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No último vídeo, fomos capazes
de mostrar que para qualquer lambda
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que satisfaça esta equação para alguns
vetores diferentes de zero, V,
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o determinante de lambda
vezes a matriz identidade
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menos A deve ser igual a zero.
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Ou se pudéssemos reescrever isto
dizendo que lambda é um autovalor
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de A se e apenas se
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o determinante de lambda vezes
a matriz identidade menos A
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é igual a zero.
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Vamos ver se podemos
usar isto em qualquer
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tipo de situação para
calcular autovalores.
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Vamos fazer uma dois
por dois simples,
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uma R dois.
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Vamos dizer que A é igual a
matriz um, dois e quatro, três.
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E eu quero encontrar os
autovalores de A.
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Então se lambda é um
autovalor de A, isto aqui
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nos diz que o determinante
de lambda vezes a matriz identidade,
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assim teremos a matriz
identidade em R dois.
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Então lambda vezes um, zero, zero, um
menos A, um, dois, quatro, três,
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será igual a zero.
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Bem, isto será igual a?
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Isto exatamente aqui é o determinante.
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Lambda vezes isto é igual a
lambda vezes todos estes termos.
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Assim, lambda vezes um é lambda,
lambda vezes zero é zero,
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lambda vezes zero é zero,
lambda vezes um é lambda.
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E disto nós subtraímos A.
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Deste modo, você tem um, dois,
quatro, três, e isto é igual a zero.
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E então esta matriz, ou esta
diferença entre matrizes,
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é apenas para manter
o determinante.
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Este é o determinante.
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O primeiro termo será
lambda menos um.
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O segundo termo é zero menos
dois, então é apenas menos dois.
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O terceiro termo é zero menos
quatro, então é apenas menos quatro.
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E então o quatro termo
é lambda menos três,
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como isto aqui.
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Vamos pegar um atalho
para ver o que acontece.
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Os termos ao longo da diagonal,
todos se tornaram negativos,
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certo?
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Tornamos tudo negativo.
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E nos termos ao redor da diagonal,
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colocamos um lambda na frente.
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Isto é basicamente o subproduto
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desta expressão aqui.
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Assim, qual é o determinante
desta matriz dois por dois?
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Bem, o determinante desta matriz
é isto vezes aquilo, menos
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isto vezes aquilo.
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Deste modo, temos lambda menos
um, vezes lambda menos três,
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menos estes dois caras
multiplicados um pelo outro.
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Menos dois vezes menos quatro
é igual a mais oito, menos oito.
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Este é o determinante desta
matriz aqui ou desta
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matriz aqui, que é
simplificada desta matriz.
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E isto tem que ser igual a zero.
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E o motivo pelo qual isto
deve ser igual a zero é
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que, como vimos antes,
esta matriz tem um
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espaço nulo não-trivial.
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E porque ela tem um
espaço nulo não-trivial,
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não pode ser invertível e
seu determinante tem
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que ser igual a zero.
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Agora temos uma interessante
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equação polinomial aqui.
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Podemos multiplicá-la para fora.
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O que encontramos?
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Vamos multiplicá-la.
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Temos lambda ao quadrado, certo,
menos três lambda, menos lambda
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mais três, menos oito,
que é igual a zero.
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Ou lambda ao quadrado, menos
quatro lambda, menos
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cinco, que é igual a zero.
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E apenas se você quiser conhecer
alguma terminologia,
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esta expressão aqui é conhecida
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como a polinomial característica.
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Só um pouco de terminologia polinomial.
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Mas se quisermos encontrar
os autovalores para A,
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temos que solucionar isto aqui.
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Este é um problema quadrático básico.
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E é realmente fatorável.
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Vamos ver, dois números e
você tem o produto menos cinco,
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quando você os soma,
você tem menos quatro.
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Menos cinco e mais um, então
você tem lambda menos cinco,
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vezes lambda mais um,
que é igual a zero, certo?
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Menos cinco vezes um é menos cinco,
e então menos cinco lambda mais um
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lambda é igual a
menos quatro lambda.
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Assim, as duas soluções da nossa
equação característica
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são definidas como zero, nosso
polinomial característico,
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são lambda igual a cinco ou
lambda igual a menos um.
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Deste modo, usando a informação
que nós provamos a nós mesmos
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no último vídeo, somos
capazes de calcular que
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os dois autovalores de A são
lambda igual a cinco e lambda
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igual a menos um.
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Isto resolve apenas
parte do problema, certo?
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Estamos procurando
por autovalores e
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autovetores, certo?
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Sabemos que esta equação pode
ser satisfeita com os lambdas
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iguais a cinco ou a menos um.
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Conhecemos os autovalores, mas
ainda temos que determinar
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os autovetores reais.
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É isto que nós faremos
no próximo vídeo.
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[Legendado por Raiza de Souza]
