1
00:00:00,690 --> 00:00:03,910
Vaatame, kas maatriksi transponeerimine mõjutab

2
00:00:03,910 --> 00:00:05,510
selle determinanti.

3
00:00:05,510 --> 00:00:09,365
Alustame siis 2x2 maatriksiga.

4
00:00:09,365 --> 00:00:12,380
Alustame siis 2x2 maatriksiga.

5
00:00:12,380 --> 00:00:14,570
Noh, siis alustame mingi maatriksiga siin.

6
00:00:14,570 --> 00:00:16,219
Leianselle determinandi.

7
00:00:16,219 --> 00:00:20,280
Ja a,b,c,d.

8
00:00:20,280 --> 00:00:22,610
Ja nüüd leiame selle determinandi.

9
00:00:22,610 --> 00:00:27,930
See on võrdne ad miinus bc.

10
00:00:27,930 --> 00:00:30,370
Nüüd transponeerime maatriksit ja leiame selle

11
00:00:30,370 --> 00:00:30,980
determinandi.

12
00:00:30,980 --> 00:00:36,810
See peaks olla determinant ac -- veerud

13
00:00:36,810 --> 00:00:40,870
on nüüd read -- bd -- read

14
00:00:40,870 --> 00:00:42,150
muutuvad veerudeks.

15
00:00:42,150 --> 00:00:43,570
Millega see võrdub?

16
00:00:43,570 --> 00:00:48,620
See on võrdne ad miinus bc.

17
00:00:48,620 --> 00:00:50,820
Ainus mis juhtus on see, et need kaks vahetati

18
00:00:50,820 --> 00:00:52,610
ja neid oli vaja niikuinii oma vahel läbi korrutada.

19
00:00:52,610 --> 00:00:54,700
Need kaks on võrdsed.

20
00:00:54,700 --> 00:01:01,090
Ja nüüd me võime öelda, et 2x2 maatriksi determinant ja

21
00:01:01,090 --> 00:01:07,440
selle sama transponeeritud maatriksi determinant

22
00:01:07,440 --> 00:01:08,100
on võrdsed.

23
00:01:08,100 --> 00:01:10,380
Aga see oli kõigest 2x2 maatriks.

24
00:01:10,380 --> 00:01:14,210
Võime teha induktiivse väite, või

25
00:01:14,210 --> 00:01:21,170
lihtsalt öelda, et see on induktsiooni väide ja näidata,

26
00:01:21,170 --> 00:01:27,090
see peaks töötama kõigi n x n maatriksitega.

27
00:01:27,090 --> 00:01:30,760
Induktiivseks tõestamiseks sa

28
00:01:30,760 --> 00:01:34,990
eeldad, et väide kehtib n x n juhul.

29
00:01:41,560 --> 00:01:48,373
Eeldame siis seda ja

30
00:01:48,373 --> 00:01:49,623
ütleme, et mul on mingi maatriks.

31
00:01:52,590 --> 00:01:55,920
Nimetan selle B, ja ütleme, et see on n korda n maatriks.

32
00:01:55,920 --> 00:02:01,270
Me eeldame, et suvalise maatriksi B determinant,

33
00:02:01,270 --> 00:02:06,740
mis on n x n, on võrdne transponeeritud maatriks B determinandiga.

34
00:02:06,740 --> 00:02:09,289
Sellega me alustasime oma induktiivset tõestust.

35
00:02:09,289 --> 00:02:20,580
Seejärel veendume, et kui see on tõene, et väide

36
00:02:20,580 --> 00:02:26,610
kehtib ka (n+1) x (n+1) maatriksi korral.

37
00:02:26,610 --> 00:02:28,910
Sest kui see õnnestub, võime öelda, et kui see on tõene

38
00:02:28,910 --> 00:02:32,470
n x n juhul, ja see on tõsi

39
00:02:32,470 --> 00:02:36,240
(n+1) x (n+1) juhul, siis ongi kõik kuna me teame, et

40
00:02:36,240 --> 00:02:39,220
see on tõsi 2x2 juhul, mis on

41
00:02:39,220 --> 00:02:41,130
me esimene n x n juht.

42
00:02:41,130 --> 00:02:43,460
Ja kui see kehtib 2x2 juhul, see kehtib

43
00:02:43,460 --> 00:02:46,170
3x3 juhul, sest n on vaid ühe võrra suurem.

44
00:02:46,170 --> 00:02:48,530
Ja kui see kehtib 3x3 juhul, siis see kehtib ka

45
00:02:48,530 --> 00:02:50,170
4x4 juhul.

46
00:02:50,170 --> 00:02:52,210
Ja kui see kehtib 4x4 juhul, siis see kehtib ka

47
00:02:52,210 --> 00:02:55,190
5x5 juhul ja nii edasi...

48
00:02:55,190 --> 00:02:57,730
Seega kui tõestate midagi induktiivselt, siis tõestate mingi baasjuhu

49
00:02:57,730 --> 00:03:03,050
siis tõestad, et kui see on tõene n jaoks või sel juhul

50
00:03:03,050 --> 00:03:07,010
n x n determinandi juhul, ja kui see on õige

51
00:03:07,010 --> 00:03:08,690
n x n determinandi juhul, see on õige

52
00:03:08,690 --> 00:03:12,560
(n+1) x (n+1) determinandi või

53
00:03:12,560 --> 00:03:15,850
(n+1) x (n+1) maatriksi puhul, ja siis on teie tõestus lõppenud.

54
00:03:15,850 --> 00:03:18,145
Vaatame nüüd, kas on nii.

55
00:03:18,145 --> 00:03:24,742
Joonistan siis (n+1) x (n+1) maatriksi.

56
00:03:24,742 --> 00:03:30,140
Oletame, et mul on maatriks A, minu lemmik täht

57
00:03:30,140 --> 00:03:33,330
maatriksitele, ma arvan isegi lineaaralgebra lemmik

58
00:03:33,330 --> 00:03:35,180
täht maatriksite tähistamiseks.

59
00:03:35,180 --> 00:03:40,290
Nüüd ütleme, et see on (n+1) x (n+1) maatriks.

60
00:03:40,290 --> 00:03:44,430
Et lihtsustada kirjutamist, ütleme, et m on

61
00:03:44,430 --> 00:03:45,740
võrdne (n+1)-ga.

62
00:03:45,740 --> 00:03:48,160
Ja me võime seda nimetada m x m maatriksiks.

63
00:03:48,160 --> 00:03:49,840
Ja kuidas see siis välja näeb?

64
00:03:49,840 --> 00:03:53,070
Joonistame selle väärtused siia.

65
00:03:53,070 --> 00:03:56,270
Joonistan rohkem kui tavapäraselt väärtusi.

66
00:03:56,270 --> 00:04:03,970
a11, see on esimene rida, a12, ja kuni a1m.

67
00:04:03,970 --> 00:04:08,000
Meil on m veergu, mis on sama mis n+1.

68
00:04:08,000 --> 00:04:10,000
Mitte n korda 1 veergu.

69
00:04:10,000 --> 00:04:11,830
See on n+1.

70
00:04:11,830 --> 00:04:14,800
Ja teeme siis teise rea siia.

71
00:04:14,800 --> 00:04:22,700
a21, a22, a23, ja kuni a2m.

72
00:04:22,700 --> 00:04:31,120
Nüüd kolmas rida: a31, a32, a33

73
00:04:31,120 --> 00:04:34,540
kuni a3m.

74
00:04:34,540 --> 00:04:38,050
Samamoodi alla.

75
00:04:38,050 --> 00:04:41,015
Lõppuks teil on m-srida, mis on samuti

76
00:04:41,015 --> 00:04:44,150
n+1 rida.

77
00:04:44,150 --> 00:04:47,600
Ja teil on m-s rida, esimene veerg, ja nüüd

78
00:04:47,600 --> 00:04:56,820
am2, ja am3 kuni amm.

79
00:04:58,280 --> 00:05:02,340
Nüüd joonistan transponeeritud A.

80
00:05:02,340 --> 00:05:09,120
Ja transponeeritud A on samuti (n+1) x (n+1)

81
00:05:09,120 --> 00:05:14,270
maatriks mida võib samuti kirjutada kui m x m maatriksi.

82
00:05:14,270 --> 00:05:16,960
Lihtsalt transponeerime selle maatriksi.

83
00:05:16,960 --> 00:05:20,670
Siis, see rida muutub veeruks,

84
00:05:20,670 --> 00:05:25,690
ja muutub a11, ja see väärtus siin on a12.

85
00:05:25,690 --> 00:05:27,440
See väärtus on siin samas.

86
00:05:27,440 --> 00:05:35,450
Samamoodi kuni a1m.

87
00:05:35,450 --> 00:05:42,480
Seejärel see roosa rida muutub roosaks veeruks siin a21--

88
00:05:42,480 --> 00:05:45,600
see peaks olla roosa.

89
00:05:45,600 --> 00:05:54,190
Siin on a21, a22, ja a23 kuni

90
00:05:54,190 --> 00:05:56,680
a2m.

91
00:05:56,680 --> 00:05:59,065
Siin on teil roheline rida, mis on me kolmas veerg

92
00:05:59,065 --> 00:06:07,390
on a31, a32, a33 kuni a3m.

93
00:06:07,390 --> 00:06:10,820
Nüüd jätame terve hunniku ridu siin juhul vahele,

94
00:06:10,820 --> 00:06:12,270
aga sel juhul nad on veerud.

95
00:06:12,270 --> 00:06:18,910
Lihtsalt joonistame mõned punktid ja am1, am2.

96
00:06:18,910 --> 00:06:21,290
Liigun mööda seda rida, kuid see rida nüüd muutub,

97
00:06:21,290 --> 00:06:22,875
see oli viimane rida.

98
00:06:22,875 --> 00:06:24,970
Nüüd on see viimane veerg.

99
00:06:24,970 --> 00:06:29,990
am3 samamoodi alla kuni amm.

100
00:06:29,990 --> 00:06:33,320
Nüüd on maatriks transponeeritud.

101
00:06:33,320 --> 00:06:36,100
Nüüd leiame A determinandi.

102
00:06:39,730 --> 00:06:41,270
Teen seda lilla värviga.

103
00:06:41,270 --> 00:06:47,260
A determinant on, me võime lihtsalt

104
00:06:47,260 --> 00:06:49,120
mööda seda esimest rida alla minna,

105
00:06:49,120 --> 00:06:56,450
See on võrdne a11 korda determinant oma alammaatriksist.

106
00:06:56,450 --> 00:07:00,410
Seega selle alamaatriksi determinant

107
00:07:00,410 --> 00:07:01,660
siin.

108
00:07:05,110 --> 00:07:10,180
Võime tähistada seda A11.

109
00:07:10,180 --> 00:07:12,740
Me oleme seda tähistust varemgi näinud.

110
00:07:12,740 --> 00:07:19,170
A 11 maatriksi determinant miinus

111
00:07:19,170 --> 00:07:24,560
a12 korda selle alammaatriksi determinant, te kriipsutate

112
00:07:24,560 --> 00:07:26,710
läbi seda rea ja seda veeru.

113
00:07:26,710 --> 00:07:30,230
See on A12, ja liigutate kuni

114
00:07:30,230 --> 00:07:33,140
kuni-- ja me ei tea selle märki, seega

115
00:07:33,140 --> 00:07:37,650
võtame (-1) astmele 1 plus m, mis annab õige

116
00:07:37,650 --> 00:07:40,260
õige märgi -- korda

117
00:07:40,260 --> 00:07:43,220
selle alammaatriksi determinant.

118
00:07:43,220 --> 00:07:47,960
Nimetame seda A1m, ja kriipsutade maha selle rea ja veeru

119
00:07:47,960 --> 00:07:49,540
ja kõik mis alles jääb on siin.

120
00:07:51,250 --> 00:07:52,310
Nii.

121
00:07:52,310 --> 00:07:54,790
Nüüd vaatame transponeeritud maatriksi determinanti.

122
00:07:58,820 --> 00:08:01,200
Varem õppisime, et ei pea liikuma mööda esimest rida,

123
00:08:01,200 --> 00:08:02,400
või ei pea üldse mööda rida liikuma.

124
00:08:02,400 --> 00:08:03,840
Selle asemel võib mööda veergu liikuda.

125
00:08:03,840 --> 00:08:04,970
Teen asja selgemaks:

126
00:08:04,970 --> 00:08:09,080
A determinandi leidmiseks liikusime mööda seda rida

127
00:08:09,080 --> 00:08:11,140
ja me alammaatriksid olid sellised. See oli esimene alammaatriks.

128
00:08:11,140 --> 00:08:12,820
Minu teine alammaatriks, te teate küll kuidas see välja näeb.

129
00:08:12,820 --> 00:08:15,460
Kriipsutasite maha teise veeru ja selle rea ning

130
00:08:15,460 --> 00:08:18,040
misiganes alles jäi oli teine alammaatriks

131
00:08:18,040 --> 00:08:19,010
ja nii edasi.

132
00:08:19,010 --> 00:08:22,420
Et leida A transpoosi determinanti, liigume mööda

133
00:08:22,420 --> 00:08:27,520
esimest veergu ja leiame alammaatriksid nii.

134
00:08:27,520 --> 00:08:29,790
Ja see on võrdne -- vaatame esimene seda siin.

135
00:08:31,070 --> 00:08:36,320
a11 korda oma alammaatriksi determinant.

136
00:08:36,320 --> 00:08:38,039
Mis on tema alammaatriksi determinant?

137
00:08:38,039 --> 00:08:41,740
See võrdub -- see alammaatriks, kriipsutage maha

138
00:08:41,740 --> 00:08:46,000
see rida ja veerg ning alles jääb see siin.

139
00:08:48,000 --> 00:08:51,120
Nüüd, huvitav küsimus on kuidas see asi

140
00:08:51,120 --> 00:08:54,760
millele ma just kasti ümber joonistasin, see alammaatriks

141
00:08:54,760 --> 00:08:56,450
on seotud selle alammaatriksiga?

142
00:08:56,450 --> 00:08:59,610
Kui te vaadate hoolikalt see rida alates a22

143
00:08:59,610 --> 00:09:04,320
kuni a2m muutus veeruks a22 kuni a2m.

144
00:09:04,320 --> 00:09:07,820
See rida mis on järgmine, a32 kuni a3m on nüüd

145
00:09:07,820 --> 00:09:10,540
veerg a32 kuni a3m.

146
00:09:10,540 --> 00:09:13,120
Ja see viimane rida muutus

147
00:09:13,120 --> 00:09:14,570
selleks veeruks.

148
00:09:14,570 --> 00:09:18,690
Selle allammaatriksi determinant on võrdne

149
00:09:18,690 --> 00:09:21,610
selle alammaatriksi transponeeritud vormi determinandiga

150
00:09:22,710 --> 00:09:34,190
See on võrdne transponeeritud A 11.

151
00:09:34,190 --> 00:09:40,350
Mööda rida liikudes saate, et miinus a12

152
00:09:40,350 --> 00:09:42,590
korda oma allammaatriksi determinant.

153
00:09:42,590 --> 00:09:48,110
Ja kui me kriipsutame ta rea ja veeru maha

154
00:09:48,110 --> 00:09:49,400
kuidas ta alammaatriks välja näeb?

155
00:09:49,400 --> 00:09:51,840
Ta allammaatriks näeb välja niiviisi.

156
00:09:51,840 --> 00:09:55,030
Tal on see ning see siin.

157
00:09:55,030 --> 00:09:56,120
Tal on see ning see siin.

158
00:09:56,120 --> 00:09:58,060
Kuidas see sarnaneb A12-ga?

159
00:09:58,060 --> 00:10:01,670
A12 tekkis kui kriipsutasite maha selle ja selle,

160
00:10:01,670 --> 00:10:03,260
ning järele jäi see kõik siin.

161
00:10:06,040 --> 00:10:08,920
Taaskord näeme, et see rida on sama mis

162
00:10:08,920 --> 00:10:12,610
see veerg, et see rida on sama mis see veerg,

163
00:10:12,610 --> 00:10:14,880
see rida on sama mis see veerg.

164
00:10:14,880 --> 00:10:17,980
Seega taaskord, alammaatriks millest

165
00:10:17,980 --> 00:10:20,070
peame leidma determinandi on võrdne

166
00:10:20,070 --> 00:10:21,580
selle siin transponeeringule.

167
00:10:21,580 --> 00:10:25,500
See on võrdne transponeeritud A12.

168
00:10:25,500 --> 00:10:29,270
See -- joonistan seda tumedamaks -- see on võrdne

169
00:10:29,270 --> 00:10:34,290
selle transponeeringule, on võrdne selle transponeeringule

170
00:10:34,290 --> 00:10:35,000
siin.

171
00:10:35,000 --> 00:10:38,330
Üldjuhul iga selle alammaatriks kui liigume mööda

172
00:10:38,330 --> 00:10:40,860
seda rida on võrdne nende transponeeringuga.

173
00:10:40,860 --> 00:10:43,950
Liigume edasi kuni

174
00:10:43,950 --> 00:10:46,440
+ (-1)

175
00:10:46,440 --> 00:10:50,570
Läheme allapoole kuni -1 astmele 1+m

176
00:10:50,570 --> 00:10:55,150
korda determinant -- selle siin

177
00:10:55,150 --> 00:10:55,530
transponeeringule.

178
00:10:55,530 --> 00:10:56,680
Võite seda ise teha.

179
00:10:56,680 --> 00:11:00,560
Kui kriipsutate selle ja selle maha,

180
00:11:00,560 --> 00:11:04,190
jääb teile kõik muu selles

181
00:11:04,190 --> 00:11:07,800
maatriksis ja see on võrdne transpoosile kui te kriipsustasite

182
00:11:07,800 --> 00:11:10,030
selle ja selle maha.

183
00:11:10,030 --> 00:11:12,770
See rida muutub selleks veeruks, see rida muutub

184
00:11:12,770 --> 00:11:13,660
selleks veeruks.

185
00:11:13,660 --> 00:11:15,030
Ma arvan, et saite aru.

186
00:11:15,030 --> 00:11:16,290
Pole mõtet rohkem seletada.

187
00:11:16,290 --> 00:11:21,230
See on siis võrdne A1m transponeeritud.

188
00:11:21,230 --> 00:11:25,440
Pidage meeles, kui me indukstiivsel viisil tõestame

189
00:11:25,440 --> 00:11:29,120
ma oletan, et -- pidage meeles see on (n+1) x (n+1) maatriks

190
00:11:29,120 --> 00:11:30,630
ma eeldan, et -- pidage meeles see on (n+1) x (n+1) maatriks

191
00:11:30,630 --> 00:11:34,200
Ma eeldasin, et nxn maatriksi jaoks

192
00:11:34,200 --> 00:11:36,330
maatriksi B determinant on võrdne

193
00:11:36,330 --> 00:11:39,180
B transponeeritud maatriksi determinandile.

194
00:11:39,180 --> 00:11:43,430
Need siin, need on

195
00:11:43,430 --> 00:11:45,490
n x n maatriksid?

196
00:11:45,490 --> 00:11:50,330
See on (n+1) x (n+1).

197
00:11:50,330 --> 00:11:52,230
Sama ka selle maatriksiga siin.

198
00:11:52,230 --> 00:11:54,560
Aga need siin on suurusega n x n.

199
00:11:57,190 --> 00:12:02,060
Ja kui me oletame, et n x n juhul maatriksi

200
00:12:02,060 --> 00:12:05,390
determinant on võrdne selle transponeeritud maatriksi determinandile --

201
00:12:05,390 --> 00:12:07,170
see on maatriksi determinant, see on

202
00:12:07,170 --> 00:12:09,360
transponeeritu maatriksi determinant -- et need kaks

203
00:12:09,360 --> 00:12:11,300
on võrdsed.

204
00:12:11,300 --> 00:12:15,500
Ja me võime öelda, et transponeeritud A maatriksi determinant

205
00:12:15,500 --> 00:12:21,110
on võrdne sellele väljendile A 11 korda see, aga see on

206
00:12:21,110 --> 00:12:23,040
võrdne sellega n x n juhul.

207
00:12:23,040 --> 00:12:26,540
Pidage meeles, me tegeleme (n+1) x (n+1) juhuga.

208
00:12:26,540 --> 00:12:29,450
Aga need maatriksid on ühe võrra mõõtmega

209
00:12:29,450 --> 00:12:30,960
väiksem mõlemas suunas.

210
00:12:30,960 --> 00:12:32,700
Ühe rea ja veeru võrra väiksem.

211
00:12:32,700 --> 00:12:33,955
Ja need kaks on võrdsed.

212
00:12:33,955 --> 00:12:36,430
Seega selle asemel võin kirjutada seda, seega

213
00:12:36,430 --> 00:12:39,820
A11 determinant.

214
00:12:39,820 --> 00:12:40,720
Ja samamoodi edasi.

215
00:12:40,720 --> 00:12:43,920
miinus a12 korda determinant.

216
00:12:43,920 --> 00:12:45,730
Selle kirjutamise asemel, ma võin seda kirjutama, sest

217
00:12:45,730 --> 00:12:46,840
need on võrdsed.

218
00:12:46,840 --> 00:12:52,240
A 12 determinant, allapooleni pluss -1 astmele 1 + m

219
00:12:52,240 --> 00:12:55,570
korda selle determinandit.

220
00:12:55,570 --> 00:12:56,750
Need on võrdsed.

221
00:12:56,750 --> 00:12:58,730
See on võrdne sellega.

222
00:12:58,730 --> 00:13:00,620
See oli meie eeldus induktiivse tõestuse jaoks, A1m

223
00:13:00,620 --> 00:13:04,230
See oli meie eeldus induktiivse tõestuse jaoks, A1m

224
00:13:04,230 --> 00:13:06,790
Ja nüüd te näete seda, muidugi rida, see sinine

225
00:13:06,790 --> 00:13:09,450
rida, on sama,mis see sinine rida.

226
00:13:09,450 --> 00:13:16,100
Me saime seda A determinandi, ja see on

227
00:13:16,100 --> 00:13:22,240
(n+1) x (n+1), see siis on (n+1)x (n+1) juhtum.

228
00:13:22,240 --> 00:13:24,260
Me saime A determinandi, mis on võrdne

229
00:13:24,260 --> 00:13:27,380
A transponeeritud maatriksi determinandiga.

230
00:13:27,380 --> 00:13:36,310
Ja me oletasime, et see oli tõene -- kirjutan seda --

231
00:13:36,310 --> 00:13:43,950
oletades, et see on õige n x n juhul.

232
00:13:43,950 --> 00:13:44,610
Ja ongi tehtud.

233
00:13:44,610 --> 00:13:47,230
Me tõestasime, et see on üldjuhul õige, sest

234
00:13:47,230 --> 00:13:48,350
me tõestasime algjuhu.

235
00:13:48,350 --> 00:13:52,300
Me tõestasime, et see töötab 2x2 maatriksi juhul, seejärel näitasime,

236
00:13:52,300 --> 00:13:54,230
et kui see on tõene n juhul, kehtib ta ka n+1 juhul.

237
00:13:54,230 --> 00:13:55,940
et kui see on tõene n juhul, kehtib ta ka n+1 juhul.

238
00:13:55,940 --> 00:13:57,980
Ja kui see on õige 2 juhul, see on õige

239
00:13:57,980 --> 00:13:59,570
3x3 juhul.

240
00:13:59,570 --> 00:14:02,110
Ja kui see on õige 3x3 juhul, see on 4x4

241
00:14:02,110 --> 00:14:03,810
juhul, ja nii edasi.

242
00:14:03,810 --> 00:14:05,460
Saadud tulemus on päris kasulik -

243
00:14:05,460 --> 00:14:07,020
Võime maatriksit transponeerida ja

244
00:14:07,020 --> 00:14:09,160
ta determinant ei muutu.