[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:03.87,Default,,0000,0000,0000,,一个20米长的梯子靠着墙。
Dialogue: 0,0:00:03.87,0:00:08.74,Default,,0000,0000,0000,,x(t)表示梯子的底部和墙的距离，
Dialogue: 0,0:00:08.74,0:00:12.24,Default,,0000,0000,0000,,这个距离每分钟增加3米。
Dialogue: 0,0:00:12.24,0:00:15.48,Default,,0000,0000,0000,,在某个时间点t0,
Dialogue: 0,0:00:15.48,0:00:23.21,Default,,0000,0000,0000,,梯子的顶部距地面15米，以y(t0)表示。
Dialogue: 0,0:00:23.21,0:00:31.66,Default,,0000,0000,0000,,那么t0时，梯子和地面的夹角θ(t0)的变化率是多少？
Dialogue: 0,0:00:31.66,0:00:34.06,Default,,0000,0000,0000,,我来把它画出来。
Dialogue: 0,0:00:34.06,0:00:35.74,Default,,0000,0000,0000,,第一步，我们应该思考，
Dialogue: 0,0:00:35.74,0:00:37.11,Default,,0000,0000,0000,,什么样的方程
Dialogue: 0,0:00:37.11,0:00:39.22,Default,,0000,0000,0000,,能帮助我们解决这个问题。
Dialogue: 0,0:00:39.22,0:00:40.67,Default,,0000,0000,0000,,然后我们就可以
Dialogue: 0,0:00:40.67,0:00:42.51,Default,,0000,0000,0000,,进一步地来求解。
Dialogue: 0,0:00:42.51,0:00:45.15,Default,,0000,0000,0000,,20米的梯子靠着墙。
Dialogue: 0,0:00:45.15,0:00:48.78,Default,,0000,0000,0000,,让我先来在这里画一面墙。
Dialogue: 0,0:00:48.78,0:00:51.27,Default,,0000,0000,0000,,这是墙。
Dialogue: 0,0:00:51.27,0:00:54.48,Default,,0000,0000,0000,,然后我来画20米的梯子。
Dialogue: 0,0:00:54.48,0:00:58.64,Default,,0000,0000,0000,,像这样。
Dialogue: 0,0:00:58.64,0:01:02.57,Default,,0000,0000,0000,,这段长度是20米。
Dialogue: 0,0:01:02.57,0:01:06.36,Default,,0000,0000,0000,,梯子底部和墙之间的距离是x(t)。
Dialogue: 0,0:01:06.36,0:01:08.74,Default,,0000,0000,0000,,即这段距离。
Dialogue: 0,0:01:08.74,0:01:10.81,Default,,0000,0000,0000,,即
Dialogue: 0,0:01:10.81,0:01:12.63,Default,,0000,0000,0000,,这段距离
Dialogue: 0,0:01:12.63,0:01:14.97,Default,,0000,0000,0000,,是x(t)。
Dialogue: 0,0:01:14.97,0:01:18.34,Default,,0000,0000,0000,,这段距离每分钟增加3米。
Dialogue: 0,0:01:18.34,0:01:20.65,Default,,0000,0000,0000,,也就是说，
Dialogue: 0,0:01:20.65,0:01:22.25,Default,,0000,0000,0000,,x’(t)，
Dialogue: 0,0:01:22.25,0:01:25.32,Default,,0000,0000,0000,,即dx/dt，
Dialogue: 0,0:01:25.32,0:01:28.68,Default,,0000,0000,0000,,等于3米，
Dialogue: 0,0:01:28.68,0:01:32.49,Default,,0000,0000,0000,,这里如果我写成M/M, 意义不太清楚。
Dialogue: 0,0:01:32.49,0:01:34.64,Default,,0000,0000,0000,,所以我写为米/分钟，
Dialogue: 0,0:01:34.64,0:01:36.39,Default,,0000,0000,0000,,这是已知信息。
Dialogue: 0,0:01:36.39,0:01:40.89,Default,,0000,0000,0000,,这就是x随时间的变化率。
Dialogue: 0,0:01:40.89,0:01:42.86,Default,,0000,0000,0000,,在t0时刻，
Dialogue: 0,0:01:42.86,0:01:45.64,Default,,0000,0000,0000,,梯子的顶端距地面
Dialogue: 0,0:01:45.64,0:01:46.80,Default,,0000,0000,0000,,是15米。
Dialogue: 0,0:01:46.80,0:01:49.98,Default,,0000,0000,0000,,以梯子的顶部，让我画清楚。
Dialogue: 0,0:01:49.98,0:01:54.56,Default,,0000,0000,0000,,这里这段距离
Dialogue: 0,0:01:54.56,0:01:57.02,Default,,0000,0000,0000,,就是y(t)。
Dialogue: 0,0:01:57.02,0:01:58.25,Default,,0000,0000,0000,,y(t)。
Dialogue: 0,0:01:58.25,0:02:01.41,Default,,0000,0000,0000,,我们已经知道，在t0时刻，
Dialogue: 0,0:02:01.41,0:02:03.55,Default,,0000,0000,0000,,y(t)是15米。
Dialogue: 0,0:02:03.55,0:02:04.48,Default,,0000,0000,0000,,让我写在这里，
Dialogue: 0,0:02:04.48,0:02:08.92,Default,,0000,0000,0000,,y(t0)等于15米。
Dialogue: 0,0:02:08.92,0:02:12.28,Default,,0000,0000,0000,,我把它也写在这里。
Dialogue: 0,0:02:12.28,0:02:14.27,Default,,0000,0000,0000,,这是y(t0)。
Dialogue: 0,0:02:14.27,0:02:15.17,Default,,0000,0000,0000,,让我们假定
Dialogue: 0,0:02:15.17,0:02:17.48,Default,,0000,0000,0000,,这是t0时刻的图示，
Dialogue: 0,0:02:17.48,0:02:19.26,Default,,0000,0000,0000,,这点很重要。
Dialogue: 0,0:02:19.26,0:02:24.42,Default,,0000,0000,0000,,y(t0)等于15米。
Dialogue: 0,0:02:24.42,0:02:25.39,Default,,0000,0000,0000,,我们需要求解
Dialogue: 0,0:02:25.39,0:02:28.100,Default,,0000,0000,0000,,梯子和地面夹角的变化率是多少。
Dialogue: 0,0:02:28.100,0:02:30.24,Default,,0000,0000,0000,,也就是说θ是
Dialogue: 0,0:02:30.24,0:02:32.30,Default,,0000,0000,0000,,随时间变化的。
Dialogue: 0,0:02:32.30,0:02:36.62,Default,,0000,0000,0000,,梯子和地面的夹角θ是时间的函数。
Dialogue: 0,0:02:36.62,0:02:39.61,Default,,0000,0000,0000,,我用另一个颜色来表示θ。
Dialogue: 0,0:02:39.61,0:02:41.82,Default,,0000,0000,0000,,θ是这里的这个角度。
Dialogue: 0,0:02:41.82,0:02:44.60,Default,,0000,0000,0000,,它也是时间的函数。
Dialogue: 0,0:02:44.60,0:02:47.29,Default,,0000,0000,0000,,对于这类相关变化率问题
Dialogue: 0,0:02:47.29,0:02:49.72,Default,,0000,0000,0000,,通常我们需要找到一个方程，
Dialogue: 0,0:02:49.72,0:02:51.40,Default,,0000,0000,0000,,一个代数方程，
Dialogue: 0,0:02:51.40,0:02:53.52,Default,,0000,0000,0000,,也许涉及到三角函数。
Dialogue: 0,0:02:53.52,0:02:56.52,Default,,0000,0000,0000,,这个方程要把我们关心的量联系起来。
Dialogue: 0,0:02:56.52,0:02:59.85,Default,,0000,0000,0000,,然后我们可以对方程的两边求导
Dialogue: 0,0:02:59.85,0:03:03.02,Default,,0000,0000,0000,,从而把相关变化率联系起来。
Dialogue: 0,0:03:03.02,0:03:04.04,Default,,0000,0000,0000,,好，我们来看。
Dialogue: 0,0:03:04.04,0:03:06.06,Default,,0000,0000,0000,,我们想知道
Dialogue: 0,0:03:06.06,0:03:12.42,Default,,0000,0000,0000,,梯子和地面形成的夹角的变化率在t0时刻的值。
Dialogue: 0,0:03:12.42,0:03:13.56,Default,,0000,0000,0000,,所以我们想求出
Dialogue: 0,0:03:13.56,0:03:18.09,Default,,0000,0000,0000,,t0时刻，θ‘的值。
Dialogue: 0,0:03:18.09,0:03:20.81,Default,,0000,0000,0000,,这是我们需要求解的。
Dialogue: 0,0:03:20.81,0:03:22.95,Default,,0000,0000,0000,,我们已知
Dialogue: 0,0:03:22.95,0:03:25.08,Default,,0000,0000,0000,,x随时间的变化率
Dialogue: 0,0:03:25.08,0:03:27.46,Default,,0000,0000,0000,,是一个常数
Dialogue: 0,0:03:27.46,0:03:29.71,Default,,0000,0000,0000,,3米每分钟。
Dialogue: 0,0:03:29.71,0:03:33.34,Default,,0000,0000,0000,,而且，我们知道y在t0时的值。
Dialogue: 0,0:03:33.34,0:03:36.91,Default,,0000,0000,0000,,那么我们来看，我们能否能建立一个关系，
Dialogue: 0,0:03:36.91,0:03:38.88,Default,,0000,0000,0000,,因为我们已知dx/dt,
Dialogue: 0,0:03:38.88,0:03:43.25,Default,,0000,0000,0000,,如果能找到x和θ之间的关系会非常有用，
Dialogue: 0,0:03:43.25,0:03:46.01,Default,,0000,0000,0000,,然后我们对方程两边求导
Dialogue: 0,0:03:46.01,0:03:48.29,Default,,0000,0000,0000,,然后也许可以使用这条信息
Dialogue: 0,0:03:48.29,0:03:52.64,Default,,0000,0000,0000,,来算出x或θ在t0的值。
Dialogue: 0,0:03:52.64,0:03:54.33,Default,,0000,0000,0000,,好我们开始。
Dialogue: 0,0:03:54.33,0:03:57.03,Default,,0000,0000,0000,,怎样把x和t联系起来呢？
Dialogue: 0,0:03:57.03,0:04:00.28,Default,,0000,0000,0000,,我们可以在这里用到三角函数公式。
Dialogue: 0,0:04:00.28,0:04:07.74,Default,,0000,0000,0000,,这条斜边乘以cos(θ)得到x。
Dialogue: 0,0:04:07.74,0:04:09.21,Default,,0000,0000,0000,,我把公式写在这里，
Dialogue: 0,0:04:09.21,0:04:12.31,Default,,0000,0000,0000,,x(t)
Dialogue: 0,0:04:12.31,0:04:13.71,Default,,0000,0000,0000,,等于
Dialogue: 0,0:04:13.71,0:04:15.09,Default,,0000,0000,0000,,这条斜边
Dialogue: 0,0:04:15.09,0:04:17.40,Default,,0000,0000,0000,,20米，也就是梯子的长度，
Dialogue: 0,0:04:17.40,0:04:18.36,Default,,0000,0000,0000,,乘以
Dialogue: 0,0:04:18.36,0:04:22.07,Default,,0000,0000,0000,,cos(θ)。
Dialogue: 0,0:04:22.07,0:04:24.30,Default,,0000,0000,0000,,应该写成cos(θ(t))
Dialogue: 0,0:04:24.30,0:04:27.31,Default,,0000,0000,0000,,以表明它是时间的函数。
Dialogue: 0,0:04:27.31,0:04:30.11,Default,,0000,0000,0000,,这是三角函数公式。
Dialogue: 0,0:04:30.11,0:04:34.26,Default,,0000,0000,0000,,事实上，这是基本的三角函数的定义。
Dialogue: 0,0:04:34.26,0:04:36.96,Default,,0000,0000,0000,,为什么它是有用的呢？
Dialogue: 0,0:04:36.96,0:04:37.98,Default,,0000,0000,0000,,来，我们来看看，
Dialogue: 0,0:04:37.98,0:04:41.67,Default,,0000,0000,0000,,当我们用链式法则对两边求导时会发生什么。
Dialogue: 0,0:04:41.67,0:04:42.94,Default,,0000,0000,0000,,方程左边，
Dialogue: 0,0:04:42.94,0:04:47.62,Default,,0000,0000,0000,,我们得到x’(t)。
Dialogue: 0,0:04:47.62,0:04:48.94,Default,,0000,0000,0000,,它等于，
Dialogue: 0,0:04:48.94,0:04:51.27,Default,,0000,0000,0000,,方程右边是什么呢？
Dialogue: 0,0:04:51.27,0:04:52.45,Default,,0000,0000,0000,,应用链式法则，
Dialogue: 0,0:04:52.45,0:04:55.52,Default,,0000,0000,0000,,首先，方程右边对θ求导。
Dialogue: 0,0:04:55.52,0:04:56.92,Default,,0000,0000,0000,,我们会得到
Dialogue: 0,0:04:56.92,0:04:58.47,Default,,0000,0000,0000,,-20
Dialogue: 0,0:04:58.47,0:05:02.50,Default,,0000,0000,0000,,sin(θ(t))
Dialogue: 0,0:05:02.50,0:05:03.42,Default,,0000,0000,0000,,。
Dialogue: 0,0:05:04.29,0:05:06.22,Default,,0000,0000,0000,,再
Dialogue: 0,0:05:06.22,0:05:08.14,Default,,0000,0000,0000,,乘以θ’(t)。
Dialogue: 0,0:05:09.23,0:05:11.75,Default,,0000,0000,0000,,接下来这么做，
Dialogue: 0,0:05:11.75,0:05:16.05,Default,,0000,0000,0000,,t0时刻，我们知道x’(t)的值。
Dialogue: 0,0:05:16.05,0:05:19.36,Default,,0000,0000,0000,,再求出sin(θ(t))的值。
Dialogue: 0,0:05:19.36,0:05:21.84,Default,,0000,0000,0000,,那么我们就可以解出
Dialogue: 0,0:05:21.84,0:05:22.84,Default,,0000,0000,0000,,这一项的值。
Dialogue: 0,0:05:22.84,0:05:24.14,Default,,0000,0000,0000,,我们开始。
Dialogue: 0,0:05:24.14,0:05:25.56,Default,,0000,0000,0000,,t0时刻，
Dialogue: 0,0:05:26.84,0:05:29.21,Default,,0000,0000,0000,,当t等于
Dialogue: 0,0:05:29.21,0:05:30.13,Default,,0000,0000,0000,,t0时。
Dialogue: 0,0:05:31.09,0:05:33.23,Default,,0000,0000,0000,,x’(t)是多少。
Dialogue: 0,0:05:33.23,0:05:35.50,Default,,0000,0000,0000,,在任何时刻，它都等于3米每分钟。
Dialogue: 0,0:05:35.50,0:05:37.97,Default,,0000,0000,0000,,我们假设变化率是米/分钟。
Dialogue: 0,0:05:37.97,0:05:39.99,Default,,0000,0000,0000,,而且距离的单位
Dialogue: 0,0:05:39.99,0:05:41.40,Default,,0000,0000,0000,,是米，
Dialogue: 0,0:05:41.40,0:05:42.70,Default,,0000,0000,0000,,而角度的单位是弧度。
Dialogue: 0,0:05:42.70,0:05:46.19,Default,,0000,0000,0000,,所以，这里
Dialogue: 0,0:05:46.19,0:05:47.76,Default,,0000,0000,0000,,等于
Dialogue: 0,0:05:47.76,0:05:48.68,Default,,0000,0000,0000,,-20
Dialogue: 0,0:05:50.74,0:05:53.08,Default,,0000,0000,0000,,乘以sin(θ(t))
Dialogue: 0,0:05:53.08,0:05:55.49,Default,,0000,0000,0000,,再乘以θ(t)对时间的导数。
Dialogue: 0,0:05:55.49,0:05:57.71,Default,,0000,0000,0000,,那么，我们怎么
Dialogue: 0,0:05:57.71,0:05:59.62,Default,,0000,0000,0000,,求出sin(θ(t))呢？
Dialogue: 0,0:05:59.62,0:06:03.37,Default,,0000,0000,0000,,我们可以使用已知条件。
Dialogue: 0,0:06:03.37,0:06:05.32,Default,,0000,0000,0000,,让我往下面拉动一点，
Dialogue: 0,0:06:05.32,0:06:08.14,Default,,0000,0000,0000,,这样我们有更多的书写空间。
Dialogue: 0,0:06:08.14,0:06:11.48,Default,,0000,0000,0000,,所以sin(θ)，我写在这里，
Dialogue: 0,0:06:11.48,0:06:13.10,Default,,0000,0000,0000,,sin(θ(t))
Dialogue: 0,0:06:13.10,0:06:13.93,Default,,0000,0000,0000,,在t0
Dialogue: 0,0:06:14.78,0:06:17.35,Default,,0000,0000,0000,,时刻，我们关心的是，
Dialogue: 0,0:06:17.35,0:06:19.04,Default,,0000,0000,0000,,t=t0时，
Dialogue: 0,0:06:19.04,0:06:21.60,Default,,0000,0000,0000,,sin(θ(t))等于多少？
Dialogue: 0,0:06:21.60,0:06:23.75,Default,,0000,0000,0000,,正弦等于对边除以斜边。
Dialogue: 0,0:06:23.75,0:06:25.94,Default,,0000,0000,0000,,即
Dialogue: 0,0:06:25.94,0:06:27.50,Default,,0000,0000,0000,,y(t0)
Dialogue: 0,0:06:27.50,0:06:29.48,Default,,0000,0000,0000,,除以斜边，
Dialogue: 0,0:06:29.48,0:06:30.57,Default,,0000,0000,0000,,20米。
Dialogue: 0,0:06:32.18,0:06:34.88,Default,,0000,0000,0000,,等于
Dialogue: 0,0:06:34.88,0:06:36.68,Default,,0000,0000,0000,,因为已知y(t0)是15米，
Dialogue: 0,0:06:36.68,0:06:39.03,Default,,0000,0000,0000,,等于
Dialogue: 0,0:06:39.03,0:06:40.28,Default,,0000,0000,0000,,15米除以以20米。
Dialogue: 0,0:06:41.38,0:06:44.22,Default,,0000,0000,0000,,也即¾ 。
Dialogue: 0,0:06:44.22,0:06:46.64,Default,,0000,0000,0000,,这条黄色的信息，
Dialogue: 0,0:06:46.64,0:06:48.68,Default,,0000,0000,0000,,实际上也告诉了我们，
Dialogue: 0,0:06:48.68,0:06:51.59,Default,,0000,0000,0000,,这项等于¾ 。
Dialogue: 0,0:06:51.59,0:06:53.97,Default,,0000,0000,0000,,所以这里乘以¾ ，
Dialogue: 0,0:06:53.97,0:06:56.32,Default,,0000,0000,0000,,再乘以
Dialogue: 0,0:06:56.32,0:06:57.16,Default,,0000,0000,0000,,θ随时间
Dialogue: 0,0:06:58.21,0:06:59.82,Default,,0000,0000,0000,,的变化率。
Dialogue: 0,0:06:59.82,0:07:02.75,Default,,0000,0000,0000,,现在我们只需要求出这项即可。
Dialogue: 0,0:07:02.75,0:07:04.66,Default,,0000,0000,0000,,-20乘以
Dialogue: 0,0:07:04.66,0:07:07.30,Default,,0000,0000,0000,,¾ 等于多少呢？
Dialogue: 0,0:07:07.30,0:07:08.96,Default,,0000,0000,0000,,等于-15。
Dialogue: 0,0:07:10.51,0:07:12.69,Default,,0000,0000,0000,,这是-15。
Dialogue: 0,0:07:12.69,0:07:15.23,Default,,0000,0000,0000,,方程的两边同时除以-15，
Dialogue: 0,0:07:15.23,0:07:16.31,Default,,0000,0000,0000,,我们得到
Dialogue: 0,0:07:16.31,0:07:18.93,Default,,0000,0000,0000,,θ’(t)等于
Dialogue: 0,0:07:18.93,0:07:20.84,Default,,0000,0000,0000,,3除以-15。
Dialogue: 0,0:07:21.83,0:07:23.75,Default,,0000,0000,0000,,3除以-15。
Dialogue: 0,0:07:25.17,0:07:28.47,Default,,0000,0000,0000,,也就等于
Dialogue: 0,0:07:28.47,0:07:30.40,Default,,0000,0000,0000,,-1/5。
Dialogue: 0,0:07:30.40,0:07:32.61,Default,,0000,0000,0000,,而它的单位是
Dialogue: 0,0:07:32.61,0:07:34.92,Default,,0000,0000,0000,,弧度/分钟。
Dialogue: 0,0:07:34.92,0:07:37.28,Default,,0000,0000,0000,,因为我们的变化率全都以分钟计
Dialogue: 0,0:07:37.28,0:07:40.82,Default,,0000,0000,0000,,所以我应该
Dialogue: 0,0:07:40.82,0:07:41.66,Default,,0000,0000,0000,,写为
Dialogue: 0,0:07:42.79,0:07:43.80,Default,,0000,0000,0000,,弧度/分钟。
Dialogue: 0,0:07:43.80,0:07:45.59,Default,,0000,0000,0000,,把它放在
Dialogue: 0,0:07:45.59,0:07:46.62,Default,,0000,0000,0000,,这里。
Dialogue: 0,0:07:46.62,0:07:47.64,Default,,0000,0000,0000,,这就是结果。
Dialogue: 0,0:07:47.64,0:07:51.24,Default,,0000,0000,0000,,我们求解出了这个问题，它很有意思。
Dialogue: 0,0:07:51.24,0:07:53.18,Default,,0000,0000,0000,,我们有y的值，
Dialogue: 0,0:07:53.18,0:07:54.57,Default,,0000,0000,0000,,而我们可以用y的值来进一步
Dialogue: 0,0:07:54.57,0:07:55.96,Default,,0000,0000,0000,,求出sin(θ(t))的值。
Dialogue: 0,0:07:55.96,0:07:59.98,Default,,0000,0000,0000,,用到的方程包含了x和θ。