Inverse Trig Functions: Arcsin

Ja es tev pieietu uz ielas un pajautātu –

nē, tik treknā šriftā negribēju rakstīt –

saki, lūdzu, cik ir sīnuss
no pī dalīts ar 4?

Mēs, protams, runājam
par vērtību radiānos.

Tu to būsi vai nu iemācījies no galvas,

vai arī uzzīmēsi vienības riņķi,
lai atrastu atbildi.

Nav pats skaistākais vienības riņķis,
bet priekšstatam derēs.

Tu atliktu leņķi ar platumu
pī dalīts ar 4 radiāni,

kas ir tas pats, kas 45 grādu leņķis.

Atbilstošajā riņķa vietā
tu novilktu rādiusu.

Un sinuss ir y koordināta šim punktam
uz vienības riņķa līnijas.

Tātad mēs gribam noskaidrot šo te vērtību.

Mums tātad ir dots,
ka šis ir 45 grādu leņķis.

Pārzīmēšu šo trijstūri mazliet lielāku.

Trijstūris izskatās šādi.

Šis ir 45 grādu leņķis,

tas ir 45 grādu leņķis,

un šeit ir 90 grādi.

Nu varam vajadzīgo aprēķināt
trijstūrī ar 45, 45 un 90 grādu leņķiem.

Hipotenūza ir 1 vienību gara.

Šī mala ir x, un šī mala ir x.

Abas malas ir vienāda garuma,
jo šis ir vienādsānu trijstūris.

Leņķi pie pamata ir vienādi.

Tātad x kvadrātā plus x kvadrātā

ir vienāds ar 1 kvadrātā, kas ir 1.

2 reiz x kvadrātā ir vienāds ar 1;

x kvadrātā ir vienāds ar 1/2.

X ir vienāds ar kvadrātsakni no 1/2,

un tas ir 1 dalīts ar kvadrātsakni no 2.

Varam to izteikt racionālā formā,

pareizinot visu daļu
ar kvadrātsakni no 2,

dalīts ar kvadrātsakni no 2.

Iegūstam, ka x ir vienāds
ar kvadrātsakni no 2 dalīts ar 2.

Tātad šis augstums ir
kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

Un tikpat garš būs arī šis attālums.

Taču mums vajag tikai augstumu,

jo sinusa vērtība, šī leņķa sinuss,

atbilst šim augstumam – y koordinātai.

Un mēs noskaidrojām,
ka tas ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

Tas viss ir atkārtojums – mēs to apguvām

vienības riņķa video.

Bet ja nu kādu citu dienu
es pienāktu tev klāt un pajautātu:

"Saki, lūdzu, –

saki, lūdzu, cik ir arksinuss

no kvadrātsaknes no 2 dalīts ar 2?"

Kas ir arksinuss?

Tu, iespējams, apjuktu –
tu zini, kas ir leņķa sinuss,

bet te Salmans runā par kaut kādu
jaunu trigonometrisko funkciju.

Taču patiesībā vienīgais, kas jāzina,
ja vārda sākumā ir šī "ark" daļa...

to reizēm dēvē
arī par inversā sinusa funkciju

un to varētu pierakstīt arī šādi:

kāds ir inversais sinuss
no kvadrātsaknes no 2 dalīts ar 2?

Būtībā tiek jautāts,
kādam leņķim jānosaka sinuss,

lai iegūtā vērtība būtu
kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

Arī šeit tiek jautāts,
kādam leņķim jānosaka sinuss,

lai iegūtu kvadrātsakni no 2 dalīts ar 2.

Abas šīs izteiksmes varam pārrakstīt –

un to arī darīsim –

abas šīs izteiksmes varam pārrakstīt šādi:

kāda leņķa sinuss ir vienāds
ar kvadrātsakni no 2 dalīts ar 2?

Uz šo jautājumu, manuprāt,
ir daudz vieglāk atbildēt.

Kāda leņķa sinuss
ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2?

Pirms brīža noskaidrojām,
ka sinuss no pī dalīts ar 4

ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

Tātad šajā gadījumā zinām,
ka sinuss no pī dalīts ar 4

ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2,

un mūsu jautājuma zīme
ir vienāda ar pī dalīts ar 4.

Vai arī varam šo pārrakstīt šādi –

atvaino –

arksinuss
no kvadrātsaknes no 2 dalīts ar 2

ir vienāds ar pī dalīts ar 4.

Atkārtosim vēlreiz –

es nosaucu vērtību un jautāju,
no kāda leņķa tā iegūstama.

Kāda leņķa sinuss dos šādu vērtību?

Bet tu saki: "Klau, Salman... –

tas būs šajā vietā –

šī atbilde der leņķim pī dalīts ar 4,
tā der 45 grādu leņķim.

Bet es varētu pieskaitīt 360 grādus

jeb 2 pī radiānus,

un arī tiem leņķiem derētu šī atbilde,

jo es nonāktu tajā pašā
vienības riņķa vietā, vai ne?"

Tev taisnība.

Tātad sanāk, ka visi šie leņķi
ir iespējamās atbildes!

Jo ikvienam no šiem leņķiem sinuss būtu...

Atliek tikai pieskaitīt vēl 360 grādus,

un katra šāda leņķa sinuss būtu

kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

Rodas problēma.

Nepastāv funkcija –

nepastāv funkcija f no x,

kura ar vienu x pieņem vairākas vērtības!

Tam atbilst pī dalīts ar 4

vai pī dalīts ar 4 plus 2 pī,

vai pī dalīts ar 4 plus 4 pī.

Lai funkcija būtu patiesa,

lai šī inversā sinusa funkcija
būtu patiesa,

mums jāierobežo
funkcijas vērtību apgabals.

Ierobežosim to visdabiskākajā vietā.

Ierobežosim tātad
funkcijas vērtību apgabalu.

Un maza atkāpīte – kāds ir
šīs funkcijas definīcijas apgabals?

Ja es nosaku arksinusu –

ja es nosaku kāda leņķa arksinusu

un saku, ka tas ir vienāds ar tētu,

kāds ir šīs funkcijas
definīcijas apgabals,

kādas ir iespējamās x vērtības?

Ar ko var būt vienāds x?

Jebkuram leņķim

sinusa iespējamās vērtības
ir starp 1 un mīnus 1, vai ne?

Tātad x būs lielāks vai
vienāds ar mīnus 1

un mazāks vai vienāds ar 1.

Tas ir funkcijas definīcijas apgabals.

Tālāk, lai šī funkcija būtu patiesa,

jāierobežo tās vērtību apgabals
jeb iespējamās vērtības.

Jāierobežo vērtību apgabals.

Par arksinusa vērtību apgabalu
pieņem pirmo un ceturto kvadrantu,

tātad iespējamie leņķi

atrodas šajā vienības riņķa daļā –

tēta ir mazāka vai vienāda
ar pī dalīts ar 2

un lielāka vai vienāda
ar mīnus pī dalīts ar 2.

Tagad, kad saprotam, kas ir arksinuss,

atrisināsim vēl vienu uzdevumu.

Atradīsim brīvu vietu un atrisināsim
vēl vienu arksinusa uzdevumu.

Es varētu pajautāt, piemēram,
cik ir arksinuss –

cik ir arksinuss

no mīnus kvadrātsaknes no 3 dalīts ar 2 –

no mīnus kvadrātsaknes no 3 dalīts ar 2.

Varbūt tu uzreiz zini atbildi,

ka sinuss no x jeb sinuss no tētas
ir kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

Bet es to nezinu no galvas,

tāpēc uzzīmēšu vienības riņķi.

Ja runa ir par arksinusu,

pietiek uzzīmēt tikai pirmo
un ceturto vienības riņķa kvadrantu.

Lūk, y ass,

un te – x ass.

Atzīmējam x un y.

Tātad – ko mēs zinām?

Ja leņķa sinuss ir
mīnus kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2,

tas nozīmē, ka y koordināta
uz vienības riņķa līnijas

ir mīnus kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

Tas būs aptuveni – tas būs aptuveni šeit.

Tātad te būs
mīnus kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

Tik tālu mēs būtu tikuši.

Kādam leņķim atbilst šī vērtība?

Padomāsim.

Mūsu y koordināta ir
mīnus kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

Lūk, arī leņķis.

Tas būs negatīvs leņķis,

jo tas ir zem x ass
pulksteņrādītāja virzienā.

Lai šo atrisinātu, uzzīmēsim trijstūrīti –

atradīšu labāku krāsu –

lūk, trijstūris.

Zīmēšu ar zilu.

Uzzīmēsim šeit
šo trijstūri lielākā izmērā – šādi.

Te ir tēta.

Un kāds būs šīs malas garums?

Tas atbilst y augstumam,
ja varam to tā nosaukt,

un tas ir kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

Zem x ass tas ir ar mīnus zīmi,
bet pagaidām izrēķināsim leņķi.

Mēs zinām, ka tas būs negatīvs.

Ceru, ka, redzot kvadrātsakni no 3
dalīts ar 2,

tu atpazīsti trijstūri
ar 30,60, 90 grādu leņķiem.

Šī mala ir kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2,
tā ir 1/2,

un šī mala, protams, ir 1,

jo šis ir vienības riņķis
un tā rādiuss ir 1.

Trijstūrī ar 30, 60 un 90 grādu leņķiem

kvadrātsaknei no 3 dalīts ar 2
pretī atrodas 60 grādu leņķis.

Un šeit ir 30 grādu leņķis.

Tātad mūsu tētas lielums ir 60 grādi.

Taču tas ir lejupvērsts,

tāpēc tie būs mīnus 60 grādi.

Tātad leņķis tēta ir mīnus 60 grādi.

Bet grādi mums vēl jāpārvērš radiānos –

jāsareizina šis ar 180 –
atvaino, kļūdījos –

ar pī radiāniem uz katriem 180 grādiem.

Grādus varam noīsināt,

un rezultātā iegūstam,

ka tēta ir vienāda
ar mīnus pī dalīts ar 3 radiāniem.

Tātad tagad varam apgalvot,

ka arksinuss –

ka arksinuss
no mīnus kvadrātsaknes no 3 dalīts ar 2

ir vienāds ar mīnus pī
dalīts ar 3 radiāniem.

Varam arī teikt, ka inversais sinuss
no mīnus kvadrātsaknes no 3 dalīts ar 2

ir vienāds ar mīnus pī
dalīts ar 3 radiāniem.

Lai pārliecinātos, ka atbilde ir pareiza,
ņemsim talkā kalkulatoru.

Es jau esmu iestatījis radiānus.

Tu vari to pārbaudīt,
nospiežot "2nd" un "Mode".

Mans kalkulators ir radiānu režīmā.

Cerams, ka varēšu apstiprināt
atbildes pareizību.

Es tātad gribu noskaidrot inverso sinusu –

"2nd" un tad "sin" podziņa –

no mīnus kvadrātsaknes no 3 dalīts ar 2.

Tas ir vienāds ar mīnus 1,04.

Kalkulators saka,
ka šis ir vienāds ar mīnus 1,04 radiāniem.

Tātad pī dalīts ar 3
jābūt vienādam ar 1,04.

Pārbaudīsim.

Ja pārbaudu mīnus pī dalīts ar 3,

cik sanāks?

Sanāk tieši tikpat.

Ar kalkulatoru
ieguvām tieši to pašu vērtību,

taču kalkulators nedod atbildi
mīnus pī dalīts ar 3 formā.