No último vídeo, fomos capazes
de mostrar que para qualquer lambda
que satisfaça esta equação para alguns
vetores diferentes de zero, V,
o determinante de lambda
vezes a matriz identidade
menos A deve ser igual a zero.
Ou se pudéssemos reescrever isto
dizendo que lambda é um autovalor
de A se e apenas se
o determinante de lambda vezes
a matriz identidade menos A
é igual a zero.
Vamos ver se podemos
usar isto em qualquer
tipo de situação para
calcular autovalores.
Vamos fazer uma dois
por dois simples,
uma R dois.
Vamos dizer que A é igual a
matriz um, dois e quatro, três.
E eu quero encontrar os
autovalores de A.
Então se lambda é um
autovalor de A, isto aqui
nos diz que o determinante
de lambda vezes a matriz identidade,
assim teremos a matriz
identidade em R dois.
Então lambda vezes um, zero, zero, um
menos A, um, dois, quatro, três,
será igual a zero.
Bem, isto será igual a?
Isto exatamente aqui é o determinante.
Lambda vezes isto é igual a
lambda vezes todos estes termos.
Assim, lambda vezes um é lambda,
lambda vezes zero é zero,
lambda vezes zero é zero,
lambda vezes um é lambda.
E disto nós subtraímos A.
Deste modo, você tem um, dois,
quatro, três, e isto é igual a zero.
E então esta matriz, ou esta
diferença entre matrizes,
é apenas para manter
o determinante.
Este é o determinante.
O primeiro termo será
lambda menos um.
O segundo termo é zero menos
dois, então é apenas menos dois.
O terceiro termo é zero menos
quatro, então é apenas menos quatro.
E então o quatro termo
é lambda menos três,
como isto aqui.
Vamos pegar um atalho
para ver o que acontece.
Os termos ao longo da diagonal,
todos se tornaram negativos,
certo?
Tornamos tudo negativo.
E nos termos ao redor da diagonal,
colocamos um lambda na frente.
Isto é basicamente o subproduto
desta expressão aqui.
Assim, qual é o determinante
desta matriz dois por dois?
Bem, o determinante desta matriz
é isto vezes aquilo, menos
isto vezes aquilo.
Deste modo, temos lambda menos
um, vezes lambda menos três,
menos estes dois caras
multiplicados um pelo outro.
Menos dois vezes menos quatro
é igual a mais oito, menos oito.
Este é o determinante desta
matriz aqui ou desta
matriz aqui, que é
simplificada desta matriz.
E isto tem que ser igual a zero.
E o motivo pelo qual isto
deve ser igual a zero é
que, como vimos antes,
esta matriz tem um
espaço nulo não-trivial.
E porque ela tem um
espaço nulo não-trivial,
não pode ser invertível e
seu determinante tem
que ser igual a zero.
Agora temos uma interessante
equação polinomial aqui.
Podemos multiplicá-la para fora.
O que encontramos?
Vamos multiplicá-la.
Temos lambda ao quadrado, certo,
menos três lambda, menos lambda
mais três, menos oito,
que é igual a zero.
Ou lambda ao quadrado, menos
quatro lambda, menos
cinco, que é igual a zero.
E apenas se você quiser conhecer
alguma terminologia,
esta expressão aqui é conhecida
como a polinomial característica.
Só um pouco de terminologia polinomial.
Mas se quisermos encontrar
os autovalores para A,
temos que solucionar isto aqui.
Este é um problema quadrático básico.
E é realmente fatorável.
Vamos ver, dois números e
você tem o produto menos cinco,
quando você os soma,
você tem menos quatro.
Menos cinco e mais um, então
você tem lambda menos cinco,
vezes lambda mais um,
que é igual a zero, certo?
Menos cinco vezes um é menos cinco,
e então menos cinco lambda mais um
lambda é igual a
menos quatro lambda.
Assim, as duas soluções da nossa
equação característica
são definidas como zero, nosso
polinomial característico,
são lambda igual a cinco ou
lambda igual a menos um.
Deste modo, usando a informação
que nós provamos a nós mesmos
no último vídeo, somos
capazes de calcular que
os dois autovalores de A são
lambda igual a cinco e lambda
igual a menos um.
Isto resolve apenas
parte do problema, certo?
Estamos procurando
por autovalores e
autovetores, certo?
Sabemos que esta equação pode
ser satisfeita com os lambdas
iguais a cinco ou a menos um.
Conhecemos os autovalores, mas
ainda temos que determinar
os autovetores reais.
É isto que nós faremos
no próximo vídeo.
[Legendado por Raiza de Souza]