Lineaaralgebra: Transponeeritud maatriksi determinant

Proof by induction that transposing a matrix does not change its determinant

Vaatame, kas maatriksi transponeerimine mõjutab

selle determinanti.

Alustame siis 2x2 maatriksiga.

Alustame siis 2x2 maatriksiga.

Noh, siis alustame mingi maatriksiga siin.

Leianselle determinandi.

Ja a,b,c,d.

Ja nüüd leiame selle determinandi.

See on võrdne ad miinus bc.

Nüüd transponeerime maatriksit ja leiame selle

determinandi.

See peaks olla determinant ac -- veerud

on nüüd read -- bd -- read

muutuvad veerudeks.

Millega see võrdub?

See on võrdne ad miinus bc.

Ainus mis juhtus on see, et need kaks vahetati

ja neid oli vaja niikuinii oma vahel läbi korrutada.

Need kaks on võrdsed.

Ja nüüd me võime öelda, et 2x2 maatriksi determinant ja

selle sama transponeeritud maatriksi determinant

on võrdsed.

Aga see oli kõigest 2x2 maatriks.

Võime teha induktiivse väite, või

lihtsalt öelda, et see on induktsiooni väide ja näidata,

see peaks töötama kõigi n x n maatriksitega.

Induktiivseks tõestamiseks sa

eeldad, et väide kehtib n x n juhul.

Eeldame siis seda ja

ütleme, et mul on mingi maatriks.

Nimetan selle B, ja ütleme, et see on n korda n maatriks.

Me eeldame, et suvalise maatriksi B determinant,

mis on n x n, on võrdne transponeeritud maatriks B determinandiga.

Sellega me alustasime oma induktiivset tõestust.

Seejärel veendume, et kui see on tõene, et väide

kehtib ka (n+1) x (n+1) maatriksi korral.

Sest kui see õnnestub, võime öelda, et kui see on tõene

n x n juhul, ja see on tõsi

(n+1) x (n+1) juhul, siis ongi kõik kuna me teame, et

see on tõsi 2x2 juhul, mis on

me esimene n x n juht.

Ja kui see kehtib 2x2 juhul, see kehtib

3x3 juhul, sest n on vaid ühe võrra suurem.

Ja kui see kehtib 3x3 juhul, siis see kehtib ka

4x4 juhul.

Ja kui see kehtib 4x4 juhul, siis see kehtib ka

5x5 juhul ja nii edasi...

Seega kui tõestate midagi induktiivselt, siis tõestate mingi baasjuhu

siis tõestad, et kui see on tõene n jaoks või sel juhul

n x n determinandi juhul, ja kui see on õige

n x n determinandi juhul, see on õige

(n+1) x (n+1) determinandi või

(n+1) x (n+1) maatriksi puhul, ja siis on teie tõestus lõppenud.

Vaatame nüüd, kas on nii.

Joonistan siis (n+1) x (n+1) maatriksi.

Oletame, et mul on maatriks A, minu lemmik täht

maatriksitele, ma arvan isegi lineaaralgebra lemmik

täht maatriksite tähistamiseks.

Nüüd ütleme, et see on (n+1) x (n+1) maatriks.

Et lihtsustada kirjutamist, ütleme, et m on

võrdne (n+1)-ga.

Ja me võime seda nimetada m x m maatriksiks.

Ja kuidas see siis välja näeb?

Joonistame selle väärtused siia.

Joonistan rohkem kui tavapäraselt väärtusi.

a11, see on esimene rida, a12, ja kuni a1m.

Meil on m veergu, mis on sama mis n+1.

Mitte n korda 1 veergu.

See on n+1.

Ja teeme siis teise rea siia.

a21, a22, a23, ja kuni a2m.

Nüüd kolmas rida: a31, a32, a33

kuni a3m.

Samamoodi alla.

Lõppuks teil on m-srida, mis on samuti

n+1 rida.

Ja teil on m-s rida, esimene veerg, ja nüüd

am2, ja am3 kuni amm.

Nüüd joonistan transponeeritud A.

Ja transponeeritud A on samuti (n+1) x (n+1)

maatriks mida võib samuti kirjutada kui m x m maatriksi.

Lihtsalt transponeerime selle maatriksi.

Siis, see rida muutub veeruks,

ja muutub a11, ja see väärtus siin on a12.

See väärtus on siin samas.

Samamoodi kuni a1m.

Seejärel see roosa rida muutub roosaks veeruks siin a21--

see peaks olla roosa.

Siin on a21, a22, ja a23 kuni

a2m.

Siin on teil roheline rida, mis on me kolmas veerg

on a31, a32, a33 kuni a3m.

Nüüd jätame terve hunniku ridu siin juhul vahele,

aga sel juhul nad on veerud.

Lihtsalt joonistame mõned punktid ja am1, am2.

Liigun mööda seda rida, kuid see rida nüüd muutub,

see oli viimane rida.

Nüüd on see viimane veerg.

am3 samamoodi alla kuni amm.

Nüüd on maatriks transponeeritud.

Nüüd leiame A determinandi.

Teen seda lilla värviga.

A determinant on, me võime lihtsalt

mööda seda esimest rida alla minna,

See on võrdne a11 korda determinant oma alammaatriksist.

Seega selle alamaatriksi determinant

siin.

Võime tähistada seda A11.

Me oleme seda tähistust varemgi näinud.

A 11 maatriksi determinant miinus

a12 korda selle alammaatriksi determinant, te kriipsutate

läbi seda rea ja seda veeru.

See on A12, ja liigutate kuni

kuni-- ja me ei tea selle märki, seega

võtame (-1) astmele 1 plus m, mis annab õige

õige märgi -- korda

selle alammaatriksi determinant.

Nimetame seda A1m, ja kriipsutade maha selle rea ja veeru

ja kõik mis alles jääb on siin.

Nii.

Nüüd vaatame transponeeritud maatriksi determinanti.

Varem õppisime, et ei pea liikuma mööda esimest rida,

või ei pea üldse mööda rida liikuma.

Selle asemel võib mööda veergu liikuda.

Teen asja selgemaks:

A determinandi leidmiseks liikusime mööda seda rida

ja me alammaatriksid olid sellised. See oli esimene alammaatriks.

Minu teine alammaatriks, te teate küll kuidas see välja näeb.

Kriipsutasite maha teise veeru ja selle rea ning

misiganes alles jäi oli teine alammaatriks

ja nii edasi.

Et leida A transpoosi determinanti, liigume mööda

esimest veergu ja leiame alammaatriksid nii.

Ja see on võrdne -- vaatame esimene seda siin.

a11 korda oma alammaatriksi determinant.

Mis on tema alammaatriksi determinant?

See võrdub -- see alammaatriks, kriipsutage maha

see rida ja veerg ning alles jääb see siin.

Nüüd, huvitav küsimus on kuidas see asi

millele ma just kasti ümber joonistasin, see alammaatriks

on seotud selle alammaatriksiga?

Kui te vaadate hoolikalt see rida alates a22

kuni a2m muutus veeruks a22 kuni a2m.

See rida mis on järgmine, a32 kuni a3m on nüüd

veerg a32 kuni a3m.

Ja see viimane rida muutus

selleks veeruks.

Selle allammaatriksi determinant on võrdne

selle alammaatriksi transponeeritud vormi determinandiga

See on võrdne transponeeritud A 11.

Mööda rida liikudes saate, et miinus a12

korda oma allammaatriksi determinant.

Ja kui me kriipsutame ta rea ja veeru maha

kuidas ta alammaatriks välja näeb?

Ta allammaatriks näeb välja niiviisi.

Tal on see ning see siin.

Tal on see ning see siin.

Kuidas see sarnaneb A12-ga?

A12 tekkis kui kriipsutasite maha selle ja selle,

ning järele jäi see kõik siin.

Taaskord näeme, et see rida on sama mis

see veerg, et see rida on sama mis see veerg,

see rida on sama mis see veerg.

Seega taaskord, alammaatriks millest

peame leidma determinandi on võrdne

selle siin transponeeringule.

See on võrdne transponeeritud A12.

See -- joonistan seda tumedamaks -- see on võrdne

selle transponeeringule, on võrdne selle transponeeringule

siin.

Üldjuhul iga selle alammaatriks kui liigume mööda

seda rida on võrdne nende transponeeringuga.

Liigume edasi kuni

+ (-1)

Läheme allapoole kuni -1 astmele 1+m

korda determinant -- selle siin

transponeeringule.

Võite seda ise teha.

Kui kriipsutate selle ja selle maha,

jääb teile kõik muu selles

maatriksis ja see on võrdne transpoosile kui te kriipsustasite

selle ja selle maha.

See rida muutub selleks veeruks, see rida muutub

selleks veeruks.

Ma arvan, et saite aru.

Pole mõtet rohkem seletada.

See on siis võrdne A1m transponeeritud.

Pidage meeles, kui me indukstiivsel viisil tõestame

ma oletan, et -- pidage meeles see on (n+1) x (n+1) maatriks

ma eeldan, et -- pidage meeles see on (n+1) x (n+1) maatriks

Ma eeldasin, et nxn maatriksi jaoks

maatriksi B determinant on võrdne

B transponeeritud maatriksi determinandile.

Need siin, need on

n x n maatriksid?

See on (n+1) x (n+1).

Sama ka selle maatriksiga siin.

Aga need siin on suurusega n x n.

Ja kui me oletame, et n x n juhul maatriksi

determinant on võrdne selle transponeeritud maatriksi determinandile --

see on maatriksi determinant, see on

transponeeritu maatriksi determinant -- et need kaks

on võrdsed.

Ja me võime öelda, et transponeeritud A maatriksi determinant

on võrdne sellele väljendile A 11 korda see, aga see on

võrdne sellega n x n juhul.

Pidage meeles, me tegeleme (n+1) x (n+1) juhuga.

Aga need maatriksid on ühe võrra mõõtmega

väiksem mõlemas suunas.

Ühe rea ja veeru võrra väiksem.

Ja need kaks on võrdsed.

Seega selle asemel võin kirjutada seda, seega

A11 determinant.

Ja samamoodi edasi.

miinus a12 korda determinant.

Selle kirjutamise asemel, ma võin seda kirjutama, sest

need on võrdsed.

A 12 determinant, allapooleni pluss -1 astmele 1 + m

korda selle determinandit.

Need on võrdsed.

See on võrdne sellega.

See oli meie eeldus induktiivse tõestuse jaoks, A1m

See oli meie eeldus induktiivse tõestuse jaoks, A1m

Ja nüüd te näete seda, muidugi rida, see sinine

rida, on sama,mis see sinine rida.

Me saime seda A determinandi, ja see on

(n+1) x (n+1), see siis on (n+1)x (n+1) juhtum.

Me saime A determinandi, mis on võrdne

A transponeeritud maatriksi determinandiga.

Ja me oletasime, et see oli tõene -- kirjutan seda --

oletades, et see on õige n x n juhul.

Ja ongi tehtud.

Me tõestasime, et see on üldjuhul õige, sest

me tõestasime algjuhu.

Me tõestasime, et see töötab 2x2 maatriksi juhul, seejärel näitasime,

et kui see on tõene n juhul, kehtib ta ka n+1 juhul.

et kui see on tõene n juhul, kehtib ta ka n+1 juhul.

Ja kui see on õige 2 juhul, see on õige

3x3 juhul.

Ja kui see on õige 3x3 juhul, see on 4x4

juhul, ja nii edasi.

Saadud tulemus on päris kasulik -

Võime maatriksit transponeerida ja

ta determinant ei muutu.