Какво е парадоксът с дихотомията на Зенон? - Колм Келхър

Вижте пълният урок на: http://ed.ted.com/lessons/what-is-zeno-s-dichotomy-paradox-colm-kelleher

Може ли някога да пътувате от едно място до друго? Древногръцкият философ Зенон от Елея представя убедителен аргумент, че цялото движение е невъзможно - но къде е грешката в логиката му? Колм Келхър илюстрира как да разрешите парадокса с дихотомията на Зенон.

Урок от Колм Келхър, анимация от Buzzco Associates, inc.

Това е Зенон от Елея,

древногръцки философ,

известен с изобретяването на редица парадокси,

аргументи, които изглеждат логични,

но чието заключение е абсурдно или противоречиво.

Повече от 2000 години,

хитроумните загадки на Зенон вдъхновяват

математици и философи

да разбират по-добре природата на безкрайността.

Един от най-известните проблеми на Зенон

се нарича парадоксът на дихотомията,

което означава, "парадоксът на разделянето на две" на старогръцки.

Той гласи нещо от сорта на:

След дълъг ден прекаран в застояване, мислейки,

Зенон решава да повърви от къщата си до парка.

Свежият въздух избистря ума му

и му помага да мисли по-добре.

За да стигне до парка,

той първо трябва да извърви половината път до парка.

Тази част от пътуването му

отнема някакъв ограничен период от време.

След като стигне до средата на пътя,

той трябва да извърви половината от останалото разстояние.

Отново, това отнема един ограничен период от време.

След като стигне до там, той все още трябва да извърви

половината от разстоянието, което остава,

което отнема още един ограничен период от време.

Това се случва отново и отново, и отново.

Можете да видите, че ние може да продължим да вървим по този начин завинаги,

разделяйки каквото и разстояние е останало

на все по-малки и по-малки части,

всяка от които отнема крайно време за извървяване.

И така, колко време отнема на Зенон да стигне до парка?

Ами за да разберем, трябва да добавим времената

на всички отсечки от пътуването.

Проблемът е, че има безкрайно много от тези крайни по размер части.

Значи, не трябва ли общото време да бъде безкрайност?

Този аргумент, между другото, е съвсем общ.

Той казва, че пътуването от едно място, до всяко друго място

трябва да отнеме един безкраен период от време.

С други думи, той казва, че всяко движение е невъзможно.

Това заключение е очевидно абсурдно,

но къде е недостатъкът в логиката?

За да разрешим парадокса,

е от помощ да превърнем историята в математическа задача.

Нека да предположим, че къщата на Зенон е на 1 миля (1,6 км.) от парка,

и че Зенон ходи с една миля на час.

Нормалната логика ни казва, че времето за пътуване

трябва да бъде един час.

Но, нека да погледнем нещата от гледна точка на Зенон

и да разделим пътуването на части.

Първата половина на пътуването отнема половин час,

следващата част е четвърт час,

третата част отнема една осма от един час,

и така нататък.

Сумирайки всички тези времена,

получаваме поредица, която изглежда така.

"Сега," Зенон може да каже,

"тъй като има безкрайно много членове

от дясната страна на уравнението,

и всеки отделен член е ограничен,

сумата трябва да бъде безкрайност, нали?"

Това е проблемът с аргумента на Зенон.

Както разбрали математиците оттогава,

възможно е да добавите безкрайно много ограничени по размер членове

и пак да получите краен отговор.

"И как?" може да попитате.

Добре, нека да помислим за това по следния начин.

Да започнем с квадрат, който има площ от един метър.

Сега нека да разделим квадрата на половина,

и после да разделим останалата половина на половина,

и така нататък.

Докато правим това,

нека си отбелязваме площите на частите.

Първото разделяне образува две части,

всяка с площ от една втора.

Следващото разрязване разделя една от тези половини на половина,

и така нататък.

Но, без значение колко пъти нарязваме квадратите,

общата площ е все още сумата от площите на всички парчета.

Сега можете да видите защо избрахме този начин

за нарязване на квадрата.

Ние получаваме същата безкрайна поредица,

като тази с времето за пътуването на Зенон.

Като конструираме все повече и повече сини парчета,

ако използваме математическия жаргон,

като вземем границата, като n клони към безкрайност,

целия квадрат става покрит със синьо.

Но площта на квадрата е само една единица,

и така безкрайната сума следва да се равнява на едно.

Ако се върнем към пътуването на Зенон,

сега можем да видим как парадоксът е разрешен.

Не само, че сумата на безкрайната редица дава краен отговор,

но този краен отговор е същият,

който здравият разум ни казва, че е верен.

Пътешествието на Зенон отнема един час.