0:00:15.096,0:00:16.871
Ovo je Zenon iz Eleje,

0:00:16.871,0:00:18.377
antički grčki filozof

0:00:18.377,0:00:21.042
slavan po brojnim paradoksima[br]koje je smislio,

0:00:21.042,0:00:22.560
argumentima koji djeluju

0:00:22.560,0:00:25.779
logični, no čija je konkluzija[br]apsurdna ili kontradiktorna.

0:00:25.779,0:00:27.183
Više od 2000 godina,

0:00:27.183,0:00:29.694
Zenonove zagonetke inspirirale su

0:00:29.694,0:00:31.310
matematičare i filozofe

0:00:31.310,0:00:33.746
da bolje razumiju prirodu beskonačnosti.

0:00:33.746,0:00:35.525
Jedan od najpoznatijih Zenonovih

0:00:35.525,0:00:37.741
problema zove se paradoks dihotomije,

0:00:37.741,0:00:41.527
što na starom Grčkom znači[br]"paradoks dijeljenja na dva dijela".

0:00:41.527,0:00:43.315
Ide otprilike ovako:

0:00:43.315,0:00:46.154
Poslije dugog dana[br]sjedenja i razmišljanja,

0:00:46.154,0:00:48.950
Zenon odluči prošetati[br]od svoje kuće od parka.

0:00:48.950,0:00:50.397
Svjež zrak razbistruje mu um

0:00:50.397,0:00:51.920
i pomaže kako bi bolje mislio.

0:00:51.920,0:00:53.075
Kako bi došao do parka,

0:00:53.075,0:00:55.428
prvo mora doći na pola puta do parka.

0:00:55.428,0:00:56.601
Ovaj dio njegovog puta

0:00:56.601,0:00:58.443
uzima neku konačnu količinu vremena.

0:00:58.443,0:01:00.452
Jednom kada dođe do polovice,

0:01:00.452,0:01:02.841
treba prehodati pola[br]preostale udaljenosti.

0:01:02.841,0:01:05.868
Ponovno, ovo uzima[br]određenu količinu vremena.

0:01:05.868,0:01:08.140
Jednom kada dođe do tamo,[br]još treba prehodati

0:01:08.140,0:01:09.882
pola preostale udaljenosti,

0:01:09.882,0:01:12.371
što opet uzima neku[br]konačnu količinu vremena.

0:01:12.371,0:01:15.522
Ovo se ponavlja ponovno[br]i ponovno i ponovno.

0:01:15.522,0:01:18.195
Možete vidjeti da ovako[br]možemo nastaviti u nedogled,

0:01:18.195,0:01:19.857
dijeliti preostalu udaljenost

0:01:19.857,0:01:21.772
na manje i manje dijelove,

0:01:21.772,0:01:25.278
za prijelaz svakog od kojih[br]je potrebno neko konačno vrijeme.

0:01:25.278,0:01:27.958
Pa, koliko dugo treba[br]Zenonu da dođe do parka?

0:01:27.958,0:01:30.317
Kako bi to saznali,[br]trebate zbrojiti vremena

0:01:30.317,0:01:32.284
svih dijelova putovanja.

0:01:32.284,0:01:36.616
Problem je to što postoji beskonačno[br]mnogo tih konačno velikih dijelova.

0:01:36.616,0:01:39.750
Stoga, nebi li ukupno vrijeme[br]trebalo biti beskonačnost?

0:01:39.750,0:01:42.548
Ovaj argument je, usput rečeno,[br]posve opći.

0:01:42.548,0:01:45.092
Kaže da bi putovanje od jedne[br]do druge lokacije

0:01:45.092,0:01:47.254
trebalo trajati beskonačno dugo.

0:01:47.254,0:01:51.006
Drugim riječima, kaže da je[br]svako kretanje nemoguće.

0:01:51.006,0:01:52.785
Ovakva konkluzija je očito apsurdna,

0:01:52.785,0:01:54.784
no gdje je pogreška u logici?

0:01:54.784,0:01:55.966
Kako bi ga riješili,

0:01:55.966,0:01:58.731
paradoks možemo pretvoriti[br]u matematički problem.

0:01:58.731,0:02:01.618
Pretpostavimo da je Zenonova kuća[br]udaljena milju od parka

0:02:01.618,0:02:04.341
i da Zenon hoda[br]brzinom od jedne milje na sat.

0:02:04.341,0:02:06.692
Zdravi razum kaže nam da bi[br]potrebno vrijeme

0:02:06.692,0:02:08.205
trebalo biti sat vremena.

0:02:08.205,0:02:10.867
No, pogledajmo stvari s[br]Zenonove točke gledišta

0:02:10.867,0:02:13.196
i podijelimo putovanje na dijelove.

0:02:13.196,0:02:15.656
Prva polovica putovanja traje pola sata,

0:02:15.656,0:02:17.782
sljedeći dio traje četvrt sata,

0:02:17.782,0:02:20.064
a treći dio traje osminu sata,

0:02:20.064,0:02:20.969
i tako dalje.

0:02:20.969,0:02:22.266
Zbrajajući sve ovo vrijeme,

0:02:22.266,0:02:24.372
dobivamo niz koji izgleda ovako.

0:02:24.372,0:02:25.624
Zenon bi mogao reći,

0:02:25.624,0:02:27.964
"s obzirom da imamo[br]beskonačno mnogo uvjeta"

0:02:27.964,0:02:29.621
na desnoj strani jednadžbe,

0:02:29.621,0:02:31.883
a svaki individualni uvjet je konačan,

0:02:31.883,0:02:34.518
zbroj bi trebao biti[br]jednak beskonačnosti, zar ne?"

0:02:34.518,0:02:36.670
Ovo je problem sa Zenonovim argumentom.

0:02:36.670,0:02:38.855
Kao što su matematičari od tada shvatili,

0:02:38.855,0:02:42.618
moguće je zbrojiti beskonačno[br]mnogo konačnih uvjeta

0:02:42.618,0:02:44.814
i ipak dobiti konačni odgovor.

0:02:44.814,0:02:45.989
"Kako?", pitate.

0:02:45.989,0:02:47.486
Pa, razmislimo o tome ovako.

0:02:47.486,0:02:50.390
Počnimo s kvadratom površine jednog metra.

0:02:50.390,0:02:52.528
Sada prerežimo kvadrat napola,

0:02:52.528,0:02:54.909
a onda preostalu polovicu[br]prerežimo napola,

0:02:54.909,0:02:56.172
i tako dalje.

0:02:56.172,0:02:57.239
Dok ovo radimo,

0:02:57.239,0:03:00.380
vodimo računa o površinama dijelova.

0:03:00.380,0:03:02.169
Prvo rezanje stvara dva dijela,

0:03:02.169,0:03:04.028
svaki površine pola metra.

0:03:04.028,0:03:06.545
Sljedeće rezanje dijeli[br]jednu od te dvije polovice

0:03:06.545,0:03:07.796
napola, i tako dalje.

0:03:07.796,0:03:10.227
No, bez obzira na to[br]koliko puta prerežemo kvadrate,

0:03:10.227,0:03:14.814
ukupna površina je i dalje[br]zbroj površina svih dijelova.

0:03:14.814,0:03:17.442
Sada možemo vidjeti zašto[br]smo izabrali baš ovaj način

0:03:17.442,0:03:18.971
dijeljenja kvadrata.

0:03:18.971,0:03:20.888
Dobili smo isti beskonačni niz

0:03:20.888,0:03:23.356
kao što smo imali kod vremena[br]Zenonovog putovanja.

0:03:23.356,0:03:25.791
Kako konsturiramo sve više[br]plavih dijelova,

0:03:25.791,0:03:27.314
matematičkim žargonom rečeno,

0:03:27.314,0:03:30.742
kako uzimamo granicu[br]jer n teži beskonačnosti,

0:03:30.742,0:03:33.356
cijeli kvadrat postaje pokriven plavim.

0:03:33.356,0:03:35.427
No površina kvadrata je[br]samo jedna jedinica,

0:03:35.427,0:03:38.700
i tako beskonačni zbroj[br]mora biti jednak jedan.

0:03:38.700,0:03:39.754
Sada možemo vidjeti

0:03:39.754,0:03:42.370
kako je paradoks Zenonovog[br]putovanja razriješen.

0:03:42.370,0:03:45.713
Ne samo da beskonačni[br]niz daje konačni zbroj,

0:03:45.713,0:03:47.745
već je taj konačni zbroj isti onaj

0:03:47.745,0:03:50.172
za kojeg nam zdravi razum[br]kaže da je točan odgovor.

0:03:50.172,0:03:52.877
Zenonov put traje jedan sat.