Systèmes d'équations

systems of equations

Bienvenue à la présentation sur les systèmes d'équations linéaires.

Alors c'est parti, on va voir de quoi ça parle.

Donc, disons que j'ai deux équations.

La première équation, laissez-moi l'écrire, 9x -

4y = -78.

Et la deuxième équation je vais l'écrire comme 4x +

y est égal à -18.

Maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va en fait

utiliser les deux équations pour trouver x et y.

On sait déjà que si vous avez une équation, elle a une

variable, c'est très facile à résoudre pour cette seule variable.

Mais maintenant on a deux équations.

Vous pouvez un peu les voir comme deux contraintes.

Et on va résoudre les deux variables.

Et vous pourriez être un peu confus.

Comment est-ce que ça marche ?

Est-ce juste magique que deux équations peuvent résoudre

pour deux variables ?

Eh bien, non.

Parce que vous pouvez en fait réarranger chacune de ces

équations de sorte qu'elles ressemblent un peu à un

format y = mx + b

Et je ne vais pas dessiner ces deux équations, parce que

je ne sais pas à quoi elles ressemblent, mais si c'était un axe

de coordonnées -- et je ne sais pas à quoi ressemble cette

première droite, on pourrait faire un autre modèle où l'aurait trouvé

-- Mais disons juste pour l'exemple, que la première droite, tous les

x et les y satisfont 9x - 4y = -78,

disons qu'elle ressemble à ça.

Et disons que tous les x et y qui satisfont cette

deuxième équation, 4x + y = -18, disons

qu'elle ressemble à ça.

D'accord ?

Donc, sur la droite se trouve l'ensemble des x et des y qui satisfont cette

équation, et sur la droite verte sont tous les x et y

qui satisfont à cette équation.

Mais il n'y a qu'une seule paire de x et y qui satisfont les

deux équations, et vous pouvez deviner où c'est, c'est

juste ici, d'accord ?

Quel que soit ce point -- je vais le faire en rose pour qu'il ressorte.

Quel que soit ce point, remarquez qu'il est sur les deux droites.

Donc, le x et le y de ce point seront la solution à

ce système d'équations.

Donc essayons de trouver comment faire ça.

Donc ce qu'on veut faire c'est d'éliminer une variable, car

si on peut éliminer une variable alors on peut juste

résoudre celle qui reste.

Et pour faire ça -- voyons voir, je veux éliminer,

j'ai envie d'éliminer ce y, et je pense que vous aurez

une intuition sur comment on pourra faire ça plus tard.

Et ce que je vais faire c'est que je vais faire en sorte

que lorsque j'additionne ça à ça, ils s'annulent.

Bon, ils ne s'annulent pas pour l'instant, donc je dois

multiplier cette équation du bas par 4, et je pense que ce sera

évident pourquoi je fais ça.

donc on va multiplier cette équation en bas par 4.

Et j'obtiens 16x + 4y = 40 plus 32 moins 72.

Ok ?

Tout ce que j'ai fait c'est que j'ai multiplié les deux côtés

de l'équation par 4, d'accord ?

Et vous devez multiplier chaque terme parce

c'est la propriété distributive des deux côtés.

Ce que vous faites d'un côté vous devez le faire de l'autre.

Laissez-moi réécrire l'équation du dessus.

Et je vais l'écrire dans la même couleur pour qu'on puisse suivre

ce qu'on a fait.

9x - 4y est égal à -78.

Ok, donc maintenant, si on additionnait ces deux équations, quand vous

additionnez des équations, vous additionnez le côté gauche et vous

additionnez le côté droit.

Donc lorsque vous ajoutez, vous avez 16x + 9x.

Et c'est égal à 25x.

Ok ?

16 + 9.

4y - 4y, ça fait juste zéro.

Donc, c'est zéro égal, et puis on a -72 - 78

Donc, donc ça fait -150, d'accord ?

Il suffit de les additionner tous ensemble.

Donc on a 25x = 150.

Eh bien, on pourrait simplement diviser les deux côtés par 25 ou multiplier les deux

côtés par 1/25, c'est la même chose.

Et vous obtenez x égal -- c'est moins 150

-- x est égal à moins 6.

Donc là on a résolu l'abscisse.

Maintenant pour trouver l'ordonnée, on peut utiliser n'importe

quelle équation d'en haut.

Donc je vais utiliser celle-ci, elle a l'air un peu,

un petit peu plus simple.

Donc on remplace le x d'ici et on obtient

4 fois -6 plus y est égal à -18.

Je vais ici.

4 fois -6 on obtient -24, plus y est égal à -18.

Ensuite y est égal à 24 - 18.

Donc y est égal à 6.

Ainsi, ces deux droite, ou ces deux équations on pourrait dire,

se croisent au point x = -6 et y = +6.

Alors, en réalité elles se croisent plutôt quelque part par là

J'ai dessiné ça, la droite ressemble sûrement plus à quelque chose comme ça.

Mais c'est plutôt cool, non ?

Nous avons en fait résolu pour deux variables en utilisant deux équations.

Voyons voir combien de temps il me reste.

Je pense qu'on a assez de temps pour faire un autre problème.

Donc, disons que j'ai les points -- et je vais les écrire

avec deux couleurs différentes -- moins 7x moins 4y égal 9.

ensuite la deuxième équation va être x +

2y est égal à 3.

Maintenant si je devais faire ça le plus vite possible, je multiplierais

sûrement cette équation par 7 et ça l'annulerait

automatiquement.

Mais c'est le moyen facile.

Je vais vous montrer que parfois vous pourriez avoir à

multiplier les deux équations -- en fait, pas dans ce cas.

En fait, on va faire la manière courte très rapidement.

Donc on va multiplier cette équation du bas par 7.

Et la raison pour laquelle je veux la multiplier par 7

c'est que je veux que ça s'annule avec ça.

Si vous le multipliez par 7, vous obtenez 7x + 14y = 21

Écrivons cette première équation à nouveau.

-7x - 4y est égal à 9.

Maintenant on additionne.

Ça c'est +7x, ça ressemble juste à un moins.

Ok, donc ça fait zéro.

14 - 4y + 10y est égal à 30.

y est égal à 3.

Maintenant on remplace dans l'autre équation

faisons celle-là.

x + 2 fois y, 2 fois 3.

x + 6 = 3.

On trouve x = -3.

Celle-là était super facile.

L'intersection.

J'espère que je ne l'ai pas fait trop vite.

Bon, sinon vous pouvez mettre en pause et revoir la vidéo.

Ok, donc ces deux droites se coupent au point

-3 ; 3.

On en fait un autre.

J'espère qu'il sera plus dur.

Je pense qu'il le sera.

Ok, -3x -9y est égal à 66.

On a -7x + 4y est égal à -71.

Donc ici c'est pas évident.

Ce qu'on doit faire, disons qu'on veut annuler

les y en premier.

Ce qu'on fait c'est qu'on essaie de faire que les deux soient égaux au plus petit

multiple commun de 9 et 4.

Donc, si on multiplie l'équation du dessus par 4, on obtient --

Je vais le faire ici.

Multiplions ça par 4.

Fois 4.

On va avoir -12x - 36Y est égal à 4 fois 66 --

240 + 24 ça fait 264.

Voilà, j'espère que c'est juste.

On multiplie la deuxième équation par 9.

Donc c'est -63x + 36y est égal à, voyons,

un gros nombre.

639.

Ok, maintenant on additionne les deux équations.

moins 12 moins 63 ça donne moins 75x -- ceux-là s'annulent -- égal

264, donc combien font 639 moins 264.

Je le fais en temps réel.

Je n'utilise pas de manuel de solution ou quoi que ce soit.

13 et 5, 70.

Je ne sais pas si j'ai raison, mais on va voir.

Vu qu'en fait c'est moins 639, c'est moins

375, et je sais que 75 va dans 300 quatre fois,

donc x est égal à 5.

75 fois 5 égal 375.

On vient de diviser les deux côtés par 75.

Donc, si x = 5 on le remplace juste dans --

prenons cette équation.

Donc on a -3 fois 5 - 9y est égal à 66.

Ça donne -15 - 9y = 66

Moins 9y est égal à 81.

Et puis on a y est égal à moins 9.

Donc la réponse est 5 ; -9.

Je pense que vous êtes prêts à faire des systèmes d'équations maintenant.

Amusez-vous bien.