涉及三角函数的相关变化率例子

求解一个下滑的梯子和地面夹角的变化率。

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一个20米长的梯子靠着墙。

x(t)表示梯子的底部和墙的距离，

这个距离每分钟增加3米。

在某个时间点t0,

梯子的顶部距地面15米，以y(t0)表示。

那么t0时，梯子和地面的夹角θ(t0)的变化率是多少？

我来把它画出来。

第一步，我们应该思考，

什么样的方程

能帮助我们解决这个问题。

然后我们就可以

进一步地来求解。

20米的梯子靠着墙。

让我先来在这里画一面墙。

这是墙。

然后我来画20米的梯子。

像这样。

这段长度是20米。

梯子底部和墙之间的距离是x(t)。

即这段距离。

即

这段距离

是x(t)。

这段距离每分钟增加3米。

也就是说，

x’(t)，

即dx/dt，

等于3米，

这里如果我写成M/M, 意义不太清楚。

所以我写为米/分钟，

这是已知信息。

这就是x随时间的变化率。

在t0时刻，

梯子的顶端距地面

是15米。

以梯子的顶部，让我画清楚。

这里这段距离

就是y(t)。

y(t)。

我们已经知道，在t0时刻，

y(t)是15米。

让我写在这里，

y(t0)等于15米。

我把它也写在这里。

这是y(t0)。

让我们假定

这是t0时刻的图示，

这点很重要。

y(t0)等于15米。

我们需要求解

梯子和地面夹角的变化率是多少。

也就是说θ是

随时间变化的。

梯子和地面的夹角θ是时间的函数。

我用另一个颜色来表示θ。

θ是这里的这个角度。

它也是时间的函数。

对于这类相关变化率问题

通常我们需要找到一个方程，

一个代数方程，

也许涉及到三角函数。

这个方程要把我们关心的量联系起来。

然后我们可以对方程的两边求导

从而把相关变化率联系起来。

好，我们来看。

我们想知道

梯子和地面形成的夹角的变化率在t0时刻的值。

所以我们想求出

t0时刻，θ‘的值。

这是我们需要求解的。

我们已知

x随时间的变化率

是一个常数

3米每分钟。

而且，我们知道y在t0时的值。

那么我们来看，我们能否能建立一个关系，

因为我们已知dx/dt,

如果能找到x和θ之间的关系会非常有用，

然后我们对方程两边求导

然后也许可以使用这条信息

来算出x或θ在t0的值。

好我们开始。

怎样把x和t联系起来呢？

我们可以在这里用到三角函数公式。

这条斜边乘以cos(θ)得到x。

我把公式写在这里，

x(t)

等于

这条斜边

20米，也就是梯子的长度，

乘以

cos(θ)。

应该写成cos(θ(t))

以表明它是时间的函数。

这是三角函数公式。

事实上，这是基本的三角函数的定义。

为什么它是有用的呢？

来，我们来看看，

当我们用链式法则对两边求导时会发生什么。

方程左边，

我们得到x’(t)。

它等于，

方程右边是什么呢？

应用链式法则，

首先，方程右边对θ求导。

我们会得到

-20

sin(θ(t))

。

再

乘以θ’(t)。

接下来这么做，

t0时刻，我们知道x’(t)的值。

再求出sin(θ(t))的值。

那么我们就可以解出

这一项的值。

我们开始。

t0时刻，

当t等于

t0时。

x’(t)是多少。

在任何时刻，它都等于3米每分钟。

我们假设变化率是米/分钟。

而且距离的单位

是米，

而角度的单位是弧度。

所以，这里

等于

-20

乘以sin(θ(t))

再乘以θ(t)对时间的导数。

那么，我们怎么

求出sin(θ(t))呢？

我们可以使用已知条件。

让我往下面拉动一点，

这样我们有更多的书写空间。

所以sin(θ)，我写在这里，

sin(θ(t))

在t0

时刻，我们关心的是，

t=t0时，

sin(θ(t))等于多少？

正弦等于对边除以斜边。

即

y(t0)

除以斜边，

20米。

等于

因为已知y(t0)是15米，

等于

15米除以以20米。

也即¾ 。

这条黄色的信息，

实际上也告诉了我们，

这项等于¾ 。

所以这里乘以¾ ，

再乘以

θ随时间

的变化率。

现在我们只需要求出这项即可。

-20乘以

¾ 等于多少呢？

等于-15。

这是-15。

方程的两边同时除以-15，

我们得到

θ’(t)等于

3除以-15。

3除以-15。

也就等于

-1/5。

而它的单位是

弧度/分钟。

因为我们的变化率全都以分钟计

所以我应该

写为

弧度/分钟。

把它放在

这里。

这就是结果。

我们求解出了这个问题，它很有意思。

我们有y的值，

而我们可以用y的值来进一步

求出sin(θ(t))的值。

用到的方程包含了x和θ。