1
00:00:01,050 --> 00:00:04,040
Bienvenue à la présentation sur les systèmes d'équations linéaires.

2
00:00:04,040 --> 00:00:06,970
Alors c'est parti, on va voir de quoi ça parle.

3
00:00:06,970 --> 00:00:10,110
Donc, disons que j'ai deux équations.

4
00:00:10,110 --> 00:00:15,740
La première équation, laissez-moi l'écrire, 9x -

5
00:00:15,740 --> 00:00:21,760
4y = -78.

6
00:00:21,760 --> 00:00:28,950
Et la deuxième équation je vais l'écrire comme 4x +

7
00:00:28,950 --> 00:00:33,390
y est égal à -18.

8
00:00:33,390 --> 00:00:35,411
Maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va en fait

9
00:00:35,411 --> 00:00:39,700
utiliser les deux équations pour trouver x et y.

10
00:00:39,700 --> 00:00:41,900
On sait déjà que si vous avez une équation, elle a une

11
00:00:41,900 --> 00:00:44,280
variable, c'est très facile à résoudre pour cette seule variable.

12
00:00:44,280 --> 00:00:45,790
Mais maintenant on a deux équations.

13
00:00:45,790 --> 00:00:47,340
Vous pouvez un peu les voir comme deux contraintes.

14
00:00:47,340 --> 00:00:50,340
Et on va résoudre les deux variables.

15
00:00:50,340 --> 00:00:51,790
Et vous pourriez être un peu confus.

16
00:00:51,790 --> 00:00:52,520
Comment est-ce que ça marche ?

17
00:00:52,520 --> 00:00:54,910
Est-ce juste magique que deux équations peuvent résoudre

18
00:00:54,910 --> 00:00:55,900
pour deux variables ?

19
00:00:55,900 --> 00:00:56,800
Eh bien, non.

20
00:00:56,800 --> 00:00:58,850
Parce que vous pouvez en fait réarranger chacune de ces

21
00:00:58,850 --> 00:01:01,840
équations de sorte qu'elles ressemblent un peu à un

22
00:01:01,840 --> 00:01:03,700
format y = mx + b

23
00:01:03,700 --> 00:01:06,200
Et je ne vais pas dessiner ces deux équations, parce que

24
00:01:06,200 --> 00:01:08,860
je ne sais pas à quoi elles ressemblent, mais si c'était un axe

25
00:01:08,860 --> 00:01:11,620
de coordonnées -- et je ne sais pas à quoi ressemble cette

26
00:01:11,620 --> 00:01:14,010
première droite, on pourrait faire un autre modèle où l'aurait trouvé

27
00:01:14,010 --> 00:01:16,500
-- Mais disons juste pour l'exemple, que la première droite, tous les

28
00:01:16,500 --> 00:01:20,540
x et les y satisfont 9x - 4y = -78,

29
00:01:20,540 --> 00:01:22,690
disons qu'elle ressemble à ça.

30
00:01:22,690 --> 00:01:26,400
Et disons que tous les x et y qui satisfont cette

31
00:01:26,400 --> 00:01:31,340
deuxième équation, 4x + y = -18, disons

32
00:01:31,340 --> 00:01:34,680
qu'elle ressemble à ça.

33
00:01:34,680 --> 00:01:35,620
D'accord ?

34
00:01:35,620 --> 00:01:40,050
Donc, sur la droite se trouve l'ensemble des x et des y qui satisfont cette

35
00:01:40,050 --> 00:01:42,555
équation, et sur la droite verte sont tous les x et y

36
00:01:42,555 --> 00:01:44,275
qui satisfont à cette équation.

37
00:01:44,275 --> 00:01:48,170
Mais il n'y a qu'une seule paire de x et y qui satisfont les

38
00:01:48,170 --> 00:01:51,430
deux équations, et vous pouvez deviner où c'est, c'est

39
00:01:51,430 --> 00:01:52,560
juste ici, d'accord ?

40
00:01:52,560 --> 00:01:57,660
Quel que soit ce point -- je vais le faire en rose pour qu'il ressorte.

41
00:01:57,660 --> 00:02:00,800
Quel que soit ce point, remarquez qu'il est sur les deux droites.

42
00:02:00,800 --> 00:02:05,260
Donc, le x et le y de ce point seront la solution à

43
00:02:05,260 --> 00:02:06,670
ce système d'équations.

44
00:02:06,670 --> 00:02:09,860
Donc essayons de trouver comment faire ça.

45
00:02:09,860 --> 00:02:12,080
Donc ce qu'on veut faire c'est d'éliminer une variable, car

46
00:02:12,080 --> 00:02:15,200
si on peut éliminer une variable alors on peut juste

47
00:02:15,200 --> 00:02:16,430
résoudre celle qui reste.

48
00:02:16,430 --> 00:02:19,930
Et pour faire ça -- voyons voir, je veux éliminer,

49
00:02:19,930 --> 00:02:22,210
j'ai envie d'éliminer ce y, et je pense que vous aurez

50
00:02:22,210 --> 00:02:24,630
une intuition sur comment on pourra faire ça plus tard.

51
00:02:24,630 --> 00:02:26,620
Et ce que je vais faire c'est que je vais faire en sorte

52
00:02:26,620 --> 00:02:29,250
que lorsque j'additionne ça à ça, ils s'annulent.

53
00:02:29,250 --> 00:02:31,340
Bon, ils ne s'annulent pas pour l'instant, donc je dois

54
00:02:31,340 --> 00:02:34,380
multiplier cette équation du bas par 4, et je pense que ce sera

55
00:02:34,380 --> 00:02:35,520
évident pourquoi je fais ça.

56
00:02:35,520 --> 00:02:37,810
donc on va multiplier cette équation en bas par 4.

57
00:02:37,810 --> 00:02:50,820
Et j'obtiens 16x + 4y = 40 plus 32 moins 72.

58
00:02:50,820 --> 00:02:51,130
Ok ?

59
00:02:51,130 --> 00:02:53,950
Tout ce que j'ai fait c'est que j'ai multiplié les deux côtés

60
00:02:53,950 --> 00:02:55,620
de l'équation par 4, d'accord ?

61
00:02:55,620 --> 00:02:57,210
Et vous devez multiplier chaque terme parce

62
00:02:57,210 --> 00:02:59,500
c'est la propriété distributive des deux côtés.

63
00:02:59,500 --> 00:03:01,050
Ce que vous faites d'un côté vous devez le faire de l'autre.

64
00:03:01,050 --> 00:03:03,300
Laissez-moi réécrire l'équation du dessus.

65
00:03:03,300 --> 00:03:05,230
Et je vais l'écrire dans la même couleur pour qu'on puisse suivre

66
00:03:05,230 --> 00:03:06,340
ce qu'on a fait.

67
00:03:06,340 --> 00:03:13,360
9x - 4y est égal à -78.

68
00:03:13,360 --> 00:03:18,580
Ok, donc maintenant, si on additionnait ces deux équations, quand vous

69
00:03:18,580 --> 00:03:20,430
additionnez des équations, vous additionnez le côté gauche et vous

70
00:03:20,430 --> 00:03:22,270
additionnez le côté droit.

71
00:03:22,270 --> 00:03:25,440
Donc lorsque vous ajoutez, vous avez 16x + 9x.

72
00:03:25,440 --> 00:03:28,590
Et c'est égal à 25x.

73
00:03:28,590 --> 00:03:28,950
Ok ?

74
00:03:28,950 --> 00:03:31,450
16 + 9.

75
00:03:31,450 --> 00:03:34,910
4y - 4y, ça fait juste zéro.

76
00:03:34,910 --> 00:03:43,680
Donc, c'est zéro égal, et puis on a -72 - 78

77
00:03:43,680 --> 00:03:51,490
Donc, donc ça fait -150, d'accord ?

78
00:03:51,490 --> 00:03:53,060
Il suffit de les additionner tous ensemble.

79
00:03:53,060 --> 00:03:58,820
Donc on a 25x = 150.

80
00:03:58,820 --> 00:04:03,420
Eh bien, on pourrait simplement diviser les deux côtés par 25 ou multiplier les deux

81
00:04:03,420 --> 00:04:05,380
côtés par 1/25, c'est la même chose.

82
00:04:05,380 --> 00:04:08,470
Et vous obtenez x égal -- c'est moins 150

83
00:04:08,470 --> 00:04:11,500
-- x est égal à moins 6.

84
00:04:11,500 --> 00:04:14,870
Donc là on a résolu l'abscisse.

85
00:04:14,870 --> 00:04:16,950
Maintenant pour trouver l'ordonnée, on peut utiliser n'importe

86
00:04:16,950 --> 00:04:18,500
quelle équation d'en haut.

87
00:04:18,500 --> 00:04:20,810
Donc je vais utiliser celle-ci, elle a l'air un peu,

88
00:04:20,810 --> 00:04:23,020
un petit peu plus simple.

89
00:04:23,020 --> 00:04:26,090
Donc on remplace le x d'ici et on obtient

90
00:04:26,090 --> 00:04:34,716
4 fois -6 plus y est égal à -18.

91
00:04:34,716 --> 00:04:35,730
Je vais ici.

92
00:04:35,730 --> 00:04:42,565
4 fois -6 on obtient -24, plus y est égal à -18.

93
00:04:42,565 --> 00:04:47,406
Ensuite y est égal à 24 - 18.

94
00:04:47,406 --> 00:04:50,510
Donc y est égal à 6.

95
00:04:50,510 --> 00:04:54,100
Ainsi, ces deux droite, ou ces deux équations on pourrait dire,

96
00:04:54,100 --> 00:05:00,300
se croisent au point x = -6 et y = +6.

97
00:05:00,300 --> 00:05:02,520
Alors, en réalité elles se croisent plutôt quelque part par là

98
00:05:02,520 --> 00:05:05,640
J'ai dessiné ça, la droite ressemble sûrement plus à quelque chose comme ça.

99
00:05:05,640 --> 00:05:06,950
Mais c'est plutôt cool, non ?

100
00:05:06,950 --> 00:05:11,830
Nous avons en fait résolu pour deux variables en utilisant deux équations.

101
00:05:11,830 --> 00:05:12,640
Voyons voir combien de temps il me reste.

102
00:05:12,640 --> 00:05:14,470
Je pense qu'on a assez de temps pour faire un autre problème.

103
00:05:14,470 --> 00:05:20,200
Donc, disons que j'ai les points -- et je vais les écrire

104
00:05:23,020 --> 00:05:32,940
avec deux couleurs différentes -- moins 7x moins 4y égal 9.

105
00:05:32,940 --> 00:05:39,150
ensuite la deuxième équation va être x +

106
00:05:39,150 --> 00:05:42,460
2y est égal à 3.

107
00:05:42,460 --> 00:05:45,140
Maintenant si je devais faire ça le plus vite possible, je multiplierais

108
00:05:45,140 --> 00:05:47,990
sûrement cette équation par 7 et ça l'annulerait

109
00:05:47,990 --> 00:05:49,020
automatiquement.

110
00:05:49,020 --> 00:05:49,850
Mais c'est le moyen facile.

111
00:05:49,850 --> 00:05:51,290
Je vais vous montrer que parfois vous pourriez avoir à

112
00:05:51,290 --> 00:05:54,780
multiplier les deux équations -- en fait, pas dans ce cas.

113
00:05:54,780 --> 00:05:56,800
En fait, on va faire la manière courte très rapidement.

114
00:05:56,800 --> 00:05:59,380
Donc on va multiplier cette équation du bas par 7.

115
00:05:59,380 --> 00:06:00,830
Et la raison pour laquelle je veux la multiplier par 7

116
00:06:00,830 --> 00:06:03,440
c'est que je veux que ça s'annule avec ça.

117
00:06:03,440 --> 00:06:10,150
Si vous le multipliez par 7, vous obtenez 7x + 14y = 21

118
00:06:10,150 --> 00:06:12,930
Écrivons cette première équation à nouveau.

119
00:06:12,930 --> 00:06:19,065
-7x - 4y est égal à 9.

120
00:06:19,065 --> 00:06:20,330
Maintenant on additionne.

121
00:06:20,330 --> 00:06:24,260
Ça c'est +7x, ça ressemble juste à un moins.

122
00:06:24,260 --> 00:06:25,900
Ok, donc ça fait zéro.

123
00:06:25,900 --> 00:06:32,460
14 - 4y + 10y est égal à 30.

124
00:06:32,460 --> 00:06:34,750
y est égal à 3.

125
00:06:34,750 --> 00:06:36,350
Maintenant on remplace dans l'autre équation

126
00:06:36,350 --> 00:06:37,980
faisons celle-là.

127
00:06:37,980 --> 00:06:42,110
x + 2 fois y, 2 fois 3.

128
00:06:42,110 --> 00:06:43,880
x + 6 = 3.

129
00:06:43,880 --> 00:06:45,900
On trouve x = -3.

130
00:06:45,900 --> 00:06:48,470
Celle-là était super facile.

131
00:06:48,470 --> 00:06:49,550
L'intersection.

132
00:06:49,550 --> 00:06:51,210
J'espère que je ne l'ai pas fait trop vite.

133
00:06:51,210 --> 00:06:54,430
Bon, sinon vous pouvez mettre en pause et revoir la vidéo.

134
00:06:54,430 --> 00:07:00,270
Ok, donc ces deux droites se coupent au point

135
00:07:00,270 --> 00:07:03,182
-3 ; 3.

136
00:07:03,182 --> 00:07:04,250
On en fait un autre.

137
00:07:04,250 --> 00:07:07,456
J'espère qu'il sera plus dur.

138
00:07:10,710 --> 00:07:11,510
Je pense qu'il le sera.

139
00:07:11,510 --> 00:07:20,300
Ok, -3x -9y est égal à 66.

140
00:07:20,300 --> 00:07:27,200
On a -7x + 4y est égal à -71.

141
00:07:27,200 --> 00:07:28,370
Donc ici c'est pas évident.

142
00:07:28,370 --> 00:07:31,540
Ce qu'on doit faire, disons qu'on veut annuler

143
00:07:31,540 --> 00:07:33,980
les y en premier.

144
00:07:33,980 --> 00:07:36,500
Ce qu'on fait c'est qu'on essaie de faire que les deux soient égaux au plus petit

145
00:07:36,500 --> 00:07:38,660
multiple commun de 9 et 4.

146
00:07:38,660 --> 00:07:43,340
Donc, si on multiplie l'équation du dessus par 4, on obtient --

147
00:07:43,340 --> 00:07:44,520
Je vais le faire ici.

148
00:07:44,520 --> 00:07:45,870
Multiplions ça par 4.

149
00:07:45,870 --> 00:07:47,960
Fois 4.

150
00:07:47,960 --> 00:07:59,200
On va avoir -12x - 36Y est égal à 4 fois 66 --

151
00:07:59,200 --> 00:08:05,400
240 + 24 ça fait 264.

152
00:08:05,400 --> 00:08:06,930
Voilà, j'espère que c'est juste.

153
00:08:06,930 --> 00:08:09,220
On multiplie la deuxième équation par 9.

154
00:08:09,220 --> 00:08:25,420
Donc c'est -63x + 36y est égal à, voyons,

155
00:08:25,420 --> 00:08:26,030
un gros nombre.

156
00:08:26,030 --> 00:08:29,350
639.

157
00:08:29,350 --> 00:08:31,540
Ok, maintenant on additionne les deux équations.

158
00:08:31,540 --> 00:08:43,570
moins 12 moins 63 ça donne moins 75x -- ceux-là s'annulent -- égal

159
00:08:43,570 --> 00:08:50,130
264, donc combien font 639 moins 264.

160
00:08:50,130 --> 00:08:51,160
Je le fais en temps réel.

161
00:08:51,160 --> 00:08:55,100
Je n'utilise pas de manuel de solution ou quoi que ce soit.

162
00:08:55,100 --> 00:08:59,710
13 et 5, 70.

163
00:08:59,710 --> 00:09:02,260
Je ne sais pas si j'ai raison, mais on va voir.

164
00:09:02,260 --> 00:09:06,360
Vu qu'en fait c'est moins 639, c'est moins

165
00:09:06,360 --> 00:09:12,440
375, et je sais que 75 va dans 300 quatre fois,

166
00:09:12,440 --> 00:09:16,450
donc x est égal à 5.

167
00:09:16,450 --> 00:09:19,515
75 fois 5 égal 375.

168
00:09:19,515 --> 00:09:22,460
On vient de diviser les deux côtés par 75.

169
00:09:22,460 --> 00:09:25,367
Donc, si x = 5 on le remplace juste dans --

170
00:09:25,367 --> 00:09:27,890
prenons cette équation.

171
00:09:27,890 --> 00:09:36,380
Donc on a -3 fois 5 - 9y est égal à 66.

172
00:09:36,380 --> 00:09:41,920
Ça donne -15 - 9y = 66

173
00:09:41,920 --> 00:09:45,880
Moins 9y est égal à 81.

174
00:09:45,880 --> 00:09:49,840
Et puis on a y est égal à moins 9.

175
00:09:49,840 --> 00:09:53,530
Donc la réponse est 5 ; -9.

176
00:09:53,530 --> 00:09:55,530
Je pense que vous êtes prêts à faire des systèmes d'équations maintenant.

177
00:09:55,530 --> 00:09:57,090
Amusez-vous bien.