WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.869
一个20米长的梯子靠着墙。

00:00:03.869 --> 00:00:08.739
x(t)表示梯子的底部和墙的距离，

00:00:08.739 --> 00:00:12.235
这个距离每分钟增加3米。

00:00:12.235 --> 00:00:15.483
在某个时间点t0,

00:00:15.483 --> 00:00:23.212
梯子的顶部距地面15米，以y(t0)表示。

00:00:23.212 --> 00:00:31.664
那么t0时，梯子和地面的夹角θ(t0)的变化率是多少？

00:00:31.664 --> 00:00:34.058
我来把它画出来。

00:00:34.058 --> 00:00:35.743
第一步，我们应该思考，

00:00:35.743 --> 00:00:37.113
什么样的方程

00:00:37.113 --> 00:00:39.223
能帮助我们解决这个问题。

00:00:39.223 --> 00:00:40.669
然后我们就可以

00:00:40.669 --> 00:00:42.513
进一步地来求解。

00:00:42.513 --> 00:00:45.154
20米的梯子靠着墙。

00:00:45.154 --> 00:00:48.782
让我先来在这里画一面墙。

00:00:48.782 --> 00:00:51.267
这是墙。

00:00:51.267 --> 00:00:54.477
然后我来画20米的梯子。

00:00:54.477 --> 00:00:58.639
像这样。

00:00:58.639 --> 00:01:02.567
这段长度是20米。

00:01:02.567 --> 00:01:06.359
梯子底部和墙之间的距离是x(t)。

00:01:06.359 --> 00:01:08.744
即这段距离。

00:01:08.744 --> 00:01:10.812
即

00:01:10.812 --> 00:01:12.628
这段距离

00:01:12.628 --> 00:01:14.971
是x(t)。

00:01:14.971 --> 00:01:18.340
这段距离每分钟增加3米。

00:01:18.340 --> 00:01:20.654
也就是说，

00:01:20.654 --> 00:01:22.254
x’(t)，

00:01:22.254 --> 00:01:25.323
即dx/dt，

00:01:25.323 --> 00:01:28.680
等于3米，

NOTE Paragraph

00:01:28.680 --> 00:01:32.493
这里如果我写成M/M, 意义不太清楚。

00:01:32.493 --> 00:01:34.643
所以我写为米/分钟，

00:01:34.643 --> 00:01:36.386
这是已知信息。

00:01:36.386 --> 00:01:40.890
这就是x随时间的变化率。

00:01:40.890 --> 00:01:42.858
在t0时刻，

00:01:42.858 --> 00:01:45.638
梯子的顶端距地面

00:01:45.638 --> 00:01:46.799
是15米。

00:01:46.799 --> 00:01:49.983
以梯子的顶部，让我画清楚。

00:01:49.983 --> 00:01:54.560
这里这段距离

00:01:54.560 --> 00:01:57.025
就是y(t)。

00:01:57.025 --> 00:01:58.253
y(t)。

00:01:58.253 --> 00:02:01.406
我们已经知道，在t0时刻，

00:02:01.406 --> 00:02:03.549
y(t)是15米。

00:02:03.549 --> 00:02:04.482
让我写在这里，

00:02:04.482 --> 00:02:08.919
y(t0)等于15米。

00:02:08.919 --> 00:02:12.278
我把它也写在这里。

00:02:12.278 --> 00:02:14.271
这是y(t0)。

00:02:14.271 --> 00:02:15.168
让我们假定

00:02:15.168 --> 00:02:17.482
这是t0时刻的图示，

00:02:17.482 --> 00:02:19.258
这点很重要。

00:02:19.258 --> 00:02:24.415
y(t0)等于15米。

00:02:24.415 --> 00:02:25.394
我们需要求解

00:02:25.394 --> 00:02:28.995
梯子和地面夹角的变化率是多少。

00:02:28.995 --> 00:02:30.243
也就是说θ是

00:02:30.243 --> 00:02:32.296
随时间变化的。

00:02:32.296 --> 00:02:36.617
梯子和地面的夹角θ是时间的函数。

00:02:36.617 --> 00:02:39.608
我用另一个颜色来表示θ。

00:02:39.608 --> 00:02:41.823
θ是这里的这个角度。

00:02:41.823 --> 00:02:44.603
它也是时间的函数。

00:02:44.603 --> 00:02:47.290
对于这类相关变化率问题

00:02:47.290 --> 00:02:49.724
通常我们需要找到一个方程，

00:02:49.724 --> 00:02:51.404
一个代数方程，

00:02:51.404 --> 00:02:53.515
也许涉及到三角函数。

00:02:53.515 --> 00:02:56.515
这个方程要把我们关心的量联系起来。

00:02:56.515 --> 00:02:59.850
然后我们可以对方程的两边求导

00:02:59.850 --> 00:03:03.015
从而把相关变化率联系起来。

00:03:03.015 --> 00:03:04.041
好，我们来看。

00:03:04.041 --> 00:03:06.065
我们想知道

00:03:06.065 --> 00:03:12.417
梯子和地面形成的夹角的变化率在t0时刻的值。

00:03:12.417 --> 00:03:13.562
所以我们想求出

00:03:13.562 --> 00:03:18.094
t0时刻，θ‘的值。

00:03:18.094 --> 00:03:20.811
这是我们需要求解的。

00:03:20.811 --> 00:03:22.953
我们已知

00:03:22.953 --> 00:03:25.078
x随时间的变化率

00:03:25.078 --> 00:03:27.459
是一个常数

00:03:27.459 --> 00:03:29.714
3米每分钟。

00:03:29.714 --> 00:03:33.345
而且，我们知道y在t0时的值。

00:03:33.345 --> 00:03:36.911
那么我们来看，我们能否能建立一个关系，

00:03:36.911 --> 00:03:38.883
因为我们已知dx/dt,

00:03:38.883 --> 00:03:43.251
如果能找到x和θ之间的关系会非常有用，

00:03:43.251 --> 00:03:46.013
然后我们对方程两边求导

00:03:46.013 --> 00:03:48.287
然后也许可以使用这条信息

00:03:48.287 --> 00:03:52.643
来算出x或θ在t0的值。

00:03:52.643 --> 00:03:54.333
好我们开始。

00:03:54.333 --> 00:03:57.030
怎样把x和t联系起来呢？

00:03:57.030 --> 00:04:00.275
我们可以在这里用到三角函数公式。

00:04:00.275 --> 00:04:07.745
这条斜边乘以cos(θ)得到x。

00:04:07.745 --> 00:04:09.211
我把公式写在这里，

00:04:09.211 --> 00:04:12.310
x(t)

00:04:12.310 --> 00:04:13.711
等于

00:04:13.711 --> 00:04:15.094
这条斜边

00:04:15.094 --> 00:04:17.404
20米，也就是梯子的长度，

00:04:17.404 --> 00:04:18.357
乘以

00:04:18.357 --> 00:04:22.073
cos(θ)。

00:04:22.073 --> 00:04:24.304
应该写成cos(θ(t))

00:04:24.304 --> 00:04:27.312
以表明它是时间的函数。

00:04:27.312 --> 00:04:30.114
这是三角函数公式。

00:04:30.114 --> 00:04:34.261
事实上，这是基本的三角函数的定义。

00:04:34.261 --> 00:04:36.964
为什么它是有用的呢？

00:04:36.964 --> 00:04:37.984
来，我们来看看，

00:04:37.984 --> 00:04:41.668
当我们用链式法则对两边求导时会发生什么。

00:04:41.668 --> 00:04:42.944
方程左边，

00:04:42.944 --> 00:04:47.615
我们得到x’(t)。

00:04:47.615 --> 00:04:48.944
它等于，

00:04:48.944 --> 00:04:51.270
方程右边是什么呢？

00:04:51.270 --> 00:04:52.450
应用链式法则，

00:04:52.450 --> 00:04:55.522
首先，方程右边对θ求导。

00:04:55.522 --> 00:04:56.923
我们会得到

00:04:56.923 --> 00:04:58.466
-20

00:04:58.466 --> 00:05:02.499
sin(θ(t))

00:05:02.499 --> 00:05:03.416
。

00:05:04.286 --> 00:05:06.223
再

00:05:06.223 --> 00:05:08.140
乘以θ’(t)。

00:05:09.233 --> 00:05:11.748
接下来这么做，

00:05:11.748 --> 00:05:16.052
t0时刻，我们知道x’(t)的值。

00:05:16.052 --> 00:05:19.355
再求出sin(θ(t))的值。

00:05:19.355 --> 00:05:21.845
那么我们就可以解出

00:05:21.845 --> 00:05:22.845
这一项的值。

00:05:22.845 --> 00:05:24.140
我们开始。

00:05:24.140 --> 00:05:25.557
t0时刻，

00:05:26.839 --> 00:05:29.214
当t等于

00:05:29.214 --> 00:05:30.131
t0时。

00:05:31.091 --> 00:05:33.230
x’(t)是多少。

00:05:33.230 --> 00:05:35.500
在任何时刻，它都等于3米每分钟。

00:05:35.500 --> 00:05:37.974
我们假设变化率是米/分钟。

00:05:37.974 --> 00:05:39.990
而且距离的单位

00:05:39.990 --> 00:05:41.403
是米，

00:05:41.403 --> 00:05:42.702
而角度的单位是弧度。

00:05:42.702 --> 00:05:46.191
所以，这里

00:05:46.191 --> 00:05:47.763
等于

00:05:47.763 --> 00:05:48.680
-20

00:05:50.744 --> 00:05:53.078
乘以sin(θ(t))

00:05:53.078 --> 00:05:55.491
再乘以θ(t)对时间的导数。

00:05:55.491 --> 00:05:57.707
那么，我们怎么

00:05:57.707 --> 00:05:59.617
求出sin(θ(t))呢？

00:05:59.617 --> 00:06:03.369
我们可以使用已知条件。

00:06:03.369 --> 00:06:05.319
让我往下面拉动一点，

00:06:05.319 --> 00:06:08.140
这样我们有更多的书写空间。

00:06:08.140 --> 00:06:11.481
所以sin(θ)，我写在这里，

00:06:11.481 --> 00:06:13.100
sin(θ(t))

00:06:13.100 --> 00:06:13.933
在t0

00:06:14.775 --> 00:06:17.349
时刻，我们关心的是，

00:06:17.349 --> 00:06:19.043
t=t0时，

00:06:19.043 --> 00:06:21.602
sin(θ(t))等于多少？

00:06:21.602 --> 00:06:23.754
正弦等于对边除以斜边。

00:06:23.754 --> 00:06:25.935
即

00:06:25.935 --> 00:06:27.498
y(t0)

00:06:27.498 --> 00:06:29.483
除以斜边，

00:06:29.483 --> 00:06:30.566
20米。

00:06:32.175 --> 00:06:34.881
等于

00:06:34.881 --> 00:06:36.685
因为已知y(t0)是15米，

00:06:36.685 --> 00:06:39.030
等于

00:06:39.030 --> 00:06:40.280
15米除以以20米。

00:06:41.376 --> 00:06:44.224
也即¾ 。

00:06:44.224 --> 00:06:46.638
这条黄色的信息，

00:06:46.638 --> 00:06:48.677
实际上也告诉了我们，

00:06:48.677 --> 00:06:51.594
这项等于¾ 。

00:06:51.594 --> 00:06:53.974
所以这里乘以¾ ，

00:06:53.974 --> 00:06:56.325
再乘以

00:06:56.325 --> 00:06:57.158
θ随时间

00:06:58.210 --> 00:06:59.823
的变化率。

00:06:59.823 --> 00:07:02.753
现在我们只需要求出这项即可。

00:07:02.753 --> 00:07:04.659
-20乘以

00:07:04.659 --> 00:07:07.298
¾ 等于多少呢？

00:07:07.298 --> 00:07:08.965
等于-15。

00:07:10.510 --> 00:07:12.690
这是-15。

00:07:12.690 --> 00:07:15.233
方程的两边同时除以-15，

00:07:15.233 --> 00:07:16.311
我们得到

00:07:16.311 --> 00:07:18.926
θ’(t)等于

00:07:18.926 --> 00:07:20.843
3除以-15。

00:07:21.833 --> 00:07:23.750
3除以-15。

00:07:25.174 --> 00:07:28.466
也就等于

00:07:28.466 --> 00:07:30.405
-1/5。

00:07:30.405 --> 00:07:32.606
而它的单位是

00:07:32.606 --> 00:07:34.920
弧度/分钟。

00:07:34.920 --> 00:07:37.277
因为我们的变化率全都以分钟计

00:07:37.277 --> 00:07:40.825
所以我应该

00:07:40.825 --> 00:07:41.658
写为

00:07:42.792 --> 00:07:43.800
弧度/分钟。

00:07:43.800 --> 00:07:45.587
把它放在

00:07:45.587 --> 00:07:46.616
这里。

00:07:46.616 --> 00:07:47.636
这就是结果。

00:07:47.636 --> 00:07:51.239
我们求解出了这个问题，它很有意思。

00:07:51.239 --> 00:07:53.185
我们有y的值，

00:07:53.185 --> 00:07:54.573
而我们可以用y的值来进一步

00:07:54.573 --> 00:07:55.959
求出sin(θ(t))的值。

00:07:55.959 --> 00:07:59.976
用到的方程包含了x和θ。