Graphing Logarithmic Functions

De spør oss om å tegne en graf over
y er lik log base 5 av x,

og bare for å minne oss på hva de mener,

så betyr det at y er lik kvadratroten
som jeg må heve 5 opp i, for å få x.

Eller hvis jeg skulle skrive denne logoritmiske
ligningen som en eksponentiall ligning;

5 er min base,

y er eksponenten som jeg skal heve basen til,

og x er hva jeg får
når i hever 5 opp i kvadratroten av y.

En annen måte å skrive ligningen på

ville vært 5 til kvadratroten y
kommer til å bli lik x.

Det er det samme.

Her har vi y som en funksjon av x,
og her har vi x som en funksjon av y.

Men de sier egentlig akkurat det samme:

"Hev 5 opp i kvadratroten y,
for å få x."

Men når du setter opp dette
som logaritmik sier du:

"I hvilken kvadratrot skal 5 heves opp i
for å få x?

Vel, jeg skal heve den i y."

Hva får jeg når jeg hever 5
opp i y? Jeg får x.

Nå som vi har fått det oppklart,

la oss lage en liten tabell

som vi kan bruke for å plotte inn noen punkter,

for så å forbinde punktene
for å se hvordan kurven ser ut.

Jeg velger noen x-er og y-er.

Generelt skal vi velge noen tall

som gir oss noen fine, runde svar.

Noen fine, ganske enkle tall
som vi kan bruke, så vi slipper

å bruke kalkulatoren.

Vi skal velge x-verdier,
og du skal velge x-verdier

hvor kvadratroten av 5 som du skal bruke
for å få x-verdien skal være

ganske "rett-frem.

Eller en annen måte å si det på,
du kan bare se på de forskjellige

y-verdier som du vil sette som kvadratroten av 5,

og det gir deg x-verdiene.

Vi kan faktisk se på denne,
for å finne x-verdiene våres.

Men vi skal være skarpe på
at når vi utrykker det som dette,

er x de uavhengie variablene
og y de avhengie variablene.

Vi kan se på denne for eksempel
for å velge noen fine x-er,

som gir oss gode, rene svar for y.

Så hva skjer--jeg skal faktisk fylle inn
y-en først.

Bare sånn at vi får noen
gode, rene x-er.

La oss si at vi skal sette 5 med kvadratroten--
jeg skal bare velge noen andre farger--

til minus 2 i-- og noen andre farger igjen--
minus 1, 0, 1, og en mer, og så 2.

Så igjen er det litt utradisjonelt,
når jeg fyller inn de avhengie variablene først,

men måten som vi har
skrevet det på her borte--

det er lett å finne ut hva de uavhengie variablene
skal være for denne logaritmiske funksjonen.

Så, hvilken x gir meg y av minus 2?

Hva skal x være,
for at y er lik minus 2?

Vel, 5 med kvadratroten minus 2,
er lik x, så 5 til minus 2 er lik 1 over 25,

så det gir oss 1/25.

En annen måte, hvis du går tilbake
til en tidligere en,

hvis vi sier log, base 5 av 1/25.

Hva skal kvadratroten av 5 være
for å få 1/25?

Vel, den skal være minus 2.

Eller du kan si 5 i minus 2
er lik 1/25.

Disse betyr akkurat det samme.

La oss løse en til.

Hva skjer når vi hever 5 opp i minus 1?

Jeg fårr en femtedel.
For den originale her borte,

sier vi bare at log base 5 av 1/5,
du skal bare være forsiktig

for dette er som å si:
" hvilken kvadratrot skal 5 heves opp i,

for å få 1/5?"

Vel, den skal opp i minus 1.

Hva skjer når jeg setter 5 opp i 0?
jeg får 1.

Så dette sier det samme som
log, base 5 av 1.

Hvilken kvadratrot skal 5 heves opp i for å få 1?

Den skal opp i 0.

La oss-- hva skjer hvis jeg hever 5 opp i 1?

Vel jeg får 5.

Så hvis du går her bort, så er det som å si
hvilken kvadratrot skal 5 heves opp i for å få 5?

Den skal opp i 1.

Og til slutt, hvis jeg tar 5 i annen,
så får jeg 25.

Så hvis du ser på det fra et logoritmisk synspunkt
sier du hvilken kvadratrot skal 5 heves op i

for å få 25?

Vel, så skal den opp i annen.

Så jeg tok på en måte det motsatte av
en logorimisk funksjon, jeg skrev det som en

eksponentiell funksjon. jeg byttet om på de avhengie
og de uavhengie variablene.

Så jeg kan velge, eller hente fine, rene x-er
som gir meg fine, rene y-er.

Nå som det er oppklart,
men jeg vil minne deg på

at jeg kunne ha valgt et tilfeldig tall her borte,

men så ville jeg mest sannsynlig ha fått
en mindre rent tall, og vært tvunget

til å bruke kalkulatoren.

Den eneste grunnen til at jeg gjorde det
på denne måten, er for å få et rent resultat

som jeg kan sette inn for hånd.

La oss nå tegne grafen.

y-ene går mellom minus 2 og 2,
og x-ene går fra 1/25 hele veien til 25.

La oss tegne grafen.

Dette er y-aksen min,
og dette er x-aksen min.

Så jeg tegner sånn som dette,
det er x-aksen min, og y-aksen starter på 0,

og det gir deg pluss 1, pluss 2,

og så har du minus 1, minus 2,
og på x-aksen er alt pluss.

Jeg skal la deg tenke på om domenet her er--
vel vi kan tenke på det.

Er det er en logarimist funksjon som er definert
for en x som ikke er i pluss?

Er det en kvadratrot som jeg kan heve 5 opp i,
sånn at jeg får 0?

Nei. Du kan heve 5 opp i et uendelig minus,
for å få et veldig lite tall som går mot 0,

men du kan aldri få-- det er ingen kvadratrot
som du kan heve 5 opp i for å få 0.

Så x kan ikke være 0. Det er ingen kvadratrot
du kan heve 5 opp i, for å få et minustall.

Så x kan heller ikke være et minustall.

Så domenet av funksjonen her borte--
og dette er relevant fordi vi skal tenke over

hva det er vi tegner en graf over--
Domenet her, x, skal være større enn 0.

La meg skrive det ned.

Domenet her er at x skal være større enn 0.

Så vi kan kun tegne en graf over funksjonen
på pluss-siden av x-aksen.

Med det oppklart,
x blir så stort som 25.

Så la meg sette inn punktene
så det er 5, 10, 15, 20 og 25.

Og la oss plotte inn disse.

Den første står i blått
og x er 1,25 og y er minus 2.

Når x er 1/25, kommer den veldig tett på her,
og da er y minus 2.

Så det er rett her borte.

Ikke helt på y-aksen, 1/25 til høyre
på y-aksen, men veldig tett på.

Så det her borte er 1/25,minus 2 her borte.

Og når x er lik 1/5,
som er litte granne lenger til høyre,

1/5 med y er lik minus 1.
Så her er det.

Dette er 1/5, minus 1.
og når x er lik 1, er y lik 0.

Så 1 er kanskje her,
så dette er punktet 1,0.

Og når x er lik 5,
er y lik 1.

Jeg har dekket der her borte,
y er lik 1.

Så det er punktet 5,1.

Og til sist når x er lik 25,
er y lik 2.

Så det er punktet 25,2.
Og når kan jeg tegne grafen over funksjonen.

Og det gjør jeg i rosa.

Altså når x blir et utrolig lite tall,
går y mot evigheten i minus.

Så hvilken kvadratrot hevet vi 5 i
for å finne punktet .0001?

Det må være et tall langt ned på minus.

Så vi går langt ned på minus
når vi går mot 0,

og så beveger den seg
på en måte oppover som dette.

Og den starter med å lage en kurve
mot høyre, sånn som dette.

Og denne her fortsetter med å gå nedover
enda steilere, men den rører aldri helt y-aksen.

Den kommer nærmere og nærmere y-aksen,
men den rører den aldri helt.