Udfordrende opgave i trigonometri: trigonometriske værdier og forhold mellem sider

Vi er givet et diagram med flere retvinklede trekanter og bliver bedt om at matche forskellige udtryk med forskellige trigonometriske værdier.

Lær om sammenhængen mellem sinus til en vinkel og cosinus til dens komplementære vinkel, som er den vinkel, der lagt sammen med den første, giver 90°.

Trekanter er ikke altid retvinklede, men når de er, så har de en masse spændende egenskaber. Ikke bare er retvinklede trekanter ret seje i selv, de er grundlaget for nogle meget vigtige ideer i analytisk geometri (afstanden mellem to punkter i rummet) og i trigonometri.

I kurset videregående geometri skal vi lære om transformationer, kongruens, ligedannethed, trigonometri, analytisk geometri og meget mere.

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

Flyt udtrykkene efter deres værdi.

Du kan anbringe et vilkårligt antal kort
i en kategori og have en tom kategori.

Vi har dette diagram

og har vi disse kort med udtryk,
som vi skal sortere efter disse værdier.

Vi skal altså finde ud af,

længden af linjestykke AC
over længden af linjestykke BC.

Hvilke af disse værdier er det lig?

Så skal vi trække det
over til den rette værdi.

For at finde ud af det,
så har jeg allerede gendannet opgaven

på min lille scratchpad eller tavle
eller hvad du vil kalde det.

Her er det samme diagram
bare en smule større.

Her er de udtryk, som vi skal trække
over til de værdier, som vi ser her.

Hvilke værdier er disse udtryk lig med.

Lad os først se på den her.

Længden af linjestykke AC over
længden af linjestykke BC.

Lad os se, hvad AC er.

Længden af linjestykke AC.

AC er lige her.

Denne længde i lilla over
længden af linjestykke BC,

altså over denne længde her.

Det er forholdet mellem
to sider i en retvinklet trekant.

Dette er tydeligvis en retvinklet trekant,
trekant ABC.

Jeg farver den lige, så du kan se,
hvilken trekant jeg mener.

Trekant ABC er hele denne trekant,
som vi skal bruge.

Det er rimeligt at sige,
at forholdet mellem to af siderne

i en retvinklet trekant er lig
sinus til en af dets vinkler.

Og de giver os en af vinklerne her.

De giver os denne vinkel her.

Du siger, men de mærkede blot vinklen.

Ja, men se, en bue her og en bue her.

Så de steder vi ser en bue,
så er det 30 grader.

Dette er også 30 grader.

Du har to buer her, så det er 41 grader.

To buer her, så den er kongruent med den.

Denne her er 41 grader.

Den har tre buer.

De fortæller os ikke,
hvor mange grader det er,

men den vinkel med tre buer er kongruent
med denne vinkel med tre buer herover.

Så okay, denne gule trekant,
trekant ABC.

Vi ved, at vinkelmålet af denne
vinkel er 30 grader.

Vi er givet disse to sider.

Hvilken sammenhæng er der mellem disse
sider og denne 30-graders vinkel?

Side AC er hosliggende til den.

Det er en af de vinkler, der udgør vinklen
og det er ikke hypotenusen.

Lad mig skrive det ned.

Den er hosliggende

Hvad er BC?

BC er hypotenusen i
denne retvinklet trekant.

Det er siden overfor de 90 grader.

Dette er hypotenusen.

Hvilken trig funktion for de 30 grader er
lig den hosliggende side over hypotenusen?

Lad mig skrive "mod hos modhos"
for lige at minde os selv om det.

"mod hos modhos"

Sinus til en vinkel er
modstående over hypotenusen.

Cosinus til en vinkel er
hosliggende over hypotenusen.

cos30° er lig længden af
den hosliggende side, det er AC

over længden af hypotenusen,
som er lig BC.

Dette er det samme som cos30°.

Lad os trække den derover.

Dette er lig cos30°.

Lad os se på den næste.

Cosinus til vinkel DEC.

Hvor er DEC?

DEC, D E C, det er den vinkel derover.

Jeg laver fire buer,
så vi ikke bliver forvirret.

Dette er vinkel DEC.

Hvad er cosinus til DEC?

Igen, cosinus er
hosliggende over hypotenusen.

Cosinus til vinkel DEC,
den hosliggende side er denne her.

Du siger måske, hvorfor er DE
ikke hosliggende?

Den side DE, det er hypotenusen.

Det er ikke den hosliggende.

Den hosliggende er EC.

Det er længden af linjestykke EC.

Hypotenusen er her.

Længden af hypotenusen,
side DE eller ED, hvis du vil.

Vi kan skrive længden af den som DE.

Hvad er det også lig med?

Vi kan ikke se den mulighed.

Vi har ikke forholdet EC over DE,
som en mulighed.

Men vi har en af vinklerne.

De giver os disse 41 grader.

Forholdet mellem denne grønne side
over den orange side,

hvilket trig forhold er det,
set med denne vinkel?

Set fra denne vinkel, så er den
grønne side den modstående side

og den orange side er stadig hypotenusen.

Set fra de 41 grader er dette forhold
den modstående over hypotenusen.

Det er cosinus til denne vinkel,
men det er sinus til den vinkel her.

Sinus er modstående over hypotenusen.

Dette er lig sinus til denne vinkel her.

Det er lig sin41°.

Det er denne her, sin41°.

Lad os trække den over
til den rigtige værdi.

sin41° er det samme som
cosinus til vinkel DEC.

Så har vi kun to tilbage.

Vi skal finde ud af,
hvad sinus til vinkel CDA er.

Hvor er CDA?

CDA er hele denne vinkel.

Hele den vinkel her.

Jeg laver en masse buer for at vise,
at den er forskellig fra de andre.

Den vinkel her.

Vi skal altså bruge denne
større retvinklet trekant.

Lad mig fremhæve den med pink.

Vi bruger denne større retvinklet trekant.

Vi skal se på sinus til hele denne her.

Husk, sinus er
modstående over hypotenusen.

Den modstående side er siden CA.

Dette er altså lig længden af CA
over hypotenusen, som er AD.

Igen, så er den mulighed der ikke.

Måske er dette forhold en trig
funktion til en af de andre vinkler.

De har givet os en af vinklerne.

De har givet os denne vinkel,
som vi kan kalde vinkel DAC.

Den er 30 grader.

Set fra denne vinkel,
hvilke to sider svarer forholdet til?

Set fra denne vinkel er det
den hosliggende over hypotenusen.

Dette er den
hosliggende side over hypotenusen.

Hvad har med hosliggende
over hypotenusen at gøre?

Cosinus.

Dette er lig cosinus til denne vinkel

Det er lig cos30°.

Sinus til CDA er lig
cosinus til denne vinkel.

Denne her er lig den her.

Lad mig trække den derhen.

Denne her er lig den her.

Nu har vi en tilbage.

Vi er næsten i mål, vi kan glæde os.

AE over EB.

Lad mig bruge denne farve.

Længden af linjestyke AE.

Det er den længde her.

Lad mig gøre det mere tydeligt.

Jeg bruger rødt.

Længden af linjestykke AE
over længden af linjestykke EB.

Dette er EB lige her.

Nu bruger vi denne retvinklet trekant.

Vi kender vinkelmålet af denne vinkel.

Vi har to buer her og det er 41 grader.

Vi har to buer her,
så det er også 41 grader.

Set fra denne vinkel,
hvilket forhold er det?

Det er modstående over hypotenusen,

så dette her er
sinus til den vinkel, sin41°.

Den er lig med den første mulighed.

Lad os trække den derhen

Dette er lig sin41°.

Ingen af dem endte med at være lig tan41°.

Lad os se, om vi gjorde det korrekt.

Det håber jeg.

Det gjorde vi.