Vaatame, kas maatriksi transponeerimine mõjutab selle determinanti. Alustame siis 2x2 maatriksiga. Alustame siis 2x2 maatriksiga. Noh, siis alustame mingi maatriksiga siin. Leianselle determinandi. Ja a,b,c,d. Ja nüüd leiame selle determinandi. See on võrdne ad miinus bc. Nüüd transponeerime maatriksit ja leiame selle determinandi. See peaks olla determinant ac -- veerud on nüüd read -- bd -- read muutuvad veerudeks. Millega see võrdub? See on võrdne ad miinus bc. Ainus mis juhtus on see, et need kaks vahetati ja neid oli vaja niikuinii oma vahel läbi korrutada. Need kaks on võrdsed. Ja nüüd me võime öelda, et 2x2 maatriksi determinant ja selle sama transponeeritud maatriksi determinant on võrdsed. Aga see oli kõigest 2x2 maatriks. Võime teha induktiivse väite, või lihtsalt öelda, et see on induktsiooni väide ja näidata, see peaks töötama kõigi n x n maatriksitega. Induktiivseks tõestamiseks sa eeldad, et väide kehtib n x n juhul. Eeldame siis seda ja ütleme, et mul on mingi maatriks. Nimetan selle B, ja ütleme, et see on n korda n maatriks. Me eeldame, et suvalise maatriksi B determinant, mis on n x n, on võrdne transponeeritud maatriks B determinandiga. Sellega me alustasime oma induktiivset tõestust. Seejärel veendume, et kui see on tõene, et väide kehtib ka (n+1) x (n+1) maatriksi korral. Sest kui see õnnestub, võime öelda, et kui see on tõene n x n juhul, ja see on tõsi (n+1) x (n+1) juhul, siis ongi kõik kuna me teame, et see on tõsi 2x2 juhul, mis on me esimene n x n juht. Ja kui see kehtib 2x2 juhul, see kehtib 3x3 juhul, sest n on vaid ühe võrra suurem. Ja kui see kehtib 3x3 juhul, siis see kehtib ka 4x4 juhul. Ja kui see kehtib 4x4 juhul, siis see kehtib ka 5x5 juhul ja nii edasi... Seega kui tõestate midagi induktiivselt, siis tõestate mingi baasjuhu siis tõestad, et kui see on tõene n jaoks või sel juhul n x n determinandi juhul, ja kui see on õige n x n determinandi juhul, see on õige (n+1) x (n+1) determinandi või (n+1) x (n+1) maatriksi puhul, ja siis on teie tõestus lõppenud. Vaatame nüüd, kas on nii. Joonistan siis (n+1) x (n+1) maatriksi. Oletame, et mul on maatriks A, minu lemmik täht maatriksitele, ma arvan isegi lineaaralgebra lemmik täht maatriksite tähistamiseks. Nüüd ütleme, et see on (n+1) x (n+1) maatriks. Et lihtsustada kirjutamist, ütleme, et m on võrdne (n+1)-ga. Ja me võime seda nimetada m x m maatriksiks. Ja kuidas see siis välja näeb? Joonistame selle väärtused siia. Joonistan rohkem kui tavapäraselt väärtusi. a11, see on esimene rida, a12, ja kuni a1m. Meil on m veergu, mis on sama mis n+1. Mitte n korda 1 veergu. See on n+1. Ja teeme siis teise rea siia. a21, a22, a23, ja kuni a2m. Nüüd kolmas rida: a31, a32, a33 kuni a3m. Samamoodi alla. Lõppuks teil on m-srida, mis on samuti n+1 rida. Ja teil on m-s rida, esimene veerg, ja nüüd am2, ja am3 kuni amm. Nüüd joonistan transponeeritud A. Ja transponeeritud A on samuti (n+1) x (n+1) maatriks mida võib samuti kirjutada kui m x m maatriksi. Lihtsalt transponeerime selle maatriksi. Siis, see rida muutub veeruks, ja muutub a11, ja see väärtus siin on a12. See väärtus on siin samas. Samamoodi kuni a1m. Seejärel see roosa rida muutub roosaks veeruks siin a21-- see peaks olla roosa. Siin on a21, a22, ja a23 kuni a2m. Siin on teil roheline rida, mis on me kolmas veerg on a31, a32, a33 kuni a3m. Nüüd jätame terve hunniku ridu siin juhul vahele, aga sel juhul nad on veerud. Lihtsalt joonistame mõned punktid ja am1, am2. Liigun mööda seda rida, kuid see rida nüüd muutub, see oli viimane rida. Nüüd on see viimane veerg. am3 samamoodi alla kuni amm. Nüüd on maatriks transponeeritud. Nüüd leiame A determinandi. Teen seda lilla värviga. A determinant on, me võime lihtsalt mööda seda esimest rida alla minna, See on võrdne a11 korda determinant oma alammaatriksist. Seega selle alamaatriksi determinant siin. Võime tähistada seda A11. Me oleme seda tähistust varemgi näinud. A 11 maatriksi determinant miinus a12 korda selle alammaatriksi determinant, te kriipsutate läbi seda rea ja seda veeru. See on A12, ja liigutate kuni kuni-- ja me ei tea selle märki, seega võtame (-1) astmele 1 plus m, mis annab õige õige märgi -- korda selle alammaatriksi determinant. Nimetame seda A1m, ja kriipsutade maha selle rea ja veeru ja kõik mis alles jääb on siin. Nii. Nüüd vaatame transponeeritud maatriksi determinanti. Varem õppisime, et ei pea liikuma mööda esimest rida, või ei pea üldse mööda rida liikuma. Selle asemel võib mööda veergu liikuda. Teen asja selgemaks: A determinandi leidmiseks liikusime mööda seda rida ja me alammaatriksid olid sellised. See oli esimene alammaatriks. Minu teine alammaatriks, te teate küll kuidas see välja näeb. Kriipsutasite maha teise veeru ja selle rea ning misiganes alles jäi oli teine alammaatriks ja nii edasi. Et leida A transpoosi determinanti, liigume mööda esimest veergu ja leiame alammaatriksid nii. Ja see on võrdne -- vaatame esimene seda siin. a11 korda oma alammaatriksi determinant. Mis on tema alammaatriksi determinant? See võrdub -- see alammaatriks, kriipsutage maha see rida ja veerg ning alles jääb see siin. Nüüd, huvitav küsimus on kuidas see asi millele ma just kasti ümber joonistasin, see alammaatriks on seotud selle alammaatriksiga? Kui te vaadate hoolikalt see rida alates a22 kuni a2m muutus veeruks a22 kuni a2m. See rida mis on järgmine, a32 kuni a3m on nüüd veerg a32 kuni a3m. Ja see viimane rida muutus selleks veeruks. Selle allammaatriksi determinant on võrdne selle alammaatriksi transponeeritud vormi determinandiga See on võrdne transponeeritud A 11. Mööda rida liikudes saate, et miinus a12 korda oma allammaatriksi determinant. Ja kui me kriipsutame ta rea ja veeru maha kuidas ta alammaatriks välja näeb? Ta allammaatriks näeb välja niiviisi. Tal on see ning see siin. Tal on see ning see siin. Kuidas see sarnaneb A12-ga? A12 tekkis kui kriipsutasite maha selle ja selle, ning järele jäi see kõik siin. Taaskord näeme, et see rida on sama mis see veerg, et see rida on sama mis see veerg, see rida on sama mis see veerg. Seega taaskord, alammaatriks millest peame leidma determinandi on võrdne selle siin transponeeringule. See on võrdne transponeeritud A12. See -- joonistan seda tumedamaks -- see on võrdne selle transponeeringule, on võrdne selle transponeeringule siin. Üldjuhul iga selle alammaatriks kui liigume mööda seda rida on võrdne nende transponeeringuga. Liigume edasi kuni + (-1) Läheme allapoole kuni -1 astmele 1+m korda determinant -- selle siin transponeeringule. Võite seda ise teha. Kui kriipsutate selle ja selle maha, jääb teile kõik muu selles maatriksis ja see on võrdne transpoosile kui te kriipsustasite selle ja selle maha. See rida muutub selleks veeruks, see rida muutub selleks veeruks. Ma arvan, et saite aru. Pole mõtet rohkem seletada. See on siis võrdne A1m transponeeritud. Pidage meeles, kui me indukstiivsel viisil tõestame ma oletan, et -- pidage meeles see on (n+1) x (n+1) maatriks ma eeldan, et -- pidage meeles see on (n+1) x (n+1) maatriks Ma eeldasin, et nxn maatriksi jaoks maatriksi B determinant on võrdne B transponeeritud maatriksi determinandile. Need siin, need on n x n maatriksid? See on (n+1) x (n+1). Sama ka selle maatriksiga siin. Aga need siin on suurusega n x n. Ja kui me oletame, et n x n juhul maatriksi determinant on võrdne selle transponeeritud maatriksi determinandile -- see on maatriksi determinant, see on transponeeritu maatriksi determinant -- et need kaks on võrdsed. Ja me võime öelda, et transponeeritud A maatriksi determinant on võrdne sellele väljendile A 11 korda see, aga see on võrdne sellega n x n juhul. Pidage meeles, me tegeleme (n+1) x (n+1) juhuga. Aga need maatriksid on ühe võrra mõõtmega väiksem mõlemas suunas. Ühe rea ja veeru võrra väiksem. Ja need kaks on võrdsed. Seega selle asemel võin kirjutada seda, seega A11 determinant. Ja samamoodi edasi. miinus a12 korda determinant. Selle kirjutamise asemel, ma võin seda kirjutama, sest need on võrdsed. A 12 determinant, allapooleni pluss -1 astmele 1 + m korda selle determinandit. Need on võrdsed. See on võrdne sellega. See oli meie eeldus induktiivse tõestuse jaoks, A1m See oli meie eeldus induktiivse tõestuse jaoks, A1m Ja nüüd te näete seda, muidugi rida, see sinine rida, on sama,mis see sinine rida. Me saime seda A determinandi, ja see on (n+1) x (n+1), see siis on (n+1)x (n+1) juhtum. Me saime A determinandi, mis on võrdne A transponeeritud maatriksi determinandiga. Ja me oletasime, et see oli tõene -- kirjutan seda -- oletades, et see on õige n x n juhul. Ja ongi tehtud. Me tõestasime, et see on üldjuhul õige, sest me tõestasime algjuhu. Me tõestasime, et see töötab 2x2 maatriksi juhul, seejärel näitasime, et kui see on tõene n juhul, kehtib ta ka n+1 juhul. et kui see on tõene n juhul, kehtib ta ka n+1 juhul. Ja kui see on õige 2 juhul, see on õige 3x3 juhul. Ja kui see on õige 3x3 juhul, see on 4x4 juhul, ja nii edasi. Saadud tulemus on päris kasulik - Võime maatriksit transponeerida ja ta determinant ei muutu.