0:00:01.050,0:00:04.040
Bienvenue à la présentation sur les systèmes d'équations linéaires.

0:00:04.040,0:00:06.970
Alors c'est parti, on va voir de quoi ça parle.

0:00:06.970,0:00:10.110
Donc, disons que j'ai deux équations.

0:00:10.110,0:00:15.740
La première équation, laissez-moi l'écrire, 9x -

0:00:15.740,0:00:21.760
4y = -78.

0:00:21.760,0:00:28.950
Et la deuxième équation je vais l'écrire comme 4x +

0:00:28.950,0:00:33.390
y est égal à -18.

0:00:33.390,0:00:35.411
Maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va en fait

0:00:35.411,0:00:39.700
utiliser les deux équations pour trouver x et y.

0:00:39.700,0:00:41.900
On sait déjà que si vous avez une équation, elle a une

0:00:41.900,0:00:44.280
variable, c'est très facile à résoudre pour cette seule variable.

0:00:44.280,0:00:45.790
Mais maintenant on a deux équations.

0:00:45.790,0:00:47.340
Vous pouvez un peu les voir comme deux contraintes.

0:00:47.340,0:00:50.340
Et on va résoudre les deux variables.

0:00:50.340,0:00:51.790
Et vous pourriez être un peu confus.

0:00:51.790,0:00:52.520
Comment est-ce que ça marche ?

0:00:52.520,0:00:54.910
Est-ce juste magique que deux équations peuvent résoudre

0:00:54.910,0:00:55.900
pour deux variables ?

0:00:55.900,0:00:56.800
Eh bien, non.

0:00:56.800,0:00:58.850
Parce que vous pouvez en fait réarranger chacune de ces

0:00:58.850,0:01:01.840
équations de sorte qu'elles ressemblent un peu à un

0:01:01.840,0:01:03.700
format y = mx + b

0:01:03.700,0:01:06.200
Et je ne vais pas dessiner ces deux équations, parce que

0:01:06.200,0:01:08.860
je ne sais pas à quoi elles ressemblent, mais si c'était un axe

0:01:08.860,0:01:11.620
de coordonnées -- et je ne sais pas à quoi ressemble cette

0:01:11.620,0:01:14.010
première droite, on pourrait faire un autre modèle où l'aurait trouvé

0:01:14.010,0:01:16.500
-- Mais disons juste pour l'exemple, que la première droite, tous les

0:01:16.500,0:01:20.540
x et les y satisfont 9x - 4y = -78,

0:01:20.540,0:01:22.690
disons qu'elle ressemble à ça.

0:01:22.690,0:01:26.400
Et disons que tous les x et y qui satisfont cette

0:01:26.400,0:01:31.340
deuxième équation, 4x + y = -18, disons

0:01:31.340,0:01:34.680
qu'elle ressemble à ça.

0:01:34.680,0:01:35.620
D'accord ?

0:01:35.620,0:01:40.050
Donc, sur la droite se trouve l'ensemble des x et des y qui satisfont cette

0:01:40.050,0:01:42.555
équation, et sur la droite verte sont tous les x et y

0:01:42.555,0:01:44.275
qui satisfont à cette équation.

0:01:44.275,0:01:48.170
Mais il n'y a qu'une seule paire de x et y qui satisfont les

0:01:48.170,0:01:51.430
deux équations, et vous pouvez deviner où c'est, c'est

0:01:51.430,0:01:52.560
juste ici, d'accord ?

0:01:52.560,0:01:57.660
Quel que soit ce point -- je vais le faire en rose pour qu'il ressorte.

0:01:57.660,0:02:00.800
Quel que soit ce point, remarquez qu'il est sur les deux droites.

0:02:00.800,0:02:05.260
Donc, le x et le y de ce point seront la solution à

0:02:05.260,0:02:06.670
ce système d'équations.

0:02:06.670,0:02:09.860
Donc essayons de trouver comment faire ça.

0:02:09.860,0:02:12.080
Donc ce qu'on veut faire c'est d'éliminer une variable, car

0:02:12.080,0:02:15.200
si on peut éliminer une variable alors on peut juste

0:02:15.200,0:02:16.430
résoudre celle qui reste.

0:02:16.430,0:02:19.930
Et pour faire ça -- voyons voir, je veux éliminer,

0:02:19.930,0:02:22.210
j'ai envie d'éliminer ce y, et je pense que vous aurez

0:02:22.210,0:02:24.630
une intuition sur comment on pourra faire ça plus tard.

0:02:24.630,0:02:26.620
Et ce que je vais faire c'est que je vais faire en sorte

0:02:26.620,0:02:29.250
que lorsque j'additionne ça à ça, ils s'annulent.

0:02:29.250,0:02:31.340
Bon, ils ne s'annulent pas pour l'instant, donc je dois

0:02:31.340,0:02:34.380
multiplier cette équation du bas par 4, et je pense que ce sera

0:02:34.380,0:02:35.520
évident pourquoi je fais ça.

0:02:35.520,0:02:37.810
donc on va multiplier cette équation en bas par 4.

0:02:37.810,0:02:50.820
Et j'obtiens 16x + 4y = 40 plus 32 moins 72.

0:02:50.820,0:02:51.130
Ok ?

0:02:51.130,0:02:53.950
Tout ce que j'ai fait c'est que j'ai multiplié les deux côtés

0:02:53.950,0:02:55.620
de l'équation par 4, d'accord ?

0:02:55.620,0:02:57.210
Et vous devez multiplier chaque terme parce

0:02:57.210,0:02:59.500
c'est la propriété distributive des deux côtés.

0:02:59.500,0:03:01.050
Ce que vous faites d'un côté vous devez le faire de l'autre.

0:03:01.050,0:03:03.300
Laissez-moi réécrire l'équation du dessus.

0:03:03.300,0:03:05.230
Et je vais l'écrire dans la même couleur pour qu'on puisse suivre

0:03:05.230,0:03:06.340
ce qu'on a fait.

0:03:06.340,0:03:13.360
9x - 4y est égal à -78.

0:03:13.360,0:03:18.580
Ok, donc maintenant, si on additionnait ces deux équations, quand vous

0:03:18.580,0:03:20.430
additionnez des équations, vous additionnez le côté gauche et vous

0:03:20.430,0:03:22.270
additionnez le côté droit.

0:03:22.270,0:03:25.440
Donc lorsque vous ajoutez, vous avez 16x + 9x.

0:03:25.440,0:03:28.590
Et c'est égal à 25x.

0:03:28.590,0:03:28.950
Ok ?

0:03:28.950,0:03:31.450
16 + 9.

0:03:31.450,0:03:34.910
4y - 4y, ça fait juste zéro.

0:03:34.910,0:03:43.680
Donc, c'est zéro égal, et puis on a -72 - 78

0:03:43.680,0:03:51.490
Donc, donc ça fait -150, d'accord ?

0:03:51.490,0:03:53.060
Il suffit de les additionner tous ensemble.

0:03:53.060,0:03:58.820
Donc on a 25x = 150.

0:03:58.820,0:04:03.420
Eh bien, on pourrait simplement diviser les deux côtés par 25 ou multiplier les deux

0:04:03.420,0:04:05.380
côtés par 1/25, c'est la même chose.

0:04:05.380,0:04:08.470
Et vous obtenez x égal -- c'est moins 150

0:04:08.470,0:04:11.500
-- x est égal à moins 6.

0:04:11.500,0:04:14.870
Donc là on a résolu l'abscisse.

0:04:14.870,0:04:16.950
Maintenant pour trouver l'ordonnée, on peut utiliser n'importe

0:04:16.950,0:04:18.500
quelle équation d'en haut.

0:04:18.500,0:04:20.810
Donc je vais utiliser celle-ci, elle a l'air un peu,

0:04:20.810,0:04:23.020
un petit peu plus simple.

0:04:23.020,0:04:26.090
Donc on remplace le x d'ici et on obtient

0:04:26.090,0:04:34.716
4 fois -6 plus y est égal à -18.

0:04:34.716,0:04:35.730
Je vais ici.

0:04:35.730,0:04:42.565
4 fois -6 on obtient -24, plus y est égal à -18.

0:04:42.565,0:04:47.406
Ensuite y est égal à 24 - 18.

0:04:47.406,0:04:50.510
Donc y est égal à 6.

0:04:50.510,0:04:54.100
Ainsi, ces deux droite, ou ces deux équations on pourrait dire,

0:04:54.100,0:05:00.300
se croisent au point x = -6 et y = +6.

0:05:00.300,0:05:02.520
Alors, en réalité elles se croisent plutôt quelque part par là

0:05:02.520,0:05:05.640
J'ai dessiné ça, la droite ressemble sûrement plus à quelque chose comme ça.

0:05:05.640,0:05:06.950
Mais c'est plutôt cool, non ?

0:05:06.950,0:05:11.830
Nous avons en fait résolu pour deux variables en utilisant deux équations.

0:05:11.830,0:05:12.640
Voyons voir combien de temps il me reste.

0:05:12.640,0:05:14.470
Je pense qu'on a assez de temps pour faire un autre problème.

0:05:14.470,0:05:20.200
Donc, disons que j'ai les points -- et je vais les écrire

0:05:23.020,0:05:32.940
avec deux couleurs différentes -- moins 7x moins 4y égal 9.

0:05:32.940,0:05:39.150
ensuite la deuxième équation va être x +

0:05:39.150,0:05:42.460
2y est égal à 3.

0:05:42.460,0:05:45.140
Maintenant si je devais faire ça le plus vite possible, je multiplierais

0:05:45.140,0:05:47.990
sûrement cette équation par 7 et ça l'annulerait

0:05:47.990,0:05:49.020
automatiquement.

0:05:49.020,0:05:49.850
Mais c'est le moyen facile.

0:05:49.850,0:05:51.290
Je vais vous montrer que parfois vous pourriez avoir à

0:05:51.290,0:05:54.780
multiplier les deux équations -- en fait, pas dans ce cas.

0:05:54.780,0:05:56.800
En fait, on va faire la manière courte très rapidement.

0:05:56.800,0:05:59.380
Donc on va multiplier cette équation du bas par 7.

0:05:59.380,0:06:00.830
Et la raison pour laquelle je veux la multiplier par 7

0:06:00.830,0:06:03.440
c'est que je veux que ça s'annule avec ça.

0:06:03.440,0:06:10.150
Si vous le multipliez par 7, vous obtenez 7x + 14y = 21

0:06:10.150,0:06:12.930
Écrivons cette première équation à nouveau.

0:06:12.930,0:06:19.065
-7x - 4y est égal à 9.

0:06:19.065,0:06:20.330
Maintenant on additionne.

0:06:20.330,0:06:24.260
Ça c'est +7x, ça ressemble juste à un moins.

0:06:24.260,0:06:25.900
Ok, donc ça fait zéro.

0:06:25.900,0:06:32.460
14 - 4y + 10y est égal à 30.

0:06:32.460,0:06:34.750
y est égal à 3.

0:06:34.750,0:06:36.350
Maintenant on remplace dans l'autre équation

0:06:36.350,0:06:37.980
faisons celle-là.

0:06:37.980,0:06:42.110
x + 2 fois y, 2 fois 3.

0:06:42.110,0:06:43.880
x + 6 = 3.

0:06:43.880,0:06:45.900
On trouve x = -3.

0:06:45.900,0:06:48.470
Celle-là était super facile.

0:06:48.470,0:06:49.550
L'intersection.

0:06:49.550,0:06:51.210
J'espère que je ne l'ai pas fait trop vite.

0:06:51.210,0:06:54.430
Bon, sinon vous pouvez mettre en pause et revoir la vidéo.

0:06:54.430,0:07:00.270
Ok, donc ces deux droites se coupent au point

0:07:00.270,0:07:03.182
-3 ; 3.

0:07:03.182,0:07:04.250
On en fait un autre.

0:07:04.250,0:07:07.456
J'espère qu'il sera plus dur.

0:07:10.710,0:07:11.510
Je pense qu'il le sera.

0:07:11.510,0:07:20.300
Ok, -3x -9y est égal à 66.

0:07:20.300,0:07:27.200
On a -7x + 4y est égal à -71.

0:07:27.200,0:07:28.370
Donc ici c'est pas évident.

0:07:28.370,0:07:31.540
Ce qu'on doit faire, disons qu'on veut annuler

0:07:31.540,0:07:33.980
les y en premier.

0:07:33.980,0:07:36.500
Ce qu'on fait c'est qu'on essaie de faire que les deux soient égaux au plus petit

0:07:36.500,0:07:38.660
multiple commun de 9 et 4.

0:07:38.660,0:07:43.340
Donc, si on multiplie l'équation du dessus par 4, on obtient --

0:07:43.340,0:07:44.520
Je vais le faire ici.

0:07:44.520,0:07:45.870
Multiplions ça par 4.

0:07:45.870,0:07:47.960
Fois 4.

0:07:47.960,0:07:59.200
On va avoir -12x - 36Y est égal à 4 fois 66 --

0:07:59.200,0:08:05.400
240 + 24 ça fait 264.

0:08:05.400,0:08:06.930
Voilà, j'espère que c'est juste.

0:08:06.930,0:08:09.220
On multiplie la deuxième équation par 9.

0:08:09.220,0:08:25.420
Donc c'est -63x + 36y est égal à, voyons,

0:08:25.420,0:08:26.030
un gros nombre.

0:08:26.030,0:08:29.350
639.

0:08:29.350,0:08:31.540
Ok, maintenant on additionne les deux équations.

0:08:31.540,0:08:43.570
moins 12 moins 63 ça donne moins 75x -- ceux-là s'annulent -- égal

0:08:43.570,0:08:50.130
264, donc combien font 639 moins 264.

0:08:50.130,0:08:51.160
Je le fais en temps réel.

0:08:51.160,0:08:55.100
Je n'utilise pas de manuel de solution ou quoi que ce soit.

0:08:55.100,0:08:59.710
13 et 5, 70.

0:08:59.710,0:09:02.260
Je ne sais pas si j'ai raison, mais on va voir.

0:09:02.260,0:09:06.360
Vu qu'en fait c'est moins 639, c'est moins

0:09:06.360,0:09:12.440
375, et je sais que 75 va dans 300 quatre fois,

0:09:12.440,0:09:16.450
donc x est égal à 5.

0:09:16.450,0:09:19.515
75 fois 5 égal 375.

0:09:19.515,0:09:22.460
On vient de diviser les deux côtés par 75.

0:09:22.460,0:09:25.367
Donc, si x = 5 on le remplace juste dans --

0:09:25.367,0:09:27.890
prenons cette équation.

0:09:27.890,0:09:36.380
Donc on a -3 fois 5 - 9y est égal à 66.

0:09:36.380,0:09:41.920
Ça donne -15 - 9y = 66

0:09:41.920,0:09:45.880
Moins 9y est égal à 81.

0:09:45.880,0:09:49.840
Et puis on a y est égal à moins 9.

0:09:49.840,0:09:53.530
Donc la réponse est 5 ; -9.

0:09:53.530,0:09:55.530
Je pense que vous êtes prêts à faire des systèmes d'équations maintenant.

0:09:55.530,0:09:57.090
Amusez-vous bien.