No último vídeo, fomos capazes de mostrar que para qualquer lambda que satisfaça esta equação para alguns vetores diferentes de zero, V, o determinante de lambda vezes a matriz identidade menos A deve ser igual a zero. Ou se pudéssemos reescrever isto dizendo que lambda é um autovalor de A se e apenas se o determinante de lambda vezes a matriz identidade menos A é igual a zero. Vamos ver se podemos usar isto em qualquer tipo de situação para calcular autovalores. Vamos fazer uma dois por dois simples, uma R dois. Vamos dizer que A é igual a matriz um, dois e quatro, três. E eu quero encontrar os autovalores de A. Então se lambda é um autovalor de A, isto aqui nos diz que o determinante de lambda vezes a matriz identidade, assim teremos a matriz identidade em R dois. Então lambda vezes um, zero, zero, um menos A, um, dois, quatro, três, será igual a zero. Bem, isto será igual a? Isto exatamente aqui é o determinante. Lambda vezes isto é igual a lambda vezes todos estes termos. Assim, lambda vezes um é lambda, lambda vezes zero é zero, lambda vezes zero é zero, lambda vezes um é lambda. E disto nós subtraímos A. Deste modo, você tem um, dois, quatro, três, e isto é igual a zero. E então esta matriz, ou esta diferença entre matrizes, é apenas para manter o determinante. Este é o determinante. O primeiro termo será lambda menos um. O segundo termo é zero menos dois, então é apenas menos dois. O terceiro termo é zero menos quatro, então é apenas menos quatro. E então o quatro termo é lambda menos três, como isto aqui. Vamos pegar um atalho para ver o que acontece. Os termos ao longo da diagonal, todos se tornaram negativos, certo? Tornamos tudo negativo. E nos termos ao redor da diagonal, colocamos um lambda na frente. Isto é basicamente o subproduto desta expressão aqui. Assim, qual é o determinante desta matriz dois por dois? Bem, o determinante desta matriz é isto vezes aquilo, menos isto vezes aquilo. Deste modo, temos lambda menos um, vezes lambda menos três, menos estes dois caras multiplicados um pelo outro. Menos dois vezes menos quatro é igual a mais oito, menos oito. Este é o determinante desta matriz aqui ou desta matriz aqui, que é simplificada desta matriz. E isto tem que ser igual a zero. E o motivo pelo qual isto deve ser igual a zero é que, como vimos antes, esta matriz tem um espaço nulo não-trivial. E porque ela tem um espaço nulo não-trivial, não pode ser invertível e seu determinante tem que ser igual a zero. Agora temos uma interessante equação polinomial aqui. Podemos multiplicá-la para fora. O que encontramos? Vamos multiplicá-la. Temos lambda ao quadrado, certo, menos três lambda, menos lambda mais três, menos oito, que é igual a zero. Ou lambda ao quadrado, menos quatro lambda, menos cinco, que é igual a zero. E apenas se você quiser conhecer alguma terminologia, esta expressão aqui é conhecida como a polinomial característica. Só um pouco de terminologia polinomial. Mas se quisermos encontrar os autovalores para A, temos que solucionar isto aqui. Este é um problema quadrático básico. E é realmente fatorável. Vamos ver, dois números e você tem o produto menos cinco, quando você os soma, você tem menos quatro. Menos cinco e mais um, então você tem lambda menos cinco, vezes lambda mais um, que é igual a zero, certo? Menos cinco vezes um é menos cinco, e então menos cinco lambda mais um lambda é igual a menos quatro lambda. Assim, as duas soluções da nossa equação característica são definidas como zero, nosso polinomial característico, são lambda igual a cinco ou lambda igual a menos um. Deste modo, usando a informação que nós provamos a nós mesmos no último vídeo, somos capazes de calcular que os dois autovalores de A são lambda igual a cinco e lambda igual a menos um. Isto resolve apenas parte do problema, certo? Estamos procurando por autovalores e autovetores, certo? Sabemos que esta equação pode ser satisfeita com os lambdas iguais a cinco ou a menos um. Conhecemos os autovalores, mas ainda temos que determinar os autovetores reais. É isto que nós faremos no próximo vídeo. [Legendado por Raiza de Souza]