Ovo je Zenon iz Eleje,
antički grčki filozof
slavan po brojnim paradoksima koje je smislio,
argumentima koji djeluju
logični, no čija je konkluzija apsurdna ili kontradiktorna.
Više od 2000 godina,
Zenonove zagonetke inspirirale su
matematičare i filozofe
da bolje razumiju prirodu beskonačnosti.
Jedan od najpoznatijih Zenonovih
problema zove se paradoks dihotomije,
što na starom Grčkom znači "paradoks dijeljenja na dva dijela".
Ide otprilike ovako:
Poslije dugog dana sjedenja i razmišljanja,
Zenon odluči prošetati od svoje kuće od parka.
Svjež zrak razbistruje mu um
i pomaže kako bi bolje mislio.
Kako bi došao do parka,
prvo mora doći na pola puta do parka.
Ovaj dio njegovog puta
uzima neku konačnu količinu vremena.
Jednom kada dođe do polovice,
treba prehodati pola preostale udaljenosti.
Ponovno, ovo uzima određenu količinu vremena.
Jednom kada dođe do tamo, još treba prehodati
pola preostale udaljenosti,
što opet uzima neku konačnu količinu vremena.
Ovo se ponavlja ponovno i ponovno i ponovno.
Možete vidjeti da ovako možemo nastaviti u nedogled,
dijeliti preostalu udaljenost
na manje i manje dijelove,
za prijelaz svakog od kojih je potrebno neko konačno vrijeme.
Pa, koliko dugo treba Zenonu da dođe do parka?
Kako bi to saznali, trebate zbrojiti vremena
svih dijelova putovanja.
Problem je to što postoji beskonačno mnogo tih konačno velikih dijelova.
Stoga, nebi li ukupno vrijeme trebalo biti beskonačnost?
Ovaj argument je, usput rečeno, posve opći.
Kaže da bi putovanje od jedne do druge lokacije
trebalo trajati beskonačno dugo.
Drugim riječima, kaže da je svako kretanje nemoguće.
Ovakva konkluzija je očito apsurdna,
no gdje je pogreška u logici?
Kako bi ga riješili,
paradoks možemo pretvoriti u matematički problem.
Pretpostavimo da je Zenonova kuća udaljena milju od parka
i da Zenon hoda brzinom od jedne milje na sat.
Zdravi razum kaže nam da bi potrebno vrijeme
trebalo biti sat vremena.
No, pogledajmo stvari s Zenonove točke gledišta
i podijelimo putovanje na dijelove.
Prva polovica putovanja traje pola sata,
sljedeći dio traje četvrt sata,
a treći dio traje osminu sata,
i tako dalje.
Zbrajajući sve ovo vrijeme,
dobivamo niz koji izgleda ovako.
Zenon bi mogao reći,
"s obzirom da imamo beskonačno mnogo uvjeta"
na desnoj strani jednadžbe,
a svaki individualni uvjet je konačan,
zbroj bi trebao biti jednak beskonačnosti, zar ne?"
Ovo je problem sa Zenonovim argumentom.
Kao što su matematičari od tada shvatili,
moguće je zbrojiti beskonačno mnogo konačnih uvjeta
i ipak dobiti konačni odgovor.
"Kako?", pitate.
Pa, razmislimo o tome ovako.
Počnimo s kvadratom površine jednog metra.
Sada prerežimo kvadrat napola,
a onda preostalu polovicu prerežimo napola,
i tako dalje.
Dok ovo radimo,
vodimo računa o površinama dijelova.
Prvo rezanje stvara dva dijela,
svaki površine pola metra.
Sljedeće rezanje dijeli jednu od te dvije polovice
napola, i tako dalje.
No, bez obzira na to koliko puta prerežemo kvadrate,
ukupna površina je i dalje zbroj površina svih dijelova.
Sada možemo vidjeti zašto smo izabrali baš ovaj način
dijeljenja kvadrata.
Dobili smo isti beskonačni niz
kao što smo imali kod vremena Zenonovog putovanja.
Kako konsturiramo sve više plavih dijelova,
matematičkim žargonom rečeno,
kako uzimamo granicu jer n teži beskonačnosti,
cijeli kvadrat postaje pokriven plavim.
No površina kvadrata je samo jedna jedinica,
i tako beskonačni zbroj mora biti jednak jedan.
Sada možemo vidjeti
kako je paradoks Zenonovog putovanja razriješen.
Ne samo da beskonačni niz daje konačni zbroj,
već je taj konačni zbroj isti onaj
za kojeg nam zdravi razum kaže da je točan odgovor.
Zenonov put traje jedan sat.