la réponse est 5 ; -9. 00:09:53.530 --> 00:09:55.530 Je pense que vous êtes prêts à faire des systèmes d'équations maintenant. 00:09:55.530 --> 00:09:57.090 Amusez-vous bien.