0:00:00.690,0:00:03.910 Vaatame, kas maatriksi transponeerimine mõjutab 0:00:03.910,0:00:05.510 selle determinanti. 0:00:05.510,0:00:09.365 Alustame siis 2x2 maatriksiga. 0:00:09.365,0:00:12.380 Alustame siis 2x2 maatriksiga. 0:00:12.380,0:00:14.570 Noh, siis alustame mingi maatriksiga siin. 0:00:14.570,0:00:16.219 Leianselle determinandi. 0:00:16.219,0:00:20.280 Ja a,b,c,d. 0:00:20.280,0:00:22.610 Ja nüüd leiame selle determinandi. 0:00:22.610,0:00:27.930 See on võrdne ad miinus bc. 0:00:27.930,0:00:30.370 Nüüd transponeerime maatriksit ja leiame selle 0:00:30.370,0:00:30.980 determinandi. 0:00:30.980,0:00:36.810 See peaks olla determinant ac -- veerud 0:00:36.810,0:00:40.870 on nüüd read -- bd -- read 0:00:40.870,0:00:42.150 muutuvad veerudeks. 0:00:42.150,0:00:43.570 Millega see võrdub? 0:00:43.570,0:00:48.620 See on võrdne ad miinus bc. 0:00:48.620,0:00:50.820 Ainus mis juhtus on see, et need kaks vahetati 0:00:50.820,0:00:52.610 ja neid oli vaja niikuinii oma vahel läbi korrutada. 0:00:52.610,0:00:54.700 Need kaks on võrdsed. 0:00:54.700,0:01:01.090 Ja nüüd me võime öelda, et 2x2 maatriksi determinant ja 0:01:01.090,0:01:07.440 selle sama transponeeritud maatriksi determinant 0:01:07.440,0:01:08.100 on võrdsed. 0:01:08.100,0:01:10.380 Aga see oli kõigest 2x2 maatriks. 0:01:10.380,0:01:14.210 Võime teha induktiivse väite, või 0:01:14.210,0:01:21.170 lihtsalt öelda, et see on induktsiooni väide ja näidata, 0:01:21.170,0:01:27.090 see peaks töötama kõigi n x n maatriksitega. 0:01:27.090,0:01:30.760 Induktiivseks tõestamiseks sa 0:01:30.760,0:01:34.990 eeldad, et väide kehtib n x n juhul. 0:01:41.560,0:01:48.373 Eeldame siis seda ja 0:01:48.373,0:01:49.623 ütleme, et mul on mingi maatriks. 0:01:52.590,0:01:55.920 Nimetan selle B, ja ütleme, et see on n korda n maatriks. 0:01:55.920,0:02:01.270 Me eeldame, et suvalise maatriksi B determinant, 0:02:01.270,0:02:06.740 mis on n x n, on võrdne transponeeritud maatriks B determinandiga. 0:02:06.740,0:02:09.289 Sellega me alustasime oma induktiivset tõestust. 0:02:09.289,0:02:20.580 Seejärel veendume, et kui see on tõene, et väide 0:02:20.580,0:02:26.610 kehtib ka (n+1) x (n+1) maatriksi korral. 0:02:26.610,0:02:28.910 Sest kui see õnnestub, võime öelda, et kui see on tõene 0:02:28.910,0:02:32.470 n x n juhul, ja see on tõsi 0:02:32.470,0:02:36.240 (n+1) x (n+1) juhul, siis ongi kõik kuna me teame, et 0:02:36.240,0:02:39.220 see on tõsi 2x2 juhul, mis on 0:02:39.220,0:02:41.130 me esimene n x n juht. 0:02:41.130,0:02:43.460 Ja kui see kehtib 2x2 juhul, see kehtib 0:02:43.460,0:02:46.170 3x3 juhul, sest n on vaid ühe võrra suurem. 0:02:46.170,0:02:48.530 Ja kui see kehtib 3x3 juhul, siis see kehtib ka 0:02:48.530,0:02:50.170 4x4 juhul. 0:02:50.170,0:02:52.210 Ja kui see kehtib 4x4 juhul, siis see kehtib ka 0:02:52.210,0:02:55.190 5x5 juhul ja nii edasi... 0:02:55.190,0:02:57.730 Seega kui tõestate midagi induktiivselt, siis tõestate mingi baasjuhu 0:02:57.730,0:03:03.050 siis tõestad, et kui see on tõene n jaoks või sel juhul 0:03:03.050,0:03:07.010 n x n determinandi juhul, ja kui see on õige 0:03:07.010,0:03:08.690 n x n determinandi juhul, see on õige 0:03:08.690,0:03:12.560 (n+1) x (n+1) determinandi või 0:03:12.560,0:03:15.850 (n+1) x (n+1) maatriksi puhul, ja siis on teie tõestus lõppenud. 0:03:15.850,0:03:18.145 Vaatame nüüd, kas on nii. 0:03:18.145,0:03:24.742 Joonistan siis (n+1) x (n+1) maatriksi. 0:03:24.742,0:03:30.140 Oletame, et mul on maatriks A, minu lemmik täht 0:03:30.140,0:03:33.330 maatriksitele, ma arvan isegi lineaaralgebra lemmik 0:03:33.330,0:03:35.180 täht maatriksite tähistamiseks. 0:03:35.180,0:03:40.290 Nüüd ütleme, et see on (n+1) x (n+1) maatriks. 0:03:40.290,0:03:44.430 Et lihtsustada kirjutamist, ütleme, et m on 0:03:44.430,0:03:45.740 võrdne (n+1)-ga. 0:03:45.740,0:03:48.160 Ja me võime seda nimetada m x m maatriksiks. 0:03:48.160,0:03:49.840 Ja kuidas see siis välja näeb? 0:03:49.840,0:03:53.070 Joonistame selle väärtused siia. 0:03:53.070,0:03:56.270 Joonistan rohkem kui tavapäraselt väärtusi. 0:03:56.270,0:04:03.970 a11, see on esimene rida, a12, ja kuni a1m. 0:04:03.970,0:04:08.000 Meil on m veergu, mis on sama mis n+1. 0:04:08.000,0:04:10.000 Mitte n korda 1 veergu. 0:04:10.000,0:04:11.830 See on n+1. 0:04:11.830,0:04:14.800 Ja teeme siis teise rea siia. 0:04:14.800,0:04:22.700 a21, a22, a23, ja kuni a2m. 0:04:22.700,0:04:31.120 Nüüd kolmas rida: a31, a32, a33 0:04:31.120,0:04:34.540 kuni a3m. 0:04:34.540,0:04:38.050 Samamoodi alla. 0:04:38.050,0:04:41.015 Lõppuks teil on m-srida, mis on samuti 0:04:41.015,0:04:44.150 n+1 rida. 0:04:44.150,0:04:47.600 Ja teil on m-s rida, esimene veerg, ja nüüd 0:04:47.600,0:04:56.820 am2, ja am3 kuni amm. 0:04:58.280,0:05:02.340 Nüüd joonistan transponeeritud A. 0:05:02.340,0:05:09.120 Ja transponeeritud A on samuti (n+1) x (n+1) 0:05:09.120,0:05:14.270 maatriks mida võib samuti kirjutada kui m x m maatriksi. 0:05:14.270,0:05:16.960 Lihtsalt transponeerime selle maatriksi. 0:05:16.960,0:05:20.670 Siis, see rida muutub veeruks, 0:05:20.670,0:05:25.690 ja muutub a11, ja see väärtus siin on a12. 0:05:25.690,0:05:27.440 See väärtus on siin samas. 0:05:27.440,0:05:35.450 Samamoodi kuni a1m. 0:05:35.450,0:05:42.480 Seejärel see roosa rida muutub roosaks veeruks siin a21-- 0:05:42.480,0:05:45.600 see peaks olla roosa. 0:05:45.600,0:05:54.190 Siin on a21, a22, ja a23 kuni 0:05:54.190,0:05:56.680 a2m. 0:05:56.680,0:05:59.065 Siin on teil roheline rida, mis on me kolmas veerg 0:05:59.065,0:06:07.390 on a31, a32, a33 kuni a3m. 0:06:07.390,0:06:10.820 Nüüd jätame terve hunniku ridu siin juhul vahele, 0:06:10.820,0:06:12.270 aga sel juhul nad on veerud. 0:06:12.270,0:06:18.910 Lihtsalt joonistame mõned punktid ja am1, am2. 0:06:18.910,0:06:21.290 Liigun mööda seda rida, kuid see rida nüüd muutub, 0:06:21.290,0:06:22.875 see oli viimane rida. 0:06:22.875,0:06:24.970 Nüüd on see viimane veerg. 0:06:24.970,0:06:29.990 am3 samamoodi alla kuni amm. 0:06:29.990,0:06:33.320 Nüüd on maatriks transponeeritud. 0:06:33.320,0:06:36.100 Nüüd leiame A determinandi. 0:06:39.730,0:06:41.270 Teen seda lilla värviga. 0:06:41.270,0:06:47.260 A determinant on, me võime lihtsalt 0:06:47.260,0:06:49.120 mööda seda esimest rida alla minna, 0:06:49.120,0:06:56.450 See on võrdne a11 korda determinant oma alammaatriksist. 0:06:56.450,0:07:00.410 Seega selle alamaatriksi determinant 0:07:00.410,0:07:01.660 siin. 0:07:05.110,0:07:10.180 Võime tähistada seda A11. 0:07:10.180,0:07:12.740 Me oleme seda tähistust varemgi näinud. 0:07:12.740,0:07:19.170 A 11 maatriksi determinant miinus 0:07:19.170,0:07:24.560 a12 korda selle alammaatriksi determinant, te kriipsutate 0:07:24.560,0:07:26.710 läbi seda rea ja seda veeru. 0:07:26.710,0:07:30.230 See on A12, ja liigutate kuni 0:07:30.230,0:07:33.140 kuni-- ja me ei tea selle märki, seega 0:07:33.140,0:07:37.650 võtame (-1) astmele 1 plus m, mis annab õige 0:07:37.650,0:07:40.260 õige märgi -- korda 0:07:40.260,0:07:43.220 selle alammaatriksi determinant. 0:07:43.220,0:07:47.960 Nimetame seda A1m, ja kriipsutade maha selle rea ja veeru 0:07:47.960,0:07:49.540 ja kõik mis alles jääb on siin. 0:07:51.250,0:07:52.310 Nii. 0:07:52.310,0:07:54.790 Nüüd vaatame transponeeritud maatriksi determinanti. 0:07:58.820,0:08:01.200 Varem õppisime, et ei pea liikuma mööda esimest rida, 0:08:01.200,0:08:02.400 või ei pea üldse mööda rida liikuma. 0:08:02.400,0:08:03.840 Selle asemel võib mööda veergu liikuda. 0:08:03.840,0:08:04.970 Teen asja selgemaks: 0:08:04.970,0:08:09.080 A determinandi leidmiseks liikusime mööda seda rida 0:08:09.080,0:08:11.140 ja me alammaatriksid olid sellised. See oli esimene alammaatriks. 0:08:11.140,0:08:12.820 Minu teine alammaatriks, te teate küll kuidas see välja näeb. 0:08:12.820,0:08:15.460 Kriipsutasite maha teise veeru ja selle rea ning 0:08:15.460,0:08:18.040 misiganes alles jäi oli teine alammaatriks 0:08:18.040,0:08:19.010 ja nii edasi. 0:08:19.010,0:08:22.420 Et leida A transpoosi determinanti, liigume mööda 0:08:22.420,0:08:27.520 esimest veergu ja leiame alammaatriksid nii. 0:08:27.520,0:08:29.790 Ja see on võrdne -- vaatame esimene seda siin. 0:08:31.070,0:08:36.320 a11 korda oma alammaatriksi determinant. 0:08:36.320,0:08:38.039 Mis on tema alammaatriksi determinant? 0:08:38.039,0:08:41.740 See võrdub -- see alammaatriks, kriipsutage maha 0:08:41.740,0:08:46.000 see rida ja veerg ning alles jääb see siin. 0:08:48.000,0:08:51.120 Nüüd, huvitav küsimus on kuidas see asi 0:08:51.120,0:08:54.760 millele ma just kasti ümber joonistasin, see alammaatriks 0:08:54.760,0:08:56.450 on seotud selle alammaatriksiga? 0:08:56.450,0:08:59.610 Kui te vaadate hoolikalt see rida alates a22 0:08:59.610,0:09:04.320 kuni a2m muutus veeruks a22 kuni a2m. 0:09:04.320,0:09:07.820 See rida mis on järgmine, a32 kuni a3m on nüüd 0:09:07.820,0:09:10.540 veerg a32 kuni a3m. 0:09:10.540,0:09:13.120 Ja see viimane rida muutus 0:09:13.120,0:09:14.570 selleks veeruks. 0:09:14.570,0:09:18.690 Selle allammaatriksi determinant on võrdne 0:09:18.690,0:09:21.610 selle alammaatriksi transponeeritud vormi determinandiga 0:09:22.710,0:09:34.190 See on võrdne transponeeritud A 11. 0:09:34.190,0:09:40.350 Mööda rida liikudes saate, et miinus a12 0:09:40.350,0:09:42.590 korda oma allammaatriksi determinant. 0:09:42.590,0:09:48.110 Ja kui me kriipsutame ta rea ja veeru maha 0:09:48.110,0:09:49.400 kuidas ta alammaatriks välja näeb? 0:09:49.400,0:09:51.840 Ta allammaatriks näeb välja niiviisi. 0:09:51.840,0:09:55.030 Tal on see ning see siin. 0:09:55.030,0:09:56.120 Tal on see ning see siin. 0:09:56.120,0:09:58.060 Kuidas see sarnaneb A12-ga? 0:09:58.060,0:10:01.670 A12 tekkis kui kriipsutasite maha selle ja selle, 0:10:01.670,0:10:03.260 ning järele jäi see kõik siin. 0:10:06.040,0:10:08.920 Taaskord näeme, et see rida on sama mis 0:10:08.920,0:10:12.610 see veerg, et see rida on sama mis see veerg, 0:10:12.610,0:10:14.880 see rida on sama mis see veerg. 0:10:14.880,0:10:17.980 Seega taaskord, alammaatriks millest 0:10:17.980,0:10:20.070 peame leidma determinandi on võrdne 0:10:20.070,0:10:21.580 selle siin transponeeringule. 0:10:21.580,0:10:25.500 See on võrdne transponeeritud A12. 0:10:25.500,0:10:29.270 See -- joonistan seda tumedamaks -- see on võrdne 0:10:29.270,0:10:34.290 selle transponeeringule, on võrdne selle transponeeringule 0:10:34.290,0:10:35.000 siin. 0:10:35.000,0:10:38.330 Üldjuhul iga selle alammaatriks kui liigume mööda 0:10:38.330,0:10:40.860 seda rida on võrdne nende transponeeringuga. 0:10:40.860,0:10:43.950 Liigume edasi kuni 0:10:43.950,0:10:46.440 + (-1) 0:10:46.440,0:10:50.570 Läheme allapoole kuni -1 astmele 1+m 0:10:50.570,0:10:55.150 korda determinant -- selle siin 0:10:55.150,0:10:55.530 transponeeringule. 0:10:55.530,0:10:56.680 Võite seda ise teha. 0:10:56.680,0:11:00.560 Kui kriipsutate selle ja selle maha, 0:11:00.560,0:11:04.190 jääb teile kõik muu selles 0:11:04.190,0:11:07.800 maatriksis ja see on võrdne transpoosile kui te kriipsustasite 0:11:07.800,0:11:10.030 selle ja selle maha. 0:11:10.030,0:11:12.770 See rida muutub selleks veeruks, see rida muutub 0:11:12.770,0:11:13.660 selleks veeruks. 0:11:13.660,0:11:15.030 Ma arvan, et saite aru. 0:11:15.030,0:11:16.290 Pole mõtet rohkem seletada. 0:11:16.290,0:11:21.230 See on siis võrdne A1m transponeeritud. 0:11:21.230,0:11:25.440 Pidage meeles, kui me indukstiivsel viisil tõestame 0:11:25.440,0:11:29.120 ma oletan, et -- pidage meeles see on (n+1) x (n+1) maatriks 0:11:29.120,0:11:30.630 ma eeldan, et -- pidage meeles see on (n+1) x (n+1) maatriks 0:11:30.630,0:11:34.200 Ma eeldasin, et nxn maatriksi jaoks 0:11:34.200,0:11:36.330 maatriksi B determinant on võrdne 0:11:36.330,0:11:39.180 B transponeeritud maatriksi determinandile. 0:11:39.180,0:11:43.430 Need siin, need on 0:11:43.430,0:11:45.490 n x n maatriksid? 0:11:45.490,0:11:50.330 See on (n+1) x (n+1). 0:11:50.330,0:11:52.230 Sama ka selle maatriksiga siin. 0:11:52.230,0:11:54.560 Aga need siin on suurusega n x n. 0:11:57.190,0:12:02.060 Ja kui me oletame, et n x n juhul maatriksi 0:12:02.060,0:12:05.390 determinant on võrdne selle transponeeritud maatriksi determinandile -- 0:12:05.390,0:12:07.170 see on maatriksi determinant, see on 0:12:07.170,0:12:09.360 transponeeritu maatriksi determinant -- et need kaks 0:12:09.360,0:12:11.300 on võrdsed. 0:12:11.300,0:12:15.500 Ja me võime öelda, et transponeeritud A maatriksi determinant 0:12:15.500,0:12:21.110 on võrdne sellele väljendile A 11 korda see, aga see on 0:12:21.110,0:12:23.040 võrdne sellega n x n juhul. 0:12:23.040,0:12:26.540 Pidage meeles, me tegeleme (n+1) x (n+1) juhuga. 0:12:26.540,0:12:29.450 Aga need maatriksid on ühe võrra mõõtmega 0:12:29.450,0:12:30.960 väiksem mõlemas suunas. 0:12:30.960,0:12:32.700 Ühe rea ja veeru võrra väiksem. 0:12:32.700,0:12:33.955 Ja need kaks on võrdsed. 0:12:33.955,0:12:36.430 Seega selle asemel võin kirjutada seda, seega 0:12:36.430,0:12:39.820 A11 determinant. 0:12:39.820,0:12:40.720 Ja samamoodi edasi. 0:12:40.720,0:12:43.920 miinus a12 korda determinant. 0:12:43.920,0:12:45.730 Selle kirjutamise asemel, ma võin seda kirjutama, sest 0:12:45.730,0:12:46.840 need on võrdsed. 0:12:46.840,0:12:52.240 A 12 determinant, allapooleni pluss -1 astmele 1 + m 0:12:52.240,0:12:55.570 korda selle determinandit. 0:12:55.570,0:12:56.750 Need on võrdsed. 0:12:56.750,0:12:58.730 See on võrdne sellega. 0:12:58.730,0:13:00.620 See oli meie eeldus induktiivse tõestuse jaoks, A1m 0:13:00.620,0:13:04.230 See oli meie eeldus induktiivse tõestuse jaoks, A1m 0:13:04.230,0:13:06.790 Ja nüüd te näete seda, muidugi rida, see sinine 0:13:06.790,0:13:09.450 rida, on sama,mis see sinine rida. 0:13:09.450,0:13:16.100 Me saime seda A determinandi, ja see on 0:13:16.100,0:13:22.240 (n+1) x (n+1), see siis on (n+1)x (n+1) juhtum. 0:13:22.240,0:13:24.260 Me saime A determinandi, mis on võrdne 0:13:24.260,0:13:27.380 A transponeeritud maatriksi determinandiga. 0:13:27.380,0:13:36.310 Ja me oletasime, et see oli tõene -- kirjutan seda -- 0:13:36.310,0:13:43.950 oletades, et see on õige n x n juhul. 0:13:43.950,0:13:44.610 Ja ongi tehtud. 0:13:44.610,0:13:47.230 Me tõestasime, et see on üldjuhul õige, sest 0:13:47.230,0:13:48.350 me tõestasime algjuhu. 0:13:48.350,0:13:52.300 Me tõestasime, et see töötab 2x2 maatriksi juhul, seejärel näitasime, 0:13:52.300,0:13:54.230 et kui see on tõene n juhul, kehtib ta ka n+1 juhul. 0:13:54.230,0:13:55.940 et kui see on tõene n juhul, kehtib ta ka n+1 juhul. 0:13:55.940,0:13:57.980 Ja kui see on õige 2 juhul, see on õige 0:13:57.980,0:13:59.570 3x3 juhul. 0:13:59.570,0:14:02.110 Ja kui see on õige 3x3 juhul, see on 4x4 0:14:02.110,0:14:03.810 juhul, ja nii edasi. 0:14:03.810,0:14:05.460 Saadud tulemus on päris kasulik - 0:14:05.460,0:14:07.020 Võime maatriksit transponeerida ja 0:14:07.020,0:14:09.160 ta determinant ei muutu.