1
00:00:00,000 --> 00:00:03,630
No último vídeo, fomos capazes
de mostrar que para qualquer lambda

2
00:00:03,630 --> 00:00:09,050
que satisfaça esta equação para alguns
vetores diferentes de zero, V,

3
00:00:09,050 --> 00:00:13,510
o determinante de lambda
vezes a matriz identidade

4
00:00:13,510 --> 00:00:15,560
menos A deve ser igual a zero.

5
00:00:15,560 --> 00:00:24,620
Ou se pudéssemos reescrever isto
dizendo que lambda é um autovalor

6
00:00:24,620 --> 00:00:31,780
de A se e apenas se

7
00:00:31,780 --> 00:00:37,250
o determinante de lambda vezes
a matriz identidade menos A

8
00:00:37,250 --> 00:00:39,860
é igual a zero.

9
00:00:39,860 --> 00:00:42,230
Vamos ver se podemos
usar isto em qualquer

10
00:00:42,230 --> 00:00:45,122
tipo de situação para
calcular autovalores.

11
00:00:45,122 --> 00:00:47,668
Vamos fazer uma dois
por dois simples,


12
00:00:47,668 --> 00:00:49,194
uma R dois.

13
00:00:49,194 --> 00:00:58,000
Vamos dizer que A é igual a
matriz um, dois e quatro, três.

14
00:00:58,000 --> 00:01:01,790
E eu quero encontrar os
autovalores de A.

15
00:01:01,790 --> 00:01:11,610
Então se lambda é um
autovalor de A, isto aqui

16
00:01:11,610 --> 00:01:16,330
nos diz que o determinante
de lambda vezes a matriz identidade,

17
00:01:16,330 --> 00:01:20,140
assim teremos a matriz 
identidade em R dois.

18
00:01:20,140 --> 00:01:29,230
Então lambda vezes um, zero, zero, um
menos A, um, dois, quatro, três,

19
00:01:29,230 --> 00:01:30,320
será igual a zero.

20
00:01:30,320 --> 00:01:32,510
Bem, isto será igual a?

21
00:01:32,510 --> 00:01:36,170
Isto exatamente aqui é o determinante.

22
00:01:36,170 --> 00:01:39,740
Lambda vezes isto é igual a
lambda vezes todos estes termos.

23
00:01:39,740 --> 00:01:42,790
Assim, lambda vezes um é lambda,
lambda vezes zero é zero,

24
00:01:42,790 --> 00:01:47,260
lambda vezes zero é zero,
lambda vezes um é lambda.

25
00:01:47,260 --> 00:01:49,910
E disto nós subtraímos A.

26
00:01:49,910 --> 00:01:56,130
Deste modo, você tem um, dois,
quatro, três, e isto é igual a zero.

27
00:01:56,130 --> 00:01:58,820
E então esta matriz, ou esta
diferença entre matrizes,

28
00:01:58,820 --> 00:02:00,580
é apenas para manter
o determinante.

29
00:02:00,580 --> 00:02:03,360
Este é o determinante.

30
00:02:03,360 --> 00:02:06,670
O primeiro termo será
lambda menos um.

31
00:02:06,670 --> 00:02:11,540
O segundo termo é zero menos
dois, então é apenas menos dois.

32
00:02:11,540 --> 00:02:15,570
O terceiro termo é zero menos
quatro, então é apenas menos quatro.

33
00:02:15,570 --> 00:02:18,310
E então o quatro termo
é lambda menos três,

34
00:02:18,310 --> 00:02:23,310
como isto aqui.

35
00:02:23,310 --> 00:02:25,620
Vamos pegar um atalho
para ver o que acontece.

36
00:02:25,620 --> 00:02:29,560
Os termos ao longo da diagonal,
todos se tornaram negativos,

37
00:02:29,560 --> 00:02:30,390
certo?

38
00:02:30,390 --> 00:02:31,490
Tornamos tudo negativo.

39
00:02:31,490 --> 00:02:33,140
E nos termos ao redor da diagonal,

40
00:02:33,140 --> 00:02:34,650
colocamos um lambda na frente.

41
00:02:34,650 --> 00:02:36,800
Isto é basicamente o subproduto

42
00:02:36,800 --> 00:02:38,900
desta expressão aqui.

43
00:02:38,900 --> 00:02:41,990
Assim, qual é o determinante
desta matriz dois por dois?

44
00:02:41,990 --> 00:02:45,950
Bem, o determinante desta matriz
é isto vezes aquilo, menos

45
00:02:45,950 --> 00:02:46,940
isto vezes aquilo.

46
00:02:46,940 --> 00:02:56,630
Deste modo, temos lambda menos
um, vezes lambda menos três,

47
00:02:56,630 --> 00:03:00,170
menos estes dois caras
multiplicados um pelo outro.

48
00:03:00,170 --> 00:03:04,480
Menos dois vezes menos quatro
é igual a mais oito, menos oito.

49
00:03:04,480 --> 00:03:09,470
Este é o determinante desta
matriz aqui ou desta

50
00:03:09,470 --> 00:03:12,920
matriz aqui, que é 
simplificada desta matriz.

51
00:03:12,920 --> 00:03:17,510
E isto tem que ser igual a zero.

52
00:03:17,510 --> 00:03:20,180
E o motivo pelo qual isto
deve ser igual a zero é

53
00:03:20,180 --> 00:03:22,810
que, como vimos antes,
esta matriz tem um

54
00:03:22,810 --> 00:03:24,615
espaço nulo não-trivial.

55
00:03:24,615 --> 00:03:27,630
E porque ela tem um
espaço nulo não-trivial,

56
00:03:27,630 --> 00:03:29,790
não pode ser invertível e
seu determinante tem

57
00:03:29,790 --> 00:03:31,340
que ser igual a zero.

58
00:03:31,340 --> 00:03:32,690
Agora temos uma interessante

59
00:03:32,690 --> 00:03:33,880
equação polinomial aqui.

60
00:03:33,880 --> 00:03:36,030
Podemos multiplicá-la para fora.

61
00:03:36,030 --> 00:03:36,930
O que encontramos?

62
00:03:36,930 --> 00:03:38,270
Vamos multiplicá-la.

63
00:03:38,270 --> 00:03:46,280
Temos lambda ao quadrado, certo,
menos três lambda, menos lambda

64
00:03:46,280 --> 00:03:50,880
mais três, menos oito,
que é igual a zero.

65
00:03:50,880 --> 00:04:00,330
Ou lambda ao quadrado, menos
quatro lambda, menos

66
00:04:00,330 --> 00:04:04,710
cinco, que é igual a zero.

67
00:04:04,710 --> 00:04:09,600
E apenas se você quiser conhecer
alguma terminologia,

68
00:04:09,600 --> 00:04:12,180
esta expressão aqui é conhecida

69
00:04:12,180 --> 00:04:19,100
como a polinomial característica.

70
00:04:19,100 --> 00:04:21,860
Só um pouco de terminologia polinomial.

71
00:04:21,860 --> 00:04:24,280
Mas se quisermos encontrar 
os autovalores para A,

72
00:04:24,280 --> 00:04:25,775
temos que solucionar isto aqui.

73
00:04:25,775 --> 00:04:28,310
Este é um problema quadrático básico.

74
00:04:28,310 --> 00:04:29,540
E é realmente fatorável.

75
00:04:29,540 --> 00:04:32,220
Vamos ver, dois números e
você tem o produto menos cinco,

76
00:04:32,220 --> 00:04:34,722
quando você os soma,
você tem menos quatro.

77
00:04:34,722 --> 00:04:39,314
Menos cinco e mais um, então 
você tem lambda menos cinco,

78
00:04:39,314 --> 00:04:42,580
vezes lambda mais um,
que é igual a zero, certo?

79
00:04:42,580 --> 00:04:47,190
Menos cinco vezes um é menos cinco,
e então menos cinco lambda mais um

80
00:04:47,190 --> 00:04:50,260
lambda é igual a
menos quatro lambda.

81
00:04:50,260 --> 00:04:52,970
Assim, as duas soluções da nossa
equação característica

82
00:04:52,970 --> 00:04:56,000
são definidas como zero, nosso
polinomial característico,

83
00:04:56,000 --> 00:05:02,090
são lambda igual a cinco ou 
lambda igual a menos um.

84
00:05:02,090 --> 00:05:05,240
Deste modo, usando a informação
que nós provamos a nós mesmos

85
00:05:05,240 --> 00:05:07,970
no último vídeo, somos 
capazes de calcular que

86
00:05:07,970 --> 00:05:15,610
os dois autovalores de A são
lambda igual a cinco e lambda

87
00:05:15,610 --> 00:05:17,170
igual a menos um.

88
00:05:17,170 --> 00:05:19,500
Isto resolve apenas
parte do problema, certo?

89
00:05:19,500 --> 00:05:22,570
Estamos procurando
por autovalores e

90
00:05:22,570 --> 00:05:24,800
autovetores, certo?

91
00:05:24,800 --> 00:05:28,660
Sabemos que esta equação pode
ser satisfeita com os lambdas

92
00:05:28,660 --> 00:05:30,700
iguais a cinco ou a menos um.

93
00:05:30,700 --> 00:05:33,630
Conhecemos os autovalores, mas
ainda temos que determinar

94
00:05:33,630 --> 00:05:35,610
os autovetores reais.

95
00:05:35,610 --> 00:05:37,660
É isto que nós faremos
no próximo vídeo.

96
00:05:37,660 --> 00:05:39,000
[Legendado por Raiza de Souza]