Što je Zenonov paradoks dihotomije? - Colm Kelleher

Pogledajte cijelu lekciju na: http://ed.ted.com/lessons/what-is-zeno-s-dichotomy-paradox-colm-kelleher

Možete li ikada otputovati od jednog mjesta do drugog? Antički grčki filozof Zenon iz Eleje ponudio je uvjerljiv argument da je sve kretanje nemoguće - no gdje je greška u njegovoj logici? Colm Kelleher ilustrira kako razriješiti Zenonov paradoks dihotomije.

Lekcija: Colm Kelleher, animacija: Buzzco Associates, inc.

Ovo je Zenon iz Eleje,

antički grčki filozof

slavan po brojnim paradoksima
koje je smislio,

argumentima koji djeluju

logični, no čija je konkluzija
apsurdna ili kontradiktorna.

Više od 2000 godina,

Zenonove zagonetke inspirirale su

matematičare i filozofe

da bolje razumiju prirodu beskonačnosti.

Jedan od najpoznatijih Zenonovih

problema zove se paradoks dihotomije,

što na starom Grčkom znači
"paradoks dijeljenja na dva dijela".

Ide otprilike ovako:

Poslije dugog dana
sjedenja i razmišljanja,

Zenon odluči prošetati
od svoje kuće od parka.

Svjež zrak razbistruje mu um

i pomaže kako bi bolje mislio.

Kako bi došao do parka,

prvo mora doći na pola puta do parka.

Ovaj dio njegovog puta

uzima neku konačnu količinu vremena.

Jednom kada dođe do polovice,

treba prehodati pola
preostale udaljenosti.

Ponovno, ovo uzima
određenu količinu vremena.

Jednom kada dođe do tamo,
još treba prehodati

pola preostale udaljenosti,

što opet uzima neku
konačnu količinu vremena.

Ovo se ponavlja ponovno
i ponovno i ponovno.

Možete vidjeti da ovako
možemo nastaviti u nedogled,

dijeliti preostalu udaljenost

na manje i manje dijelove,

za prijelaz svakog od kojih
je potrebno neko konačno vrijeme.

Pa, koliko dugo treba
Zenonu da dođe do parka?

Kako bi to saznali,
trebate zbrojiti vremena

svih dijelova putovanja.

Problem je to što postoji beskonačno
mnogo tih konačno velikih dijelova.

Stoga, nebi li ukupno vrijeme
trebalo biti beskonačnost?

Ovaj argument je, usput rečeno,
posve opći.

Kaže da bi putovanje od jedne
do druge lokacije

trebalo trajati beskonačno dugo.

Drugim riječima, kaže da je
svako kretanje nemoguće.

Ovakva konkluzija je očito apsurdna,

no gdje je pogreška u logici?

Kako bi ga riješili,

paradoks možemo pretvoriti
u matematički problem.

Pretpostavimo da je Zenonova kuća
udaljena milju od parka

i da Zenon hoda
brzinom od jedne milje na sat.

Zdravi razum kaže nam da bi
potrebno vrijeme

trebalo biti sat vremena.

No, pogledajmo stvari s
Zenonove točke gledišta

i podijelimo putovanje na dijelove.

Prva polovica putovanja traje pola sata,

sljedeći dio traje četvrt sata,

a treći dio traje osminu sata,

i tako dalje.

Zbrajajući sve ovo vrijeme,

dobivamo niz koji izgleda ovako.

Zenon bi mogao reći,

"s obzirom da imamo
beskonačno mnogo uvjeta"

na desnoj strani jednadžbe,

a svaki individualni uvjet je konačan,

zbroj bi trebao biti
jednak beskonačnosti, zar ne?"

Ovo je problem sa Zenonovim argumentom.

Kao što su matematičari od tada shvatili,

moguće je zbrojiti beskonačno
mnogo konačnih uvjeta

i ipak dobiti konačni odgovor.

"Kako?", pitate.

Pa, razmislimo o tome ovako.

Počnimo s kvadratom površine jednog metra.

Sada prerežimo kvadrat napola,

a onda preostalu polovicu
prerežimo napola,

i tako dalje.

Dok ovo radimo,

vodimo računa o površinama dijelova.

Prvo rezanje stvara dva dijela,

svaki površine pola metra.

Sljedeće rezanje dijeli
jednu od te dvije polovice

napola, i tako dalje.

No, bez obzira na to
koliko puta prerežemo kvadrate,

ukupna površina je i dalje
zbroj površina svih dijelova.

Sada možemo vidjeti zašto
smo izabrali baš ovaj način

dijeljenja kvadrata.

Dobili smo isti beskonačni niz

kao što smo imali kod vremena
Zenonovog putovanja.

Kako konsturiramo sve više
plavih dijelova,

matematičkim žargonom rečeno,

kako uzimamo granicu
jer n teži beskonačnosti,

cijeli kvadrat postaje pokriven plavim.

No površina kvadrata je
samo jedna jedinica,

i tako beskonačni zbroj
mora biti jednak jedan.

Sada možemo vidjeti

kako je paradoks Zenonovog
putovanja razriješen.

Ne samo da beskonačni
niz daje konačni zbroj,

već je taj konačni zbroj isti onaj

za kojeg nam zdravi razum
kaže da je točan odgovor.

Zenonov put traje jedan sat.