0:00:00.000,0:00:03.869
一个20米长的梯子靠着墙。

0:00:03.869,0:00:08.739
x(t)表示梯子的底部和墙的距离，

0:00:08.739,0:00:12.235
这个距离每分钟增加3米。

0:00:12.235,0:00:15.483
在某个时间点t0,

0:00:15.483,0:00:23.212
梯子的顶部距地面15米，以y(t0)表示。

0:00:23.212,0:00:31.664
那么t0时，梯子和地面的夹角θ(t0)的变化率是多少？

0:00:31.664,0:00:34.058
我来把它画出来。

0:00:34.058,0:00:35.743
第一步，我们应该思考，

0:00:35.743,0:00:37.113
什么样的方程

0:00:37.113,0:00:39.223
能帮助我们解决这个问题。

0:00:39.223,0:00:40.669
然后我们就可以

0:00:40.669,0:00:42.513
进一步地来求解。

0:00:42.513,0:00:45.154
20米的梯子靠着墙。

0:00:45.154,0:00:48.782
让我先来在这里画一面墙。

0:00:48.782,0:00:51.267
这是墙。

0:00:51.267,0:00:54.477
然后我来画20米的梯子。

0:00:54.477,0:00:58.639
像这样。

0:00:58.639,0:01:02.567
这段长度是20米。

0:01:02.567,0:01:06.359
梯子底部和墙之间的距离是x(t)。

0:01:06.359,0:01:08.744
即这段距离。

0:01:08.744,0:01:10.812
即

0:01:10.812,0:01:12.628
这段距离

0:01:12.628,0:01:14.971
是x(t)。

0:01:14.971,0:01:18.340
这段距离每分钟增加3米。

0:01:18.340,0:01:20.654
也就是说，

0:01:20.654,0:01:22.254
x’(t)，

0:01:22.254,0:01:25.323
即dx/dt，

0:01:25.323,0:01:28.680
等于3米，

0:01:28.680,0:01:32.493
这里如果我写成M/M, 意义不太清楚。

0:01:32.493,0:01:34.643
所以我写为米/分钟，

0:01:34.643,0:01:36.386
这是已知信息。

0:01:36.386,0:01:40.890
这就是x随时间的变化率。

0:01:40.890,0:01:42.858
在t0时刻，

0:01:42.858,0:01:45.638
梯子的顶端距地面

0:01:45.638,0:01:46.799
是15米。

0:01:46.799,0:01:49.983
以梯子的顶部，让我画清楚。

0:01:49.983,0:01:54.560
这里这段距离

0:01:54.560,0:01:57.025
就是y(t)。

0:01:57.025,0:01:58.253
y(t)。

0:01:58.253,0:02:01.406
我们已经知道，在t0时刻，

0:02:01.406,0:02:03.549
y(t)是15米。

0:02:03.549,0:02:04.482
让我写在这里，

0:02:04.482,0:02:08.919
y(t0)等于15米。

0:02:08.919,0:02:12.278
我把它也写在这里。

0:02:12.278,0:02:14.271
这是y(t0)。

0:02:14.271,0:02:15.168
让我们假定

0:02:15.168,0:02:17.482
这是t0时刻的图示，

0:02:17.482,0:02:19.258
这点很重要。

0:02:19.258,0:02:24.415
y(t0)等于15米。

0:02:24.415,0:02:25.394
我们需要求解

0:02:25.394,0:02:28.995
梯子和地面夹角的变化率是多少。

0:02:28.995,0:02:30.243
也就是说θ是

0:02:30.243,0:02:32.296
随时间变化的。

0:02:32.296,0:02:36.617
梯子和地面的夹角θ是时间的函数。

0:02:36.617,0:02:39.608
我用另一个颜色来表示θ。

0:02:39.608,0:02:41.823
θ是这里的这个角度。

0:02:41.823,0:02:44.603
它也是时间的函数。

0:02:44.603,0:02:47.290
对于这类相关变化率问题

0:02:47.290,0:02:49.724
通常我们需要找到一个方程，

0:02:49.724,0:02:51.404
一个代数方程，

0:02:51.404,0:02:53.515
也许涉及到三角函数。

0:02:53.515,0:02:56.515
这个方程要把我们关心的量联系起来。

0:02:56.515,0:02:59.850
然后我们可以对方程的两边求导

0:02:59.850,0:03:03.015
从而把相关变化率联系起来。

0:03:03.015,0:03:04.041
好，我们来看。

0:03:04.041,0:03:06.065
我们想知道

0:03:06.065,0:03:12.417
梯子和地面形成的夹角的变化率在t0时刻的值。

0:03:12.417,0:03:13.562
所以我们想求出

0:03:13.562,0:03:18.094
t0时刻，θ‘的值。

0:03:18.094,0:03:20.811
这是我们需要求解的。

0:03:20.811,0:03:22.953
我们已知

0:03:22.953,0:03:25.078
x随时间的变化率

0:03:25.078,0:03:27.459
是一个常数

0:03:27.459,0:03:29.714
3米每分钟。

0:03:29.714,0:03:33.345
而且，我们知道y在t0时的值。

0:03:33.345,0:03:36.911
那么我们来看，我们能否能建立一个关系，

0:03:36.911,0:03:38.883
因为我们已知dx/dt,

0:03:38.883,0:03:43.251
如果能找到x和θ之间的关系会非常有用，

0:03:43.251,0:03:46.013
然后我们对方程两边求导

0:03:46.013,0:03:48.287
然后也许可以使用这条信息

0:03:48.287,0:03:52.643
来算出x或θ在t0的值。

0:03:52.643,0:03:54.333
好我们开始。

0:03:54.333,0:03:57.030
怎样把x和t联系起来呢？

0:03:57.030,0:04:00.275
我们可以在这里用到三角函数公式。

0:04:00.275,0:04:07.745
这条斜边乘以cos(θ)得到x。

0:04:07.745,0:04:09.211
我把公式写在这里，

0:04:09.211,0:04:12.310
x(t)

0:04:12.310,0:04:13.711
等于

0:04:13.711,0:04:15.094
这条斜边

0:04:15.094,0:04:17.404
20米，也就是梯子的长度，

0:04:17.404,0:04:18.357
乘以

0:04:18.357,0:04:22.073
cos(θ)。

0:04:22.073,0:04:24.304
应该写成cos(θ(t))

0:04:24.304,0:04:27.312
以表明它是时间的函数。

0:04:27.312,0:04:30.114
这是三角函数公式。

0:04:30.114,0:04:34.261
事实上，这是基本的三角函数的定义。

0:04:34.261,0:04:36.964
为什么它是有用的呢？

0:04:36.964,0:04:37.984
来，我们来看看，

0:04:37.984,0:04:41.668
当我们用链式法则对两边求导时会发生什么。

0:04:41.668,0:04:42.944
方程左边，

0:04:42.944,0:04:47.615
我们得到x’(t)。

0:04:47.615,0:04:48.944
它等于，

0:04:48.944,0:04:51.270
方程右边是什么呢？

0:04:51.270,0:04:52.450
应用链式法则，

0:04:52.450,0:04:55.522
首先，方程右边对θ求导。

0:04:55.522,0:04:56.923
我们会得到

0:04:56.923,0:04:58.466
-20

0:04:58.466,0:05:02.499
sin(θ(t))

0:05:02.499,0:05:03.416
。

0:05:04.286,0:05:06.223
再

0:05:06.223,0:05:08.140
乘以θ’(t)。

0:05:09.233,0:05:11.748
接下来这么做，

0:05:11.748,0:05:16.052
t0时刻，我们知道x’(t)的值。

0:05:16.052,0:05:19.355
再求出sin(θ(t))的值。

0:05:19.355,0:05:21.845
那么我们就可以解出

0:05:21.845,0:05:22.845
这一项的值。

0:05:22.845,0:05:24.140
我们开始。

0:05:24.140,0:05:25.557
t0时刻，

0:05:26.839,0:05:29.214
当t等于

0:05:29.214,0:05:30.131
t0时。

0:05:31.091,0:05:33.230
x’(t)是多少。

0:05:33.230,0:05:35.500
在任何时刻，它都等于3米每分钟。

0:05:35.500,0:05:37.974
我们假设变化率是米/分钟。

0:05:37.974,0:05:39.990
而且距离的单位

0:05:39.990,0:05:41.403
是米，

0:05:41.403,0:05:42.702
而角度的单位是弧度。

0:05:42.702,0:05:46.191
所以，这里

0:05:46.191,0:05:47.763
等于

0:05:47.763,0:05:48.680
-20

0:05:50.744,0:05:53.078
乘以sin(θ(t))

0:05:53.078,0:05:55.491
再乘以θ(t)对时间的导数。

0:05:55.491,0:05:57.707
那么，我们怎么

0:05:57.707,0:05:59.617
求出sin(θ(t))呢？

0:05:59.617,0:06:03.369
我们可以使用已知条件。

0:06:03.369,0:06:05.319
让我往下面拉动一点，

0:06:05.319,0:06:08.140
这样我们有更多的书写空间。

0:06:08.140,0:06:11.481
所以sin(θ)，我写在这里，

0:06:11.481,0:06:13.100
sin(θ(t))

0:06:13.100,0:06:13.933
在t0

0:06:14.775,0:06:17.349
时刻，我们关心的是，

0:06:17.349,0:06:19.043
t=t0时，

0:06:19.043,0:06:21.602
sin(θ(t))等于多少？

0:06:21.602,0:06:23.754
正弦等于对边除以斜边。

0:06:23.754,0:06:25.935
即

0:06:25.935,0:06:27.498
y(t0)

0:06:27.498,0:06:29.483
除以斜边，

0:06:29.483,0:06:30.566
20米。

0:06:32.175,0:06:34.881
等于

0:06:34.881,0:06:36.685
因为已知y(t0)是15米，

0:06:36.685,0:06:39.030
等于

0:06:39.030,0:06:40.280
15米除以以20米。

0:06:41.376,0:06:44.224
也即¾ 。

0:06:44.224,0:06:46.638
这条黄色的信息，

0:06:46.638,0:06:48.677
实际上也告诉了我们，

0:06:48.677,0:06:51.594
这项等于¾ 。

0:06:51.594,0:06:53.974
所以这里乘以¾ ，

0:06:53.974,0:06:56.325
再乘以

0:06:56.325,0:06:57.158
θ随时间

0:06:58.210,0:06:59.823
的变化率。

0:06:59.823,0:07:02.753
现在我们只需要求出这项即可。

0:07:02.753,0:07:04.659
-20乘以

0:07:04.659,0:07:07.298
¾ 等于多少呢？

0:07:07.298,0:07:08.965
等于-15。

0:07:10.510,0:07:12.690
这是-15。

0:07:12.690,0:07:15.233
方程的两边同时除以-15，

0:07:15.233,0:07:16.311
我们得到

0:07:16.311,0:07:18.926
θ’(t)等于

0:07:18.926,0:07:20.843
3除以-15。

0:07:21.833,0:07:23.750
3除以-15。

0:07:25.174,0:07:28.466
也就等于

0:07:28.466,0:07:30.405
-1/5。

0:07:30.405,0:07:32.606
而它的单位是

0:07:32.606,0:07:34.920
弧度/分钟。

0:07:34.920,0:07:37.277
因为我们的变化率全都以分钟计

0:07:37.277,0:07:40.825
所以我应该

0:07:40.825,0:07:41.658
写为

0:07:42.792,0:07:43.800
弧度/分钟。

0:07:43.800,0:07:45.587
把它放在

0:07:45.587,0:07:46.616
这里。

0:07:46.616,0:07:47.636
这就是结果。

0:07:47.636,0:07:51.239
我们求解出了这个问题，它很有意思。

0:07:51.239,0:07:53.185
我们有y的值，

0:07:53.185,0:07:54.573
而我们可以用y的值来进一步

0:07:54.573,0:07:55.959
求出sin(θ(t))的值。

0:07:55.959,0:07:59.976
用到的方程包含了x和θ。