WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.630
No último vídeo, fomos capazes
de mostrar que para qualquer lambda

00:00:03.630 --> 00:00:09.050
que satisfaça esta equação para alguns
vetores diferentes de zero, V,

00:00:09.050 --> 00:00:13.510
o determinante de lambda
vezes a matriz identidade

00:00:13.510 --> 00:00:15.560
menos A deve ser igual a zero.

00:00:15.560 --> 00:00:24.620
Ou se pudéssemos reescrever isto
dizendo que lambda é um autovalor

00:00:24.620 --> 00:00:31.780
de A se e apenas se

00:00:31.780 --> 00:00:37.250
o determinante de lambda vezes
a matriz identidade menos A

00:00:37.250 --> 00:00:39.860
é igual a zero.

00:00:39.860 --> 00:00:42.230
Vamos ver se podemos
usar isto em qualquer

00:00:42.230 --> 00:00:45.122
tipo de situação para
calcular autovalores.

00:00:45.122 --> 00:00:47.668
Vamos fazer uma dois
por dois simples,


00:00:47.668 --> 00:00:49.194
uma R dois.

00:00:49.194 --> 00:00:58.000
Vamos dizer que A é igual a
matriz um, dois e quatro, três.

00:00:58.000 --> 00:01:01.790
E eu quero encontrar os
autovalores de A.

00:01:01.790 --> 00:01:11.610
Então se lambda é um
autovalor de A, isto aqui

00:01:11.610 --> 00:01:16.330
nos diz que o determinante
de lambda vezes a matriz identidade,

00:01:16.330 --> 00:01:20.140
assim teremos a matriz 
identidade em R dois.

00:01:20.140 --> 00:01:29.230
Então lambda vezes um, zero, zero, um
menos A, um, dois, quatro, três,

00:01:29.230 --> 00:01:30.320
será igual a zero.

00:01:30.320 --> 00:01:32.510
Bem, isto será igual a?

00:01:32.510 --> 00:01:36.170
Isto exatamente aqui é o determinante.

00:01:36.170 --> 00:01:39.740
Lambda vezes isto é igual a
lambda vezes todos estes termos.

00:01:39.740 --> 00:01:42.790
Assim, lambda vezes um é lambda,
lambda vezes zero é zero,

00:01:42.790 --> 00:01:47.260
lambda vezes zero é zero,
lambda vezes um é lambda.

00:01:47.260 --> 00:01:49.910
E disto nós subtraímos A.

00:01:49.910 --> 00:01:56.130
Deste modo, você tem um, dois,
quatro, três, e isto é igual a zero.

00:01:56.130 --> 00:01:58.820
E então esta matriz, ou esta
diferença entre matrizes,

00:01:58.820 --> 00:02:00.580
é apenas para manter
o determinante.

00:02:00.580 --> 00:02:03.360
Este é o determinante.

00:02:03.360 --> 00:02:06.670
O primeiro termo será
lambda menos um.

00:02:06.670 --> 00:02:11.540
O segundo termo é zero menos
dois, então é apenas menos dois.

00:02:11.540 --> 00:02:15.570
O terceiro termo é zero menos
quatro, então é apenas menos quatro.

00:02:15.570 --> 00:02:18.310
E então o quatro termo
é lambda menos três,

00:02:18.310 --> 00:02:23.310
como isto aqui.

00:02:23.310 --> 00:02:25.620
Vamos pegar um atalho
para ver o que acontece.

00:02:25.620 --> 00:02:29.560
Os termos ao longo da diagonal,
todos se tornaram negativos,

00:02:29.560 --> 00:02:30.390
certo?

00:02:30.390 --> 00:02:31.490
Tornamos tudo negativo.

00:02:31.490 --> 00:02:33.140
E nos termos ao redor da diagonal,

00:02:33.140 --> 00:02:34.650
colocamos um lambda na frente.

00:02:34.650 --> 00:02:36.800
Isto é basicamente o subproduto

00:02:36.800 --> 00:02:38.900
desta expressão aqui.

00:02:38.900 --> 00:02:41.990
Assim, qual é o determinante
desta matriz dois por dois?

00:02:41.990 --> 00:02:45.950
Bem, o determinante desta matriz
é isto vezes aquilo, menos

00:02:45.950 --> 00:02:46.940
isto vezes aquilo.

00:02:46.940 --> 00:02:56.630
Deste modo, temos lambda menos
um, vezes lambda menos três,

00:02:56.630 --> 00:03:00.170
menos estes dois caras
multiplicados um pelo outro.

00:03:00.170 --> 00:03:04.480
Menos dois vezes menos quatro
é igual a mais oito, menos oito.

00:03:04.480 --> 00:03:09.470
Este é o determinante desta
matriz aqui ou desta

00:03:09.470 --> 00:03:12.920
matriz aqui, que é 
simplificada desta matriz.

00:03:12.920 --> 00:03:17.510
E isto tem que ser igual a zero.

00:03:17.510 --> 00:03:20.180
E o motivo pelo qual isto
deve ser igual a zero é

00:03:20.180 --> 00:03:22.810
que, como vimos antes,
esta matriz tem um

00:03:22.810 --> 00:03:24.615
espaço nulo não-trivial.

00:03:24.615 --> 00:03:27.630
E porque ela tem um
espaço nulo não-trivial,

00:03:27.630 --> 00:03:29.790
não pode ser invertível e
seu determinante tem

00:03:29.790 --> 00:03:31.340
que ser igual a zero.

00:03:31.340 --> 00:03:32.690
Agora temos uma interessante

00:03:32.690 --> 00:03:33.880
equação polinomial aqui.

00:03:33.880 --> 00:03:36.030
Podemos multiplicá-la para fora.

00:03:36.030 --> 00:03:36.930
O que encontramos?

00:03:36.930 --> 00:03:38.270
Vamos multiplicá-la.

00:03:38.270 --> 00:03:46.280
Temos lambda ao quadrado, certo,
menos três lambda, menos lambda

00:03:46.280 --> 00:03:50.880
mais três, menos oito,
que é igual a zero.

00:03:50.880 --> 00:04:00.330
Ou lambda ao quadrado, menos
quatro lambda, menos

00:04:00.330 --> 00:04:04.710
cinco, que é igual a zero.

00:04:04.710 --> 00:04:09.600
E apenas se você quiser conhecer
alguma terminologia,

00:04:09.600 --> 00:04:12.180
esta expressão aqui é conhecida

00:04:12.180 --> 00:04:19.100
como a polinomial característica.

00:04:19.100 --> 00:04:21.860
Só um pouco de terminologia polinomial.

00:04:21.860 --> 00:04:24.280
Mas se quisermos encontrar 
os autovalores para A,

00:04:24.280 --> 00:04:25.775
temos que solucionar isto aqui.

00:04:25.775 --> 00:04:28.310
Este é um problema quadrático básico.

00:04:28.310 --> 00:04:29.540
E é realmente fatorável.

00:04:29.540 --> 00:04:32.220
Vamos ver, dois números e
você tem o produto menos cinco,

00:04:32.220 --> 00:04:34.722
quando você os soma,
você tem menos quatro.

00:04:34.722 --> 00:04:39.314
Menos cinco e mais um, então 
você tem lambda menos cinco,

00:04:39.314 --> 00:04:42.580
vezes lambda mais um,
que é igual a zero, certo?

00:04:42.580 --> 00:04:47.190
Menos cinco vezes um é menos cinco,
e então menos cinco lambda mais um

00:04:47.190 --> 00:04:50.260
lambda é igual a
menos quatro lambda.

00:04:50.260 --> 00:04:52.970
Assim, as duas soluções da nossa
equação característica

00:04:52.970 --> 00:04:56.000
são definidas como zero, nosso
polinomial característico,

00:04:56.000 --> 00:05:02.090
são lambda igual a cinco ou 
lambda igual a menos um.

00:05:02.090 --> 00:05:05.240
Deste modo, usando a informação
que nós provamos a nós mesmos

00:05:05.240 --> 00:05:07.970
no último vídeo, somos 
capazes de calcular que

00:05:07.970 --> 00:05:15.610
os dois autovalores de A são
lambda igual a cinco e lambda

00:05:15.610 --> 00:05:17.170
igual a menos um.

00:05:17.170 --> 00:05:19.500
Isto resolve apenas
parte do problema, certo?

00:05:19.500 --> 00:05:22.570
Estamos procurando
por autovalores e

00:05:22.570 --> 00:05:24.800
autovetores, certo?

00:05:24.800 --> 00:05:28.660
Sabemos que esta equação pode
ser satisfeita com os lambdas

00:05:28.660 --> 00:05:30.700
iguais a cinco ou a menos um.

00:05:30.700 --> 00:05:33.630
Conhecemos os autovalores, mas
ainda temos que determinar

00:05:33.630 --> 00:05:35.610
os autovetores reais.

00:05:35.610 --> 00:05:37.660
É isto que nós faremos
no próximo vídeo.

00:05:37.660 --> 00:05:39.000
[Legendado por Raiza de Souza]