Problemas de série geométrica: caminhada

o Olá tudo bem Você vai assistir agora

mais uma aula de matemática e nessa aula

vamos resolver um exemplo sobre a série

geométrica esse exemplo diz o seguinte

Sara realizou uma caminhada de quatro

dias a cada dia ela caminhava Vinte por

cento a mais que a distância que ela

caminhou No dia anterior ela caminhou 27

km no total Qual é a distância que assar

andou no primeiro dia da viagem

arredonde a resposta final para o

quilômetros mais próximo como sempre

pause o vídeo tem que encontrar a

resposta ok tentou Vamos fazer juntos

agora Inicialmente vamos chamar o valor

que ela caminhou no primeiro dia dia e

com isso vamos montar uma expressão para

determinar o quanto ela caminhou no

total Lembrando que no total ela

caminhou 27 km com essa expressão vamos

ver se conseguimos resolver então no

primeiro dia Alan dou a quilômetros e no

segundo dia bem foi dia a cada dia ela

caminhou Vinte por cento a mais do que

ela caminhou No dia anterior então no

dia seguinte ela vai andar Vinte por

cento a mais do que ela caminhou No dia

anterior que foi a quilômetros então

teremos aqui 1,2 x Ah e quanto ao dia

depois disso Ou seja no terceiro dia bem

isso vai ser 1,2 x O que foi caminhado

no segundo dia sendo assim teremos aqui

1,2 x 1,2 ou de forma mais simples

podemos dizer

1,2 ao quadrado vezes ar e quanto no

quarto dia como vimos ela realizou uma

caminhada de 4 dias Então esse é o

último dia isso vai ser 1,2 vezes o que

foi encaminhado no terceiro dia então

você vai ser 1,2 a terceira potência

vezes ar ótimo essa é uma expressão para

determinar o quanto ela caminhou nos

quatro dias e sabemos que ela caminhou

um total de 27 km então isso vai ser

igual a 27 km e agora você pode resolver

isso e encontrar o ar aqui para isso

você pode faturar o ar e com isso ter a

vezes um mais 1,2 mais 1,2 ao quadrado

mais 1,2 a terceira potência e tudo isso

sendo igual a 27 dessa forma a gente vai

ter aqui que a = 27

sobre um mais 1,2 mais 1,2 é o quadrado

mais 1,2 a terceira potência aí sem

dúvida precisaríamos de uma calculadora

para fazer o cálculo mas fazendo assim

chegaríamos a resposta tranquilamente o

caso é que eu vou usar aqui uma técnica

diferente uma técnica que vai funcionar

mesmo quando a gente tiver 20 termos

aqui bem não seria muito difícil fazer o

cálculo dessa forma que eu fiz com 20

termos mas imagina se a gente tivesse

aqui 200 termos eu só ficaria

incrivelmente eu mais difícil e com a

outra forma vai ficar bem mais simples

mas que maneira diferente é essa podemos

resolver esse problema através da

fórmula de uma série geométrica infinita

e o que isso faz basicamente o sul

realiza a soma dos primeiros n termos e

para fazer isso teremos a seguinte

expressão a que vai ser o primeiro termo

menos a vezes a nossa proporção comum

que chamamos GR Mas aí nosso caso é 1,2

já que cada termo-sucessivo = 1,2 vezes

o termo anterior sendo assim podemos

colocar aqui o r elevado à enésima

potência tudo isso sobre um menos a

proporção comum R em outros vídeos

explicamos de onde vem isso mas aqui

estamos apenas utilizando isso aqui para

resolver um problema de aplicação já

sabemos o que é o nosso ar e usei isso

aqui como a nossa variável Nossa

proporção comum nessa situação vai ser

igual a 1,2 e o nó e ele vai ser igual a

quatro outra forma que eu gosto de

pensar sobre isso é que temos aqui o

nosso primeiro termo que nós vemos aqui

e aí eu sou menos o último termo se

tivéssemos um quinto termo aqui a gente

utilizaria ele aí tudo isso sobre um

menos a proporção comum com isso essa

lado esquerdo da nossa equação pode ser

reescrito da seguinte forma a menos a

vezes 1,2 elevado a quarta potência e

tudo isso sobre um menos a nossa

proporção comum que é 1,2 aí e eu sou

igual a 27 repare que podemos

simplificar isso aqui é um pouco aqui no

denominador teremos 0,2 negativo e no

numerador podemos faturar o ar aí isso

vai ser igual a às vezes um menos 1,2 a

quarta potência aqui podemos multiplicar

o numerador eo denominador por menos um

com isso teremos eu vou colocar aqui o

ar fora da fração Aí temos aqui às vezes

eu vou trocar aqui as posições para a

gente se livrar do negativo então

teremos aqui 1,2 elevado a quarta

potência a menos 1 sobre 0,2 e tudo isso

= 27 novamente tudo que eu fiz aqui para

colocar o ar multiplicando a fração aí

eu multipliquei o numerador eo

denominador por menos um o numerador x

menos 1 faz com que os sinais aqui

desses termos no numerador sejam

trocados aí por isso que eu troquei de

posição para ficar melhor e claro

multiplicando 0,2 negativo por menos um

a gente acaba obtendo 0,2 positivo agora

eu posso simplesmente multiplicar os

dois lados da equação pelo inverso disso

aqui eu vou fazer aqui assim teremos 0,2

sobre 1,2 elevado a quarta potência - 1

e aqui do outro lado a mesma coisa

multiplicamos isso por 0,2 sobre 1,2

aqui e isso é menos um isso aqui cancela

com isso e isso cancela com isso porque

exatamente por isso que eu fiz isso aqui

Aí ficamos com a sendo igual a 27 x 0,2

sobre 1,2 elevado a quarta potência

menos um essa expressão vai nos fornecer

exatamente o mesmo valor que a expressão

que acabamos de ver só que utilizando

essa expressão teremos maior facilidade

pois poderemos fazer isso com muito mais

termos Enfim vou pegar a calculadora

aqui para resolver então teremos aqui na

verdade eu vou calcular esse denominador

primeiro então eu terei 1,2 elevado a

quarta potência aí esse resultado aqui

menos um bem é isso que temos no

denominador agora a gente pode pegar o

inverso disso aqui e a multiplicar por

27 ao encontrar esse resultado

multiplicamos por 0,2 e pronto chegamos

aproximadamente

5,0

2985 vi eu quero 298 km porém a questão

está pedindo que a resposta seja

redondada para o quilômetros mais

próximo então isso vai ser

aproximadamente igual a 5 km e essa foi

a distância percorrida pela sala no

primeiro dia de caminhada Eu espero que

você tenha compreendido tudo direitinho

que vimos aqui e mais uma vez eu quero

deixar para você um grande abraço e até

a próxima