No último vídeo, fomos capazes de mostrar que para qualquer lambda
que satisfaça esta equação para alguns vetores diferentes de zero, V,
o determinante de lambda vezes a matriz identidade
menos A deve ser igual a zero.
Ou se pudéssemos reescrever isto dizendo que lambda é um autovalor
de A se e apenas se
o determinante de lambda vezes a matriz identidade menos A
é igual a zero.
Vamos ver se podemos usar isto em qualquer
tipo de situação para calcular autovalores.
Vamos fazer uma dois por dois simples,
uma R dois.
Vamos dizer que A é igual a matriz um, dois e quatro, três.
E eu quero encontrar os autovalores de A.
Então se lambda é um autovalor de A, isto aqui
nos diz que o determinante de lambda vezes a matriz identidade,
assim teremos a matriz identidade em R dois.
Então lambda vezes um, zero, zero, um menos A, um, dois, quatro, três,
será igual a zero.
Bem, isto será igual a?
Isto exatamente aqui é o determinante.
Lambda vezes isto é igual a lambda vezes todos estes termos.
Assim, lambda vezes um é lambda, lambda vezes zero é zero,
lambda vezes um é lambda.
E disto nós subtraímos A.
Deste modo, você tem um, dois, quatro, três, e isto é igual a zero.
E então esta matriz, ou esta diferença entre matrizes,
é apenas para manter o determinante.
Este é o determinante.
O primeiro termo será lambda menos um.
O segundo termo é zero menos dois, então é apenas menos dois.
O terceiro termo é zero menos quatro, então é apenas menos quatro.
E então o quatro termo é lambda menos três,
como isto aqui.
Vamos pegar um atalho para ver o que acontece.
Os termos ao longo da diagonal, todos se tornaram negativos,
certo?
Tornamos tudo negativo.
E nos termos ao redor da diagonal,
colocamos um lambda na frente.
Isto é basicamente o subproduto
desta expressão aqui.
Assim, qual é o determinante desta matriz dois por dois?
Bem, o determinante desta matriz é isto vezes aquilo, menos
isto vezes aquilo.
Deste modo, temos lambda menos um, vezes lambda menos três,
menos estes dois caras multiplicados um pelo outro.
Menos dois vezes menos quatro é igual a mais oito, menos oito.
Este é o determinante desta matriz aqui ou desta
matriz aqui, que é simplificada desta matriz.
E isto tem que ser igual a zero.
E o motivo pelo qual isto deve ser igual a zero é
que, como vimos antes, esta matriz tem um
espaço nulo não-trivial.
E porque ela tem um espaço nulo não-trivial,
não pode ser invertível e seu determinante tem
que ser igual a zero.
Agora temos uma interessante
equação polinomial aqui.
Podemos multiplicá-la para fora.
O que encontramos?
Vamos multiplicá-la.
Temos lambda ao quadrado, certo, menos três lambda, menos lambda
mais três, menos oito, que é igual a zero.
Ou lambda ao quadrado, menos quatro lambda, menos
cinco, que é igual a zero.
E apenas se você quiser conhecer alguma terminologia,
esta expressão aqui é conhecida
como a polinomial característica.
Só um pouco de terminologia polinomial.
Mas se quisermos encontrar os autovalores para A,
temos que solucionar isto aqui.
Este é um problema quadrático básico.
E é realmente fatorável.
Vamos ver, dois números e você tem o produto menos cinco,
quando você os soma, você tem menos quatro.
Menos cinco e mais um, então você tem lambda menos cinco,
vezes lambda mais um, que é igual a zero, certo?
Menos cinco vezes um é menos cinco, e então menos cinco lambda mais um
lambda é igual a menos quatro lambda.
Assim, as duas soluções da nossa equação característica
são definidas como zero, nosso polinomial característico,
são lambda igual a cinco ou lambda igual a menos um.
Deste modo, usando a informação que nós provamos a nós mesmos
no último vídeo, somos capazes de calcular que
os dois autovalores de A são lambda igual a cinco e lambda
igual a menos um.
Isto resolve apenas parte do problema, certo?
Estamos procurando por autovalores e
autovetores, certo?
Sabemos que esta equação pode ser satisfeita com os lambdas
iguais a cinco ou a menos um.
Conhecemos os autovalores, mas ainda temos que determinar
os autovetores reais.
É isto que nós faremos no próximo vídeo.
[Legendado por Raiza de Souza]