1
00:00:00,000 --> 00:00:03,869
一个20米长的梯子靠着墙。

2
00:00:03,869 --> 00:00:08,739
x(t)表示梯子的底部和墙的距离，

3
00:00:08,739 --> 00:00:12,235
这个距离每分钟增加3米。

4
00:00:12,235 --> 00:00:15,483
在某个时间点t0,

5
00:00:15,483 --> 00:00:23,212
梯子的顶部距地面15米，以y(t0)表示。

6
00:00:23,212 --> 00:00:31,664
那么t0时，梯子和地面的夹角θ(t0)的变化率是多少？

7
00:00:31,664 --> 00:00:34,058
我来把它画出来。

8
00:00:34,058 --> 00:00:35,743
第一步，我们应该思考，

9
00:00:35,743 --> 00:00:37,113
什么样的方程

10
00:00:37,113 --> 00:00:39,223
能帮助我们解决这个问题。

11
00:00:39,223 --> 00:00:40,669
然后我们就可以

12
00:00:40,669 --> 00:00:42,513
进一步地来求解。

13
00:00:42,513 --> 00:00:45,154
20米的梯子靠着墙。

14
00:00:45,154 --> 00:00:48,782
让我先来在这里画一面墙。

15
00:00:48,782 --> 00:00:51,267
这是墙。

16
00:00:51,267 --> 00:00:54,477
然后我来画20米的梯子。

17
00:00:54,477 --> 00:00:58,639
像这样。

18
00:00:58,639 --> 00:01:02,567
这段长度是20米。

19
00:01:02,567 --> 00:01:06,359
梯子底部和墙之间的距离是x(t)。

20
00:01:06,359 --> 00:01:08,744
即这段距离。

21
00:01:08,744 --> 00:01:10,812
即

22
00:01:10,812 --> 00:01:12,628
这段距离

23
00:01:12,628 --> 00:01:14,971
是x(t)。

24
00:01:14,971 --> 00:01:18,340
这段距离每分钟增加3米。

25
00:01:18,340 --> 00:01:20,654
也就是说，

26
00:01:20,654 --> 00:01:22,254
x’(t)，

27
00:01:22,254 --> 00:01:25,323
即dx/dt，

28
00:01:25,323 --> 00:01:28,680
等于3米，

29
00:01:28,680 --> 00:01:32,493
这里如果我写成M/M, 意义不太清楚。

30
00:01:32,493 --> 00:01:34,643
所以我写为米/分钟，

31
00:01:34,643 --> 00:01:36,386
这是已知信息。

32
00:01:36,386 --> 00:01:40,890
这就是x随时间的变化率。

33
00:01:40,890 --> 00:01:42,858
在t0时刻，

34
00:01:42,858 --> 00:01:45,638
梯子的顶端距地面

35
00:01:45,638 --> 00:01:46,799
是15米。

36
00:01:46,799 --> 00:01:49,983
以梯子的顶部，让我画清楚。

37
00:01:49,983 --> 00:01:54,560
这里这段距离

38
00:01:54,560 --> 00:01:57,025
就是y(t)。

39
00:01:57,025 --> 00:01:58,253
y(t)。

40
00:01:58,253 --> 00:02:01,406
我们已经知道，在t0时刻，

41
00:02:01,406 --> 00:02:03,549
y(t)是15米。

42
00:02:03,549 --> 00:02:04,482
让我写在这里，

43
00:02:04,482 --> 00:02:08,919
y(t0)等于15米。

44
00:02:08,919 --> 00:02:12,278
我把它也写在这里。

45
00:02:12,278 --> 00:02:14,271
这是y(t0)。

46
00:02:14,271 --> 00:02:15,168
让我们假定

47
00:02:15,168 --> 00:02:17,482
这是t0时刻的图示，

48
00:02:17,482 --> 00:02:19,258
这点很重要。

49
00:02:19,258 --> 00:02:24,415
y(t0)等于15米。

50
00:02:24,415 --> 00:02:25,394
我们需要求解

51
00:02:25,394 --> 00:02:28,995
梯子和地面夹角的变化率是多少。

52
00:02:28,995 --> 00:02:30,243
也就是说θ是

53
00:02:30,243 --> 00:02:32,296
随时间变化的。

54
00:02:32,296 --> 00:02:36,617
梯子和地面的夹角θ是时间的函数。

55
00:02:36,617 --> 00:02:39,608
我用另一个颜色来表示θ。

56
00:02:39,608 --> 00:02:41,823
θ是这里的这个角度。

57
00:02:41,823 --> 00:02:44,603
它也是时间的函数。

58
00:02:44,603 --> 00:02:47,290
对于这类相关变化率问题

59
00:02:47,290 --> 00:02:49,724
通常我们需要找到一个方程，

60
00:02:49,724 --> 00:02:51,404
一个代数方程，

61
00:02:51,404 --> 00:02:53,515
也许涉及到三角函数。

62
00:02:53,515 --> 00:02:56,515
这个方程要把我们关心的量联系起来。

63
00:02:56,515 --> 00:02:59,850
然后我们可以对方程的两边求导

64
00:02:59,850 --> 00:03:03,015
从而把相关变化率联系起来。

65
00:03:03,015 --> 00:03:04,041
好，我们来看。

66
00:03:04,041 --> 00:03:06,065
我们想知道

67
00:03:06,065 --> 00:03:12,417
梯子和地面形成的夹角的变化率在t0时刻的值。

68
00:03:12,417 --> 00:03:13,562
所以我们想求出

69
00:03:13,562 --> 00:03:18,094
t0时刻，θ‘的值。

70
00:03:18,094 --> 00:03:20,811
这是我们需要求解的。

71
00:03:20,811 --> 00:03:22,953
我们已知

72
00:03:22,953 --> 00:03:25,078
x随时间的变化率

73
00:03:25,078 --> 00:03:27,459
是一个常数

74
00:03:27,459 --> 00:03:29,714
3米每分钟。

75
00:03:29,714 --> 00:03:33,345
而且，我们知道y在t0时的值。

76
00:03:33,345 --> 00:03:36,911
那么我们来看，我们能否能建立一个关系，

77
00:03:36,911 --> 00:03:38,883
因为我们已知dx/dt,

78
00:03:38,883 --> 00:03:43,251
如果能找到x和θ之间的关系会非常有用，

79
00:03:43,251 --> 00:03:46,013
然后我们对方程两边求导

80
00:03:46,013 --> 00:03:48,287
然后也许可以使用这条信息

81
00:03:48,287 --> 00:03:52,643
来算出x或θ在t0的值。

82
00:03:52,643 --> 00:03:54,333
好我们开始。

83
00:03:54,333 --> 00:03:57,030
怎样把x和t联系起来呢？

84
00:03:57,030 --> 00:04:00,275
我们可以在这里用到三角函数公式。

85
00:04:00,275 --> 00:04:07,745
这条斜边乘以cos(θ)得到x。

86
00:04:07,745 --> 00:04:09,211
我把公式写在这里，

87
00:04:09,211 --> 00:04:12,310
x(t)

88
00:04:12,310 --> 00:04:13,711
等于

89
00:04:13,711 --> 00:04:15,094
这条斜边

90
00:04:15,094 --> 00:04:17,404
20米，也就是梯子的长度，

91
00:04:17,404 --> 00:04:18,357
乘以

92
00:04:18,357 --> 00:04:22,073
cos(θ)。

93
00:04:22,073 --> 00:04:24,304
应该写成cos(θ(t))

94
00:04:24,304 --> 00:04:27,312
以表明它是时间的函数。

95
00:04:27,312 --> 00:04:30,114
这是三角函数公式。

96
00:04:30,114 --> 00:04:34,261
事实上，这是基本的三角函数的定义。

97
00:04:34,261 --> 00:04:36,964
为什么它是有用的呢？

98
00:04:36,964 --> 00:04:37,984
来，我们来看看，

99
00:04:37,984 --> 00:04:41,668
当我们用链式法则对两边求导时会发生什么。

100
00:04:41,668 --> 00:04:42,944
方程左边，

101
00:04:42,944 --> 00:04:47,615
我们得到x’(t)。

102
00:04:47,615 --> 00:04:48,944
它等于，

103
00:04:48,944 --> 00:04:51,270
方程右边是什么呢？

104
00:04:51,270 --> 00:04:52,450
应用链式法则，

105
00:04:52,450 --> 00:04:55,522
首先，方程右边对θ求导。

106
00:04:55,522 --> 00:04:56,923
我们会得到

107
00:04:56,923 --> 00:04:58,466
-20

108
00:04:58,466 --> 00:05:02,499
sin(θ(t))

109
00:05:02,499 --> 00:05:03,416
。

110
00:05:04,286 --> 00:05:06,223
再

111
00:05:06,223 --> 00:05:08,140
乘以θ’(t)。

112
00:05:09,233 --> 00:05:11,748
接下来这么做，

113
00:05:11,748 --> 00:05:16,052
t0时刻，我们知道x’(t)的值。

114
00:05:16,052 --> 00:05:19,355
再求出sin(θ(t))的值。

115
00:05:19,355 --> 00:05:21,845
那么我们就可以解出

116
00:05:21,845 --> 00:05:22,845
这一项的值。

117
00:05:22,845 --> 00:05:24,140
我们开始。

118
00:05:24,140 --> 00:05:25,557
t0时刻，

119
00:05:26,839 --> 00:05:29,214
当t等于

120
00:05:29,214 --> 00:05:30,131
t0时。

121
00:05:31,091 --> 00:05:33,230
x’(t)是多少。

122
00:05:33,230 --> 00:05:35,500
在任何时刻，它都等于3米每分钟。

123
00:05:35,500 --> 00:05:37,974
我们假设变化率是米/分钟。

124
00:05:37,974 --> 00:05:39,990
而且距离的单位

125
00:05:39,990 --> 00:05:41,403
是米，

126
00:05:41,403 --> 00:05:42,702
而角度的单位是弧度。

127
00:05:42,702 --> 00:05:46,191
所以，这里

128
00:05:46,191 --> 00:05:47,763
等于

129
00:05:47,763 --> 00:05:48,680
-20

130
00:05:50,744 --> 00:05:53,078
乘以sin(θ(t))

131
00:05:53,078 --> 00:05:55,491
再乘以θ(t)对时间的导数。

132
00:05:55,491 --> 00:05:57,707
那么，我们怎么

133
00:05:57,707 --> 00:05:59,617
求出sin(θ(t))呢？

134
00:05:59,617 --> 00:06:03,369
我们可以使用已知条件。

135
00:06:03,369 --> 00:06:05,319
让我往下面拉动一点，

136
00:06:05,319 --> 00:06:08,140
这样我们有更多的书写空间。

137
00:06:08,140 --> 00:06:11,481
所以sin(θ)，我写在这里，

138
00:06:11,481 --> 00:06:13,100
sin(θ(t))

139
00:06:13,100 --> 00:06:13,933
在t0

140
00:06:14,775 --> 00:06:17,349
时刻，我们关心的是，

141
00:06:17,349 --> 00:06:19,043
t=t0时，

142
00:06:19,043 --> 00:06:21,602
sin(θ(t))等于多少？

143
00:06:21,602 --> 00:06:23,754
正弦等于对边除以斜边。

144
00:06:23,754 --> 00:06:25,935
即

145
00:06:25,935 --> 00:06:27,498
y(t0)

146
00:06:27,498 --> 00:06:29,483
除以斜边，

147
00:06:29,483 --> 00:06:30,566
20米。

148
00:06:32,175 --> 00:06:34,881
等于

149
00:06:34,881 --> 00:06:36,685
因为已知y(t0)是15米，

150
00:06:36,685 --> 00:06:39,030
等于

151
00:06:39,030 --> 00:06:40,280
15米除以以20米。

152
00:06:41,376 --> 00:06:44,224
也即¾ 。

153
00:06:44,224 --> 00:06:46,638
这条黄色的信息，

154
00:06:46,638 --> 00:06:48,677
实际上也告诉了我们，

155
00:06:48,677 --> 00:06:51,594
这项等于¾ 。

156
00:06:51,594 --> 00:06:53,974
所以这里乘以¾ ，

157
00:06:53,974 --> 00:06:56,325
再乘以

158
00:06:56,325 --> 00:06:57,158
θ随时间

159
00:06:58,210 --> 00:06:59,823
的变化率。

160
00:06:59,823 --> 00:07:02,753
现在我们只需要求出这项即可。

161
00:07:02,753 --> 00:07:04,659
-20乘以

162
00:07:04,659 --> 00:07:07,298
¾ 等于多少呢？

163
00:07:07,298 --> 00:07:08,965
等于-15。

164
00:07:10,510 --> 00:07:12,690
这是-15。

165
00:07:12,690 --> 00:07:15,233
方程的两边同时除以-15，

166
00:07:15,233 --> 00:07:16,311
我们得到

167
00:07:16,311 --> 00:07:18,926
θ’(t)等于

168
00:07:18,926 --> 00:07:20,843
3除以-15。

169
00:07:21,833 --> 00:07:23,750
3除以-15。

170
00:07:25,174 --> 00:07:28,466
也就等于

171
00:07:28,466 --> 00:07:30,405
-1/5。

172
00:07:30,405 --> 00:07:32,606
而它的单位是

173
00:07:32,606 --> 00:07:34,920
弧度/分钟。

174
00:07:34,920 --> 00:07:37,277
因为我们的变化率全都以分钟计

175
00:07:37,277 --> 00:07:40,825
所以我应该

176
00:07:40,825 --> 00:07:41,658
写为

177
00:07:42,792 --> 00:07:43,800
弧度/分钟。

178
00:07:43,800 --> 00:07:45,587
把它放在

179
00:07:45,587 --> 00:07:46,616
这里。

180
00:07:46,616 --> 00:07:47,636
这就是结果。

181
00:07:47,636 --> 00:07:51,239
我们求解出了这个问题，它很有意思。

182
00:07:51,239 --> 00:07:53,185
我们有y的值，

183
00:07:53,185 --> 00:07:54,573
而我们可以用y的值来进一步

184
00:07:54,573 --> 00:07:55,959
求出sin(θ(t))的值。

185
00:07:55,959 --> 00:07:59,976
用到的方程包含了x和θ。