1
00:00:15,096 --> 00:00:16,871
Ovo je Zenon iz Eleje,

2
00:00:16,871 --> 00:00:18,377
antički grčki filozof

3
00:00:18,377 --> 00:00:21,042
slavan po brojnim paradoksima
koje je smislio,

4
00:00:21,042 --> 00:00:22,560
argumentima koji djeluju

5
00:00:22,560 --> 00:00:25,779
logični, no čija je konkluzija
apsurdna ili kontradiktorna.

6
00:00:25,779 --> 00:00:27,183
Više od 2000 godina,

7
00:00:27,183 --> 00:00:29,694
Zenonove zagonetke inspirirale su

8
00:00:29,694 --> 00:00:31,310
matematičare i filozofe

9
00:00:31,310 --> 00:00:33,746
da bolje razumiju prirodu beskonačnosti.

10
00:00:33,746 --> 00:00:35,525
Jedan od najpoznatijih Zenonovih

11
00:00:35,525 --> 00:00:37,741
problema zove se paradoks dihotomije,

12
00:00:37,741 --> 00:00:41,527
što na starom Grčkom znači
"paradoks dijeljenja na dva dijela".

13
00:00:41,527 --> 00:00:43,315
Ide otprilike ovako:

14
00:00:43,315 --> 00:00:46,154
Poslije dugog dana
sjedenja i razmišljanja,

15
00:00:46,154 --> 00:00:48,950
Zenon odluči prošetati
od svoje kuće od parka.

16
00:00:48,950 --> 00:00:50,397
Svjež zrak razbistruje mu um

17
00:00:50,397 --> 00:00:51,920
i pomaže kako bi bolje mislio.

18
00:00:51,920 --> 00:00:53,075
Kako bi došao do parka,

19
00:00:53,075 --> 00:00:55,428
prvo mora doći na pola puta do parka.

20
00:00:55,428 --> 00:00:56,601
Ovaj dio njegovog puta

21
00:00:56,601 --> 00:00:58,443
uzima neku konačnu količinu vremena.

22
00:00:58,443 --> 00:01:00,452
Jednom kada dođe do polovice,

23
00:01:00,452 --> 00:01:02,841
treba prehodati pola
preostale udaljenosti.

24
00:01:02,841 --> 00:01:05,868
Ponovno, ovo uzima
određenu količinu vremena.

25
00:01:05,868 --> 00:01:08,140
Jednom kada dođe do tamo,
još treba prehodati

26
00:01:08,140 --> 00:01:09,882
pola preostale udaljenosti,

27
00:01:09,882 --> 00:01:12,371
što opet uzima neku
konačnu količinu vremena.

28
00:01:12,371 --> 00:01:15,522
Ovo se ponavlja ponovno
i ponovno i ponovno.

29
00:01:15,522 --> 00:01:18,195
Možete vidjeti da ovako
možemo nastaviti u nedogled,

30
00:01:18,195 --> 00:01:19,857
dijeliti preostalu udaljenost

31
00:01:19,857 --> 00:01:21,772
na manje i manje dijelove,

32
00:01:21,772 --> 00:01:25,278
za prijelaz svakog od kojih
je potrebno neko konačno vrijeme.

33
00:01:25,278 --> 00:01:27,958
Pa, koliko dugo treba
Zenonu da dođe do parka?

34
00:01:27,958 --> 00:01:30,317
Kako bi to saznali,
trebate zbrojiti vremena

35
00:01:30,317 --> 00:01:32,284
svih dijelova putovanja.

36
00:01:32,284 --> 00:01:36,616
Problem je to što postoji beskonačno
mnogo tih konačno velikih dijelova.

37
00:01:36,616 --> 00:01:39,750
Stoga, nebi li ukupno vrijeme
trebalo biti beskonačnost?

38
00:01:39,750 --> 00:01:42,548
Ovaj argument je, usput rečeno,
posve opći.

39
00:01:42,548 --> 00:01:45,092
Kaže da bi putovanje od jedne
do druge lokacije

40
00:01:45,092 --> 00:01:47,254
trebalo trajati beskonačno dugo.

41
00:01:47,254 --> 00:01:51,006
Drugim riječima, kaže da je
svako kretanje nemoguće.

42
00:01:51,006 --> 00:01:52,785
Ovakva konkluzija je očito apsurdna,

43
00:01:52,785 --> 00:01:54,784
no gdje je pogreška u logici?

44
00:01:54,784 --> 00:01:55,966
Kako bi ga riješili,

45
00:01:55,966 --> 00:01:58,731
paradoks možemo pretvoriti
u matematički problem.

46
00:01:58,731 --> 00:02:01,618
Pretpostavimo da je Zenonova kuća
udaljena milju od parka

47
00:02:01,618 --> 00:02:04,341
i da Zenon hoda
brzinom od jedne milje na sat.

48
00:02:04,341 --> 00:02:06,692
Zdravi razum kaže nam da bi
potrebno vrijeme

49
00:02:06,692 --> 00:02:08,205
trebalo biti sat vremena.

50
00:02:08,205 --> 00:02:10,867
No, pogledajmo stvari s
Zenonove točke gledišta

51
00:02:10,867 --> 00:02:13,196
i podijelimo putovanje na dijelove.

52
00:02:13,196 --> 00:02:15,656
Prva polovica putovanja traje pola sata,

53
00:02:15,656 --> 00:02:17,782
sljedeći dio traje četvrt sata,

54
00:02:17,782 --> 00:02:20,064
a treći dio traje osminu sata,

55
00:02:20,064 --> 00:02:20,969
i tako dalje.

56
00:02:20,969 --> 00:02:22,266
Zbrajajući sve ovo vrijeme,

57
00:02:22,266 --> 00:02:24,372
dobivamo niz koji izgleda ovako.

58
00:02:24,372 --> 00:02:25,624
Zenon bi mogao reći,

59
00:02:25,624 --> 00:02:27,964
"s obzirom da imamo
beskonačno mnogo uvjeta"

60
00:02:27,964 --> 00:02:29,621
na desnoj strani jednadžbe,

61
00:02:29,621 --> 00:02:31,883
a svaki individualni uvjet je konačan,

62
00:02:31,883 --> 00:02:34,518
zbroj bi trebao biti
jednak beskonačnosti, zar ne?"

63
00:02:34,518 --> 00:02:36,670
Ovo je problem sa Zenonovim argumentom.

64
00:02:36,670 --> 00:02:38,855
Kao što su matematičari od tada shvatili,

65
00:02:38,855 --> 00:02:42,618
moguće je zbrojiti beskonačno
mnogo konačnih uvjeta

66
00:02:42,618 --> 00:02:44,814
i ipak dobiti konačni odgovor.

67
00:02:44,814 --> 00:02:45,989
"Kako?", pitate.

68
00:02:45,989 --> 00:02:47,486
Pa, razmislimo o tome ovako.

69
00:02:47,486 --> 00:02:50,390
Počnimo s kvadratom površine jednog metra.

70
00:02:50,390 --> 00:02:52,528
Sada prerežimo kvadrat napola,

71
00:02:52,528 --> 00:02:54,909
a onda preostalu polovicu
prerežimo napola,

72
00:02:54,909 --> 00:02:56,172
i tako dalje.

73
00:02:56,172 --> 00:02:57,239
Dok ovo radimo,

74
00:02:57,239 --> 00:03:00,380
vodimo računa o površinama dijelova.

75
00:03:00,380 --> 00:03:02,169
Prvo rezanje stvara dva dijela,

76
00:03:02,169 --> 00:03:04,028
svaki površine pola metra.

77
00:03:04,028 --> 00:03:06,545
Sljedeće rezanje dijeli
jednu od te dvije polovice

78
00:03:06,545 --> 00:03:07,796
napola, i tako dalje.

79
00:03:07,796 --> 00:03:10,227
No, bez obzira na to
koliko puta prerežemo kvadrate,

80
00:03:10,227 --> 00:03:14,814
ukupna površina je i dalje
zbroj površina svih dijelova.

81
00:03:14,814 --> 00:03:17,442
Sada možemo vidjeti zašto
smo izabrali baš ovaj način

82
00:03:17,442 --> 00:03:18,971
dijeljenja kvadrata.

83
00:03:18,971 --> 00:03:20,888
Dobili smo isti beskonačni niz

84
00:03:20,888 --> 00:03:23,356
kao što smo imali kod vremena
Zenonovog putovanja.

85
00:03:23,356 --> 00:03:25,791
Kako konsturiramo sve više
plavih dijelova,

86
00:03:25,791 --> 00:03:27,314
matematičkim žargonom rečeno,

87
00:03:27,314 --> 00:03:30,742
kako uzimamo granicu
jer n teži beskonačnosti,

88
00:03:30,742 --> 00:03:33,356
cijeli kvadrat postaje pokriven plavim.

89
00:03:33,356 --> 00:03:35,427
No površina kvadrata je
samo jedna jedinica,

90
00:03:35,427 --> 00:03:38,700
i tako beskonačni zbroj
mora biti jednak jedan.

91
00:03:38,700 --> 00:03:39,754
Sada možemo vidjeti

92
00:03:39,754 --> 00:03:42,370
kako je paradoks Zenonovog
putovanja razriješen.

93
00:03:42,370 --> 00:03:45,713
Ne samo da beskonačni
niz daje konačni zbroj,

94
00:03:45,713 --> 00:03:47,745
već je taj konačni zbroj isti onaj

95
00:03:47,745 --> 00:03:50,172
za kojeg nam zdravi razum
kaže da je točan odgovor.

96
00:03:50,172 --> 00:03:52,877
Zenonov put traje jedan sat.