0:00:00.000,0:00:03.630
No último vídeo, fomos capazes[br]de mostrar que para qualquer lambda

0:00:03.630,0:00:09.050
que satisfaça esta equação para alguns[br]vetores diferentes de zero, V,

0:00:09.050,0:00:13.510
o determinante de lambda[br]vezes a matriz identidade

0:00:13.510,0:00:15.560
menos A deve ser igual a zero.

0:00:15.560,0:00:24.620
Ou se pudéssemos reescrever isto[br]dizendo que lambda é um autovalor

0:00:24.620,0:00:31.780
de A se e apenas se

0:00:31.780,0:00:37.250
o determinante de lambda vezes[br]a matriz identidade menos A

0:00:37.250,0:00:39.860
é igual a zero.

0:00:39.860,0:00:42.230
Vamos ver se podemos[br]usar isto em qualquer

0:00:42.230,0:00:45.122
tipo de situação para[br]calcular autovalores.

0:00:45.122,0:00:47.668
Vamos fazer uma dois[br]por dois simples,[br]

0:00:47.668,0:00:49.194
uma R dois.

0:00:49.194,0:00:58.000
Vamos dizer que A é igual a[br]matriz um, dois e quatro, três.

0:00:58.000,0:01:01.790
E eu quero encontrar os[br]autovalores de A.

0:01:01.790,0:01:11.610
Então se lambda é um[br]autovalor de A, isto aqui

0:01:11.610,0:01:16.330
nos diz que o determinante[br]de lambda vezes a matriz identidade,

0:01:16.330,0:01:20.140
assim teremos a matriz [br]identidade em R dois.

0:01:20.140,0:01:29.230
Então lambda vezes um, zero, zero, um[br]menos A, um, dois, quatro, três,

0:01:29.230,0:01:30.320
será igual a zero.

0:01:30.320,0:01:32.510
Bem, isto será igual a?

0:01:32.510,0:01:36.170
Isto exatamente aqui é o determinante.

0:01:36.170,0:01:39.740
Lambda vezes isto é igual a[br]lambda vezes todos estes termos.

0:01:39.740,0:01:42.790
Assim, lambda vezes um é lambda,[br]lambda vezes zero é zero,

0:01:42.790,0:01:47.260
lambda vezes zero é zero,[br]lambda vezes um é lambda.

0:01:47.260,0:01:49.910
E disto nós subtraímos A.

0:01:49.910,0:01:56.130
Deste modo, você tem um, dois,[br]quatro, três, e isto é igual a zero.

0:01:56.130,0:01:58.820
E então esta matriz, ou esta[br]diferença entre matrizes,

0:01:58.820,0:02:00.580
é apenas para manter[br]o determinante.

0:02:00.580,0:02:03.360
Este é o determinante.

0:02:03.360,0:02:06.670
O primeiro termo será[br]lambda menos um.

0:02:06.670,0:02:11.540
O segundo termo é zero menos[br]dois, então é apenas menos dois.

0:02:11.540,0:02:15.570
O terceiro termo é zero menos[br]quatro, então é apenas menos quatro.

0:02:15.570,0:02:18.310
E então o quatro termo[br]é lambda menos três,

0:02:18.310,0:02:23.310
como isto aqui.

0:02:23.310,0:02:25.620
Vamos pegar um atalho[br]para ver o que acontece.

0:02:25.620,0:02:29.560
Os termos ao longo da diagonal,[br]todos se tornaram negativos,

0:02:29.560,0:02:30.390
certo?

0:02:30.390,0:02:31.490
Tornamos tudo negativo.

0:02:31.490,0:02:33.140
E nos termos ao redor da diagonal,

0:02:33.140,0:02:34.650
colocamos um lambda na frente.

0:02:34.650,0:02:36.800
Isto é basicamente o subproduto

0:02:36.800,0:02:38.900
desta expressão aqui.

0:02:38.900,0:02:41.990
Assim, qual é o determinante[br]desta matriz dois por dois?

0:02:41.990,0:02:45.950
Bem, o determinante desta matriz[br]é isto vezes aquilo, menos

0:02:45.950,0:02:46.940
isto vezes aquilo.

0:02:46.940,0:02:56.630
Deste modo, temos lambda menos[br]um, vezes lambda menos três,

0:02:56.630,0:03:00.170
menos estes dois caras[br]multiplicados um pelo outro.

0:03:00.170,0:03:04.480
Menos dois vezes menos quatro[br]é igual a mais oito, menos oito.

0:03:04.480,0:03:09.470
Este é o determinante desta[br]matriz aqui ou desta

0:03:09.470,0:03:12.920
matriz aqui, que é [br]simplificada desta matriz.

0:03:12.920,0:03:17.510
E isto tem que ser igual a zero.

0:03:17.510,0:03:20.180
E o motivo pelo qual isto[br]deve ser igual a zero é

0:03:20.180,0:03:22.810
que, como vimos antes,[br]esta matriz tem um

0:03:22.810,0:03:24.615
espaço nulo não-trivial.

0:03:24.615,0:03:27.630
E porque ela tem um[br]espaço nulo não-trivial,

0:03:27.630,0:03:29.790
não pode ser invertível e[br]seu determinante tem

0:03:29.790,0:03:31.340
que ser igual a zero.

0:03:31.340,0:03:32.690
Agora temos uma interessante

0:03:32.690,0:03:33.880
equação polinomial aqui.

0:03:33.880,0:03:36.030
Podemos multiplicá-la para fora.

0:03:36.030,0:03:36.930
O que encontramos?

0:03:36.930,0:03:38.270
Vamos multiplicá-la.

0:03:38.270,0:03:46.280
Temos lambda ao quadrado, certo,[br]menos três lambda, menos lambda

0:03:46.280,0:03:50.880
mais três, menos oito,[br]que é igual a zero.

0:03:50.880,0:04:00.330
Ou lambda ao quadrado, menos[br]quatro lambda, menos

0:04:00.330,0:04:04.710
cinco, que é igual a zero.

0:04:04.710,0:04:09.600
E apenas se você quiser conhecer[br]alguma terminologia,

0:04:09.600,0:04:12.180
esta expressão aqui é conhecida

0:04:12.180,0:04:19.100
como a polinomial característica.

0:04:19.100,0:04:21.860
Só um pouco de terminologia polinomial.

0:04:21.860,0:04:24.280
Mas se quisermos encontrar [br]os autovalores para A,

0:04:24.280,0:04:25.775
temos que solucionar isto aqui.

0:04:25.775,0:04:28.310
Este é um problema quadrático básico.

0:04:28.310,0:04:29.540
E é realmente fatorável.

0:04:29.540,0:04:32.220
Vamos ver, dois números e[br]você tem o produto menos cinco,

0:04:32.220,0:04:34.722
quando você os soma,[br]você tem menos quatro.

0:04:34.722,0:04:39.314
Menos cinco e mais um, então [br]você tem lambda menos cinco,

0:04:39.314,0:04:42.580
vezes lambda mais um,[br]que é igual a zero, certo?

0:04:42.580,0:04:47.190
Menos cinco vezes um é menos cinco,[br]e então menos cinco lambda mais um

0:04:47.190,0:04:50.260
lambda é igual a[br]menos quatro lambda.

0:04:50.260,0:04:52.970
Assim, as duas soluções da nossa[br]equação característica

0:04:52.970,0:04:56.000
são definidas como zero, nosso[br]polinomial característico,

0:04:56.000,0:05:02.090
são lambda igual a cinco ou [br]lambda igual a menos um.

0:05:02.090,0:05:05.240
Deste modo, usando a informação[br]que nós provamos a nós mesmos

0:05:05.240,0:05:07.970
no último vídeo, somos [br]capazes de calcular que

0:05:07.970,0:05:15.610
os dois autovalores de A são[br]lambda igual a cinco e lambda

0:05:15.610,0:05:17.170
igual a menos um.

0:05:17.170,0:05:19.500
Isto resolve apenas[br]parte do problema, certo?

0:05:19.500,0:05:22.570
Estamos procurando[br]por autovalores e

0:05:22.570,0:05:24.800
autovetores, certo?

0:05:24.800,0:05:28.660
Sabemos que esta equação pode[br]ser satisfeita com os lambdas

0:05:28.660,0:05:30.700
iguais a cinco ou a menos um.

0:05:30.700,0:05:33.630
Conhecemos os autovalores, mas[br]ainda temos que determinar

0:05:33.630,0:05:35.610
os autovetores reais.

0:05:35.610,0:05:37.660
É isto que nós faremos[br]no próximo vídeo.

0:05:37.660,0:05:39.000
[Legendado por Raiza de Souza]