WEBVTT

00:00:15.096 --> 00:00:16.871
Ovo je Zenon iz Eleje,

00:00:16.871 --> 00:00:18.377
antički grčki filozof

00:00:18.377 --> 00:00:21.042
slavan po brojnim paradoksima
koje je smislio,

00:00:21.042 --> 00:00:22.560
argumentima koji djeluju

00:00:22.560 --> 00:00:25.779
logični, no čija je konkluzija
apsurdna ili kontradiktorna.

00:00:25.779 --> 00:00:27.183
Više od 2000 godina,

00:00:27.183 --> 00:00:29.694
Zenonove zagonetke inspirirale su

00:00:29.694 --> 00:00:31.310
matematičare i filozofe

00:00:31.310 --> 00:00:33.746
da bolje razumiju prirodu beskonačnosti.

00:00:33.746 --> 00:00:35.525
Jedan od najpoznatijih Zenonovih

00:00:35.525 --> 00:00:37.741
problema zove se paradoks dihotomije,

00:00:37.741 --> 00:00:41.527
što na starom Grčkom znači
"paradoks dijeljenja na dva dijela".

00:00:41.527 --> 00:00:43.315
Ide otprilike ovako:

00:00:43.315 --> 00:00:46.154
Poslije dugog dana
sjedenja i razmišljanja,

00:00:46.154 --> 00:00:48.950
Zenon odluči prošetati
od svoje kuće od parka.

00:00:48.950 --> 00:00:50.397
Svjež zrak razbistruje mu um

00:00:50.397 --> 00:00:51.920
i pomaže kako bi bolje mislio.

00:00:51.920 --> 00:00:53.075
Kako bi došao do parka,

00:00:53.075 --> 00:00:55.428
prvo mora doći na pola puta do parka.

00:00:55.428 --> 00:00:56.601
Ovaj dio njegovog puta

00:00:56.601 --> 00:00:58.443
uzima neku konačnu količinu vremena.

00:00:58.443 --> 00:01:00.452
Jednom kada dođe do polovice,

00:01:00.452 --> 00:01:02.841
treba prehodati pola
preostale udaljenosti.

00:01:02.841 --> 00:01:05.868
Ponovno, ovo uzima
određenu količinu vremena.

00:01:05.868 --> 00:01:08.140
Jednom kada dođe do tamo,
još treba prehodati

00:01:08.140 --> 00:01:09.882
pola preostale udaljenosti,

00:01:09.882 --> 00:01:12.371
što opet uzima neku
konačnu količinu vremena.

00:01:12.371 --> 00:01:15.522
Ovo se ponavlja ponovno
i ponovno i ponovno.

00:01:15.522 --> 00:01:18.195
Možete vidjeti da ovako
možemo nastaviti u nedogled,

00:01:18.195 --> 00:01:19.857
dijeliti preostalu udaljenost

00:01:19.857 --> 00:01:21.772
na manje i manje dijelove,

00:01:21.772 --> 00:01:25.278
za prijelaz svakog od kojih
je potrebno neko konačno vrijeme.

00:01:25.278 --> 00:01:27.958
Pa, koliko dugo treba
Zenonu da dođe do parka?

00:01:27.958 --> 00:01:30.317
Kako bi to saznali,
trebate zbrojiti vremena

00:01:30.317 --> 00:01:32.284
svih dijelova putovanja.

00:01:32.284 --> 00:01:36.616
Problem je to što postoji beskonačno
mnogo tih konačno velikih dijelova.

00:01:36.616 --> 00:01:39.750
Stoga, nebi li ukupno vrijeme
trebalo biti beskonačnost?

00:01:39.750 --> 00:01:42.548
Ovaj argument je, usput rečeno,
posve opći.

00:01:42.548 --> 00:01:45.092
Kaže da bi putovanje od jedne
do druge lokacije

00:01:45.092 --> 00:01:47.254
trebalo trajati beskonačno dugo.

00:01:47.254 --> 00:01:51.006
Drugim riječima, kaže da je
svako kretanje nemoguće.

00:01:51.006 --> 00:01:52.785
Ovakva konkluzija je očito apsurdna,

00:01:52.785 --> 00:01:54.784
no gdje je pogreška u logici?

00:01:54.784 --> 00:01:55.966
Kako bi ga riješili,

00:01:55.966 --> 00:01:58.731
paradoks možemo pretvoriti
u matematički problem.

00:01:58.731 --> 00:02:01.618
Pretpostavimo da je Zenonova kuća
udaljena milju od parka

00:02:01.618 --> 00:02:04.341
i da Zenon hoda
brzinom od jedne milje na sat.

00:02:04.341 --> 00:02:06.692
Zdravi razum kaže nam da bi
potrebno vrijeme

00:02:06.692 --> 00:02:08.205
trebalo biti sat vremena.

00:02:08.205 --> 00:02:10.867
No, pogledajmo stvari s
Zenonove točke gledišta

00:02:10.867 --> 00:02:13.196
i podijelimo putovanje na dijelove.

00:02:13.196 --> 00:02:15.656
Prva polovica putovanja traje pola sata,

00:02:15.656 --> 00:02:17.782
sljedeći dio traje četvrt sata,

00:02:17.782 --> 00:02:20.064
a treći dio traje osminu sata,

00:02:20.064 --> 00:02:20.969
i tako dalje.

00:02:20.969 --> 00:02:22.266
Zbrajajući sve ovo vrijeme,

00:02:22.266 --> 00:02:24.372
dobivamo niz koji izgleda ovako.

00:02:24.372 --> 00:02:25.624
Zenon bi mogao reći,

00:02:25.624 --> 00:02:27.964
"s obzirom da imamo
beskonačno mnogo uvjeta"

00:02:27.964 --> 00:02:29.621
na desnoj strani jednadžbe,

00:02:29.621 --> 00:02:31.883
a svaki individualni uvjet je konačan,

00:02:31.883 --> 00:02:34.518
zbroj bi trebao biti
jednak beskonačnosti, zar ne?"

00:02:34.518 --> 00:02:36.670
Ovo je problem sa Zenonovim argumentom.

00:02:36.670 --> 00:02:38.855
Kao što su matematičari od tada shvatili,

00:02:38.855 --> 00:02:42.618
moguće je zbrojiti beskonačno
mnogo konačnih uvjeta

00:02:42.618 --> 00:02:44.814
i ipak dobiti konačni odgovor.

00:02:44.814 --> 00:02:45.989
"Kako?", pitate.

00:02:45.989 --> 00:02:47.486
Pa, razmislimo o tome ovako.

00:02:47.486 --> 00:02:50.390
Počnimo s kvadratom površine jednog metra.

00:02:50.390 --> 00:02:52.528
Sada prerežimo kvadrat napola,

00:02:52.528 --> 00:02:54.909
a onda preostalu polovicu
prerežimo napola,

00:02:54.909 --> 00:02:56.172
i tako dalje.

00:02:56.172 --> 00:02:57.239
Dok ovo radimo,

00:02:57.239 --> 00:03:00.380
vodimo računa o površinama dijelova.

00:03:00.380 --> 00:03:02.169
Prvo rezanje stvara dva dijela,

00:03:02.169 --> 00:03:04.028
svaki površine pola metra.

00:03:04.028 --> 00:03:06.545
Sljedeće rezanje dijeli
jednu od te dvije polovice

00:03:06.545 --> 00:03:07.796
napola, i tako dalje.

00:03:07.796 --> 00:03:10.227
No, bez obzira na to
koliko puta prerežemo kvadrate,

00:03:10.227 --> 00:03:14.814
ukupna površina je i dalje
zbroj površina svih dijelova.

00:03:14.814 --> 00:03:17.442
Sada možemo vidjeti zašto
smo izabrali baš ovaj način

00:03:17.442 --> 00:03:18.971
dijeljenja kvadrata.

00:03:18.971 --> 00:03:20.888
Dobili smo isti beskonačni niz

00:03:20.888 --> 00:03:23.356
kao što smo imali kod vremena
Zenonovog putovanja.

00:03:23.356 --> 00:03:25.791
Kako konsturiramo sve više
plavih dijelova,

00:03:25.791 --> 00:03:27.314
matematičkim žargonom rečeno,

00:03:27.314 --> 00:03:30.742
kako uzimamo granicu
jer n teži beskonačnosti,

00:03:30.742 --> 00:03:33.356
cijeli kvadrat postaje pokriven plavim.

00:03:33.356 --> 00:03:35.427
No površina kvadrata je
samo jedna jedinica,

00:03:35.427 --> 00:03:38.700
i tako beskonačni zbroj
mora biti jednak jedan.

00:03:38.700 --> 00:03:39.754
Sada možemo vidjeti

00:03:39.754 --> 00:03:42.370
kako je paradoks Zenonovog
putovanja razriješen.

00:03:42.370 --> 00:03:45.713
Ne samo da beskonačni
niz daje konačni zbroj,

00:03:45.713 --> 00:03:47.745
već je taj konačni zbroj isti onaj

00:03:47.745 --> 00:03:50.172
za kojeg nam zdravi razum
kaže da je točan odgovor.

00:03:50.172 --> 00:03:52.877
Zenonov put traje jedan sat.