WEBVTT 00:00:00.690 --> 00:00:03.910 Vaatame, kas maatriksi transponeerimine mõjutab 00:00:03.910 --> 00:00:05.510 selle determinanti. 00:00:05.510 --> 00:00:09.365 Alustame siis 2x2 maatriksiga. 00:00:09.365 --> 00:00:12.380 Alustame siis 2x2 maatriksiga. 00:00:12.380 --> 00:00:14.570 Noh, siis alustame mingi maatriksiga siin. 00:00:14.570 --> 00:00:16.219 Leianselle determinandi. 00:00:16.219 --> 00:00:20.280 Ja a,b,c,d. 00:00:20.280 --> 00:00:22.610 Ja nüüd leiame selle determinandi. 00:00:22.610 --> 00:00:27.930 See on võrdne ad miinus bc. 00:00:27.930 --> 00:00:30.370 Nüüd transponeerime maatriksit ja leiame selle 00:00:30.370 --> 00:00:30.980 determinandi. 00:00:30.980 --> 00:00:36.810 See peaks olla determinant ac -- veerud 00:00:36.810 --> 00:00:40.870 on nüüd read -- bd -- read 00:00:40.870 --> 00:00:42.150 muutuvad veerudeks. 00:00:42.150 --> 00:00:43.570 Millega see võrdub? 00:00:43.570 --> 00:00:48.620 See on võrdne ad miinus bc. 00:00:48.620 --> 00:00:50.820 Ainus mis juhtus on see, et need kaks vahetati 00:00:50.820 --> 00:00:52.610 ja neid oli vaja niikuinii oma vahel läbi korrutada. 00:00:52.610 --> 00:00:54.700 Need kaks on võrdsed. 00:00:54.700 --> 00:01:01.090 Ja nüüd me võime öelda, et 2x2 maatriksi determinant ja 00:01:01.090 --> 00:01:07.440 selle sama transponeeritud maatriksi determinant 00:01:07.440 --> 00:01:08.100 on võrdsed. 00:01:08.100 --> 00:01:10.380 Aga see oli kõigest 2x2 maatriks. 00:01:10.380 --> 00:01:14.210 Võime teha induktiivse väite, või 00:01:14.210 --> 00:01:21.170 lihtsalt öelda, et see on induktsiooni väide ja näidata, 00:01:21.170 --> 00:01:27.090 see peaks töötama kõigi n x n maatriksitega. 00:01:27.090 --> 00:01:30.760 Induktiivseks tõestamiseks sa 00:01:30.760 --> 00:01:34.990 eeldad, et väide kehtib n x n juhul. 00:01:41.560 --> 00:01:48.373 Eeldame siis seda ja 00:01:48.373 --> 00:01:49.623 ütleme, et mul on mingi maatriks. 00:01:52.590 --> 00:01:55.920 Nimetan selle B, ja ütleme, et see on n korda n maatriks. 00:01:55.920 --> 00:02:01.270 Me eeldame, et suvalise maatriksi B determinant, 00:02:01.270 --> 00:02:06.740 mis on n x n, on võrdne transponeeritud maatriks B determinandiga. 00:02:06.740 --> 00:02:09.289 Sellega me alustasime oma induktiivset tõestust. 00:02:09.289 --> 00:02:20.580 Seejärel veendume, et kui see on tõene, et väide 00:02:20.580 --> 00:02:26.610 kehtib ka (n+1) x (n+1) maatriksi korral. 00:02:26.610 --> 00:02:28.910 Sest kui see õnnestub, võime öelda, et kui see on tõene 00:02:28.910 --> 00:02:32.470 n x n juhul, ja see on tõsi 00:02:32.470 --> 00:02:36.240 (n+1) x (n+1) juhul, siis ongi kõik kuna me teame, et 00:02:36.240 --> 00:02:39.220 see on tõsi 2x2 juhul, mis on 00:02:39.220 --> 00:02:41.130 me esimene n x n juht. 00:02:41.130 --> 00:02:43.460 Ja kui see kehtib 2x2 juhul, see kehtib 00:02:43.460 --> 00:02:46.170 3x3 juhul, sest n on vaid ühe võrra suurem. 00:02:46.170 --> 00:02:48.530 Ja kui see kehtib 3x3 juhul, siis see kehtib ka 00:02:48.530 --> 00:02:50.170 4x4 juhul. 00:02:50.170 --> 00:02:52.210 Ja kui see kehtib 4x4 juhul, siis see kehtib ka 00:02:52.210 --> 00:02:55.190 5x5 juhul ja nii edasi... 00:02:55.190 --> 00:02:57.730 Seega kui tõestate midagi induktiivselt, siis tõestate mingi baasjuhu 00:02:57.730 --> 00:03:03.050 siis tõestad, et kui see on tõene n jaoks või sel juhul 00:03:03.050 --> 00:03:07.010 n x n determinandi juhul, ja kui see on õige 00:03:07.010 --> 00:03:08.690 n x n determinandi juhul, see on õige 00:03:08.690 --> 00:03:12.560 (n+1) x (n+1) determinandi või 00:03:12.560 --> 00:03:15.850 (n+1) x (n+1) maatriksi puhul, ja siis on teie tõestus lõppenud. 00:03:15.850 --> 00:03:18.145 Vaatame nüüd, kas on nii. 00:03:18.145 --> 00:03:24.742 Joonistan siis (n+1) x (n+1) maatriksi. 00:03:24.742 --> 00:03:30.140 Oletame, et mul on maatriks A, minu lemmik täht 00:03:30.140 --> 00:03:33.330 maatriksitele, ma arvan isegi lineaaralgebra lemmik 00:03:33.330 --> 00:03:35.180 täht maatriksite tähistamiseks. 00:03:35.180 --> 00:03:40.290 Nüüd ütleme, et see on (n+1) x (n+1) maatriks. 00:03:40.290 --> 00:03:44.430 Et lihtsustada kirjutamist, ütleme, et m on 00:03:44.430 --> 00:03:45.740 võrdne (n+1)-ga. 00:03:45.740 --> 00:03:48.160 Ja me võime seda nimetada m x m maatriksiks. 00:03:48.160 --> 00:03:49.840 Ja kuidas see siis välja näeb? 00:03:49.840 --> 00:03:53.070 Joonistame selle väärtused siia. 00:03:53.070 --> 00:03:56.270 Joonistan rohkem kui tavapäraselt väärtusi. 00:03:56.270 --> 00:04:03.970 a11, see on esimene rida, a12, ja kuni a1m. 00:04:03.970 --> 00:04:08.000 Meil on m veergu, mis on sama mis n+1. 00:04:08.000 --> 00:04:10.000 Mitte n korda 1 veergu. 00:04:10.000 --> 00:04:11.830 See on n+1. 00:04:11.830 --> 00:04:14.800 Ja teeme siis teise rea siia. 00:04:14.800 --> 00:04:22.700 a21, a22, a23, ja kuni a2m. 00:04:22.700 --> 00:04:31.120 Nüüd kolmas rida: a31, a32, a33 00:04:31.120 --> 00:04:34.540 kuni a3m. 00:04:34.540 --> 00:04:38.050 Samamoodi alla. 00:04:38.050 --> 00:04:41.015 Lõppuks teil on m-srida, mis on samuti 00:04:41.015 --> 00:04:44.150 n+1 rida. 00:04:44.150 --> 00:04:47.600 Ja teil on m-s rida, esimene veerg, ja nüüd 00:04:47.600 --> 00:04:56.820 am2, ja am3 kuni amm. 00:04:58.280 --> 00:05:02.340 Nüüd joonistan transponeeritud A. 00:05:02.340 --> 00:05:09.120 Ja transponeeritud A on samuti (n+1) x (n+1) 00:05:09.120 --> 00:05:14.270 maatriks mida võib samuti kirjutada kui m x m maatriksi. 00:05:14.270 --> 00:05:16.960 Lihtsalt transponeerime selle maatriksi. 00:05:16.960 --> 00:05:20.670 Siis, see rida muutub veeruks, 00:05:20.670 --> 00:05:25.690 ja muutub a11, ja see väärtus siin on a12. 00:05:25.690 --> 00:05:27.440 See väärtus on siin samas. 00:05:27.440 --> 00:05:35.450 Samamoodi kuni a1m. 00:05:35.450 --> 00:05:42.480 Seejärel see roosa rida muutub roosaks veeruks siin a21-- 00:05:42.480 --> 00:05:45.600 see peaks olla roosa. 00:05:45.600 --> 00:05:54.190 Siin on a21, a22, ja a23 kuni 00:05:54.190 --> 00:05:56.680 a2m. 00:05:56.680 --> 00:05:59.065 Siin on teil roheline rida, mis on me kolmas veerg 00:05:59.065 --> 00:06:07.390 on a31, a32, a33 kuni a3m. 00:06:07.390 --> 00:06:10.820 Nüüd jätame terve hunniku ridu siin juhul vahele, 00:06:10.820 --> 00:06:12.270 aga sel juhul nad on veerud. 00:06:12.270 --> 00:06:18.910 Lihtsalt joonistame mõned punktid ja am1, am2. 00:06:18.910 --> 00:06:21.290 Liigun mööda seda rida, kuid see rida nüüd muutub, 00:06:21.290 --> 00:06:22.875 see oli viimane rida. 00:06:22.875 --> 00:06:24.970 Nüüd on see viimane veerg. 00:06:24.970 --> 00:06:29.990 am3 samamoodi alla kuni amm. 00:06:29.990 --> 00:06:33.320 Nüüd on maatriks transponeeritud. 00:06:33.320 --> 00:06:36.100 Nüüd leiame A determinandi. 00:06:39.730 --> 00:06:41.270 Teen seda lilla värviga. 00:06:41.270 --> 00:06:47.260 A determinant on, me võime lihtsalt 00:06:47.260 --> 00:06:49.120 mööda seda esimest rida alla minna, 00:06:49.120 --> 00:06:56.450 See on võrdne a11 korda determinant oma alammaatriksist. 00:06:56.450 --> 00:07:00.410 Seega selle alamaatriksi determinant 00:07:00.410 --> 00:07:01.660 siin. 00:07:05.110 --> 00:07:10.180 Võime tähistada seda A11. 00:07:10.180 --> 00:07:12.740 Me oleme seda tähistust varemgi näinud. 00:07:12.740 --> 00:07:19.170 A 11 maatriksi determinant miinus 00:07:19.170 --> 00:07:24.560 a12 korda selle alammaatriksi determinant, te kriipsutate 00:07:24.560 --> 00:07:26.710 läbi seda rea ja seda veeru. 00:07:26.710 --> 00:07:30.230 See on A12, ja liigutate kuni 00:07:30.230 --> 00:07:33.140 kuni-- ja me ei tea selle märki, seega 00:07:33.140 --> 00:07:37.650 võtame (-1) astmele 1 plus m, mis annab õige 00:07:37.650 --> 00:07:40.260 õige märgi -- korda 00:07:40.260 --> 00:07:43.220 selle alammaatriksi determinant. 00:07:43.220 --> 00:07:47.960 Nimetame seda A1m, ja kriipsutade maha selle rea ja veeru 00:07:47.960 --> 00:07:49.540 ja kõik mis alles jääb on siin. 00:07:51.250 --> 00:07:52.310 Nii. 00:07:52.310 --> 00:07:54.790 Nüüd vaatame transponeeritud maatriksi determinanti. 00:07:58.820 --> 00:08:01.200 Varem õppisime, et ei pea liikuma mööda esimest rida, 00:08:01.200 --> 00:08:02.400 või ei pea üldse mööda rida liikuma. 00:08:02.400 --> 00:08:03.840 Selle asemel võib mööda veergu liikuda. 00:08:03.840 --> 00:08:04.970 Teen asja selgemaks: 00:08:04.970 --> 00:08:09.080 A determinandi leidmiseks liikusime mööda seda rida 00:08:09.080 --> 00:08:11.140 ja me alammaatriksid olid sellised. See oli esimene alammaatriks. 00:08:11.140 --> 00:08:12.820 Minu teine alammaatriks, te teate küll kuidas see välja näeb. 00:08:12.820 --> 00:08:15.460 Kriipsutasite maha teise veeru ja selle rea ning 00:08:15.460 --> 00:08:18.040 misiganes alles jäi oli teine alammaatriks 00:08:18.040 --> 00:08:19.010 ja nii edasi. 00:08:19.010 --> 00:08:22.420 Et leida A transpoosi determinanti, liigume mööda 00:08:22.420 --> 00:08:27.520 esimest veergu ja leiame alammaatriksid nii. 00:08:27.520 --> 00:08:29.790 Ja see on võrdne -- vaatame esimene seda siin. 00:08:31.070 --> 00:08:36.320 a11 korda oma alammaatriksi determinant. 00:08:36.320 --> 00:08:38.039 Mis on tema alammaatriksi determinant? 00:08:38.039 --> 00:08:41.740 See võrdub -- see alammaatriks, kriipsutage maha 00:08:41.740 --> 00:08:46.000 see rida ja veerg ning alles jääb see siin. 00:08:48.000 --> 00:08:51.120 Nüüd, huvitav küsimus on kuidas see asi 00:08:51.120 --> 00:08:54.760 millele ma just kasti ümber joonistasin, see alammaatriks 00:08:54.760 --> 00:08:56.450 on seotud selle alammaatriksiga? 00:08:56.450 --> 00:08:59.610 Kui te vaadate hoolikalt see rida alates a22 00:08:59.610 --> 00:09:04.320 kuni a2m muutus veeruks a22 kuni a2m. 00:09:04.320 --> 00:09:07.820 See rida mis on järgmine, a32 kuni a3m on nüüd 00:09:07.820 --> 00:09:10.540 veerg a32 kuni a3m. 00:09:10.540 --> 00:09:13.120 Ja see viimane rida muutus 00:09:13.120 --> 00:09:14.570 selleks veeruks. 00:09:14.570 --> 00:09:18.690 Selle allammaatriksi determinant on võrdne 00:09:18.690 --> 00:09:21.610 selle alammaatriksi transponeeritud vormi determinandiga 00:09:22.710 --> 00:09:34.190 See on võrdne transponeeritud A 11. 00:09:34.190 --> 00:09:40.350 Mööda rida liikudes saate, et miinus a12 00:09:40.350 --> 00:09:42.590 korda oma allammaatriksi determinant. 00:09:42.590 --> 00:09:48.110 Ja kui me kriipsutame ta rea ja veeru maha 00:09:48.110 --> 00:09:49.400 kuidas ta alammaatriks välja näeb? 00:09:49.400 --> 00:09:51.840 Ta allammaatriks näeb välja niiviisi. 00:09:51.840 --> 00:09:55.030 Tal on see ning see siin. 00:09:55.030 --> 00:09:56.120 Tal on see ning see siin. 00:09:56.120 --> 00:09:58.060 Kuidas see sarnaneb A12-ga? 00:09:58.060 --> 00:10:01.670 A12 tekkis kui kriipsutasite maha selle ja selle, 00:10:01.670 --> 00:10:03.260 ning järele jäi see kõik siin. 00:10:06.040 --> 00:10:08.920 Taaskord näeme, et see rida on sama mis 00:10:08.920 --> 00:10:12.610 see veerg, et see rida on sama mis see veerg, 00:10:12.610 --> 00:10:14.880 see rida on sama mis see veerg. 00:10:14.880 --> 00:10:17.980 Seega taaskord, alammaatriks millest 00:10:17.980 --> 00:10:20.070 peame leidma determinandi on võrdne 00:10:20.070 --> 00:10:21.580 selle siin transponeeringule. 00:10:21.580 --> 00:10:25.500 See on võrdne transponeeritud A12. 00:10:25.500 --> 00:10:29.270 See -- joonistan seda tumedamaks -- see on võrdne 00:10:29.270 --> 00:10:34.290 selle transponeeringule, on võrdne selle transponeeringule 00:10:34.290 --> 00:10:35.000 siin. 00:10:35.000 --> 00:10:38.330 Üldjuhul iga selle alammaatriks kui liigume mööda 00:10:38.330 --> 00:10:40.860 seda rida on võrdne nende transponeeringuga. 00:10:40.860 --> 00:10:43.950 Liigume edasi kuni 00:10:43.950 --> 00:10:46.440 + (-1) 00:10:46.440 --> 00:10:50.570 Läheme allapoole kuni -1 astmele 1+m 00:10:50.570 --> 00:10:55.150 korda determinant -- selle siin 00:10:55.150 --> 00:10:55.530 transponeeringule. 00:10:55.530 --> 00:10:56.680 Võite seda ise teha. 00:10:56.680 --> 00:11:00.560 Kui kriipsutate selle ja selle maha, 00:11:00.560 --> 00:11:04.190 jääb teile kõik muu selles 00:11:04.190 --> 00:11:07.800 maatriksis ja see on võrdne transpoosile kui te kriipsustasite 00:11:07.800 --> 00:11:10.030 selle ja selle maha. 00:11:10.030 --> 00:11:12.770 See rida muutub selleks veeruks, see rida muutub 00:11:12.770 --> 00:11:13.660 selleks veeruks. 00:11:13.660 --> 00:11:15.030 Ma arvan, et saite aru. 00:11:15.030 --> 00:11:16.290 Pole mõtet rohkem seletada. 00:11:16.290 --> 00:11:21.230 See on siis võrdne A1m transponeeritud. 00:11:21.230 --> 00:11:25.440 Pidage meeles, kui me indukstiivsel viisil tõestame 00:11:25.440 --> 00:11:29.120 ma oletan, et -- pidage meeles see on (n+1) x (n+1) maatriks 00:11:29.120 --> 00:11:30.630 ma eeldan, et -- pidage meeles see on (n+1) x (n+1) maatriks 00:11:30.630 --> 00:11:34.200 Ma eeldasin, et nxn maatriksi jaoks 00:11:34.200 --> 00:11:36.330 maatriksi B determinant on võrdne 00:11:36.330 --> 00:11:39.180 B transponeeritud maatriksi determinandile. 00:11:39.180 --> 00:11:43.430 Need siin, need on 00:11:43.430 --> 00:11:45.490 n x n maatriksid? 00:11:45.490 --> 00:11:50.330 See on (n+1) x (n+1). 00:11:50.330 --> 00:11:52.230 Sama ka selle maatriksiga siin. 00:11:52.230 --> 00:11:54.560 Aga need siin on suurusega n x n. 00:11:57.190 --> 00:12:02.060 Ja kui me oletame, et n x n juhul maatriksi 00:12:02.060 --> 00:12:05.390 determinant on võrdne selle transponeeritud maatriksi determinandile -- 00:12:05.390 --> 00:12:07.170 see on maatriksi determinant, see on 00:12:07.170 --> 00:12:09.360 transponeeritu maatriksi determinant -- et need kaks 00:12:09.360 --> 00:12:11.300 on võrdsed. 00:12:11.300 --> 00:12:15.500 Ja me võime öelda, et transponeeritud A maatriksi determinant 00:12:15.500 --> 00:12:21.110 on võrdne sellele väljendile A 11 korda see, aga see on 00:12:21.110 --> 00:12:23.040 võrdne sellega n x n juhul. 00:12:23.040 --> 00:12:26.540 Pidage meeles, me tegeleme (n+1) x (n+1) juhuga. 00:12:26.540 --> 00:12:29.450 Aga need maatriksid on ühe võrra mõõtmega 00:12:29.450 --> 00:12:30.960 väiksem mõlemas suunas. 00:12:30.960 --> 00:12:32.700 Ühe rea ja veeru võrra väiksem. 00:12:32.700 --> 00:12:33.955 Ja need kaks on võrdsed. 00:12:33.955 --> 00:12:36.430 Seega selle asemel võin kirjutada seda, seega 00:12:36.430 --> 00:12:39.820 A11 determinant. 00:12:39.820 --> 00:12:40.720 Ja samamoodi edasi. 00:12:40.720 --> 00:12:43.920 miinus a12 korda determinant. 00:12:43.920 --> 00:12:45.730 Selle kirjutamise asemel, ma võin seda kirjutama, sest 00:12:45.730 --> 00:12:46.840 need on võrdsed. 00:12:46.840 --> 00:12:52.240 A 12 determinant, allapooleni pluss -1 astmele 1 + m 00:12:52.240 --> 00:12:55.570 korda selle determinandit. 00:12:55.570 --> 00:12:56.750 Need on võrdsed. 00:12:56.750 --> 00:12:58.730 See on võrdne sellega. 00:12:58.730 --> 00:13:00.620 See oli meie eeldus induktiivse tõestuse jaoks, A1m 00:13:00.620 --> 00:13:04.230 See oli meie eeldus induktiivse tõestuse jaoks, A1m 00:13:04.230 --> 00:13:06.790 Ja nüüd te näete seda, muidugi rida, see sinine 00:13:06.790 --> 00:13:09.450 rida, on sama,mis see sinine rida. 00:13:09.450 --> 00:13:16.100 Me saime seda A determinandi, ja see on 00:13:16.100 --> 00:13:22.240 (n+1) x (n+1), see siis on (n+1)x (n+1) juhtum. 00:13:22.240 --> 00:13:24.260 Me saime A determinandi, mis on võrdne 00:13:24.260 --> 00:13:27.380 A transponeeritud maatriksi determinandiga. 00:13:27.380 --> 00:13:36.310 Ja me oletasime, et see oli tõene -- kirjutan seda -- 00:13:36.310 --> 00:13:43.950 oletades, et see on õige n x n juhul. 00:13:43.950 --> 00:13:44.610 Ja ongi tehtud. 00:13:44.610 --> 00:13:47.230 Me tõestasime, et see on üldjuhul õige, sest 00:13:47.230 --> 00:13:48.350 me tõestasime algjuhu. 00:13:48.350 --> 00:13:52.300 Me tõestasime, et see töötab 2x2 maatriksi juhul, seejärel näitasime, 00:13:52.300 --> 00:13:54.230 et kui see on tõene n juhul, kehtib ta ka n+1 juhul. 00:13:54.230 --> 00:13:55.940 et kui see on tõene n juhul, kehtib ta ka n+1 juhul. 00:13:55.940 --> 00:13:57.980 Ja kui see on õige 2 juhul, see on õige 00:13:57.980 --> 00:13:59.570 3x3 juhul. 00:13:59.570 --> 00:14:02.110 Ja kui see on õige 3x3 juhul, see on 4x4 00:14:02.110 --> 00:14:03.810 juhul, ja nii edasi. 00:14:03.810 --> 00:14:05.460 Saadud tulemus on päris kasulik - 00:14:05.460 --> 00:14:07.020 Võime maatriksit transponeerida ja 00:14:07.020 --> 00:14:09.160 ta determinant ei muutu.