WEBVTT

00:00:00.349 --> 00:00:04.717
Ja es tev pieietu uz ielas un pajautātu –

00:00:04.717 --> 00:00:07.200
nē, tik treknā šriftā negribēju rakstīt –

00:00:07.200 --> 00:00:11.710
saki, lūdzu, cik ir sīnuss
no pī dalīts ar 4?

00:00:11.710 --> 00:00:14.950
Mēs, protams, runājam
par vērtību radiānos.

00:00:14.950 --> 00:00:17.050
Tu to būsi vai nu iemācījies no galvas,

00:00:17.050 --> 00:00:19.960
vai arī uzzīmēsi vienības riņķi,
lai atrastu atbildi.

00:00:19.960 --> 00:00:23.130
Nav pats skaistākais vienības riņķis,
bet priekšstatam derēs.

00:00:23.130 --> 00:00:26.483
Tu atliktu leņķi ar platumu
pī dalīts ar 4 radiāni,

00:00:26.483 --> 00:00:29.760
kas ir tas pats, kas 45 grādu leņķis.

00:00:29.760 --> 00:00:31.960
Atbilstošajā riņķa vietā
tu novilktu rādiusu.

00:00:31.960 --> 00:00:36.250
Un sinuss ir y koordināta šim punktam
uz vienības riņķa līnijas.

00:00:36.250 --> 00:00:39.010
Tātad mēs gribam noskaidrot šo te vērtību.

00:00:39.010 --> 00:00:42.630
Mums tātad ir dots,
ka šis ir 45 grādu leņķis.

00:00:42.630 --> 00:00:45.530
Pārzīmēšu šo trijstūri mazliet lielāku.

00:00:45.530 --> 00:00:47.530
Trijstūris izskatās šādi.

00:00:47.530 --> 00:00:49.210
Šis ir 45 grādu leņķis,

00:00:49.210 --> 00:00:50.900
tas ir 45 grādu leņķis,

00:00:50.900 --> 00:00:53.790
un šeit ir 90 grādi.

00:00:53.790 --> 00:00:57.330
Nu varam vajadzīgo aprēķināt
trijstūrī ar 45, 45 un 90 grādu leņķiem.

00:00:57.330 --> 00:00:59.040
Hipotenūza ir 1 vienību gara.

00:00:59.040 --> 00:01:00.640
Šī mala ir x, un šī mala ir x.

00:01:00.640 --> 00:01:04.920
Abas malas ir vienāda garuma,
jo šis ir vienādsānu trijstūris.

00:01:04.920 --> 00:01:07.010
Leņķi pie pamata ir vienādi.

00:01:07.010 --> 00:01:09.660
Tātad x kvadrātā plus x kvadrātā

00:01:09.660 --> 00:01:12.960
ir vienāds ar 1 kvadrātā, kas ir 1.

00:01:12.960 --> 00:01:15.200
2 reiz x kvadrātā ir vienāds ar 1;

00:01:15.200 --> 00:01:17.440
x kvadrātā ir vienāds ar 1/2.

00:01:17.440 --> 00:01:20.280
X ir vienāds ar kvadrātsakni no 1/2,

00:01:20.280 --> 00:01:22.860
un tas ir 1 dalīts ar kvadrātsakni no 2.

00:01:22.860 --> 00:01:24.500
Varam to izteikt racionālā formā,

00:01:24.500 --> 00:01:27.820
pareizinot visu daļu
ar kvadrātsakni no 2,

00:01:27.820 --> 00:01:31.230
dalīts ar kvadrātsakni no 2.

00:01:31.230 --> 00:01:34.950
Iegūstam, ka x ir vienāds
ar kvadrātsakni no 2 dalīts ar 2.

00:01:34.950 --> 00:01:38.770
Tātad šis augstums ir
kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

00:01:38.770 --> 00:01:41.740
Un tikpat garš būs arī šis attālums.

00:01:41.740 --> 00:01:43.278
Taču mums vajag tikai augstumu,

00:01:43.278 --> 00:01:46.100
jo sinusa vērtība, šī leņķa sinuss,

00:01:46.100 --> 00:01:49.180
atbilst šim augstumam – y koordinātai.

00:01:49.180 --> 00:01:52.910
Un mēs noskaidrojām,
ka tas ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

00:01:52.910 --> 00:01:58.070
Tas viss ir atkārtojums – mēs to apguvām

00:01:58.070 --> 00:02:00.210
vienības riņķa video.

00:02:00.210 --> 00:02:04.020
Bet ja nu kādu citu dienu
es pienāktu tev klāt un pajautātu:

00:02:04.020 --> 00:02:06.740
"Saki, lūdzu, –

00:02:06.740 --> 00:02:11.870
saki, lūdzu, cik ir arksinuss

00:02:11.870 --> 00:02:14.930
no kvadrātsaknes no 2 dalīts ar 2?"

00:02:14.930 --> 00:02:16.200
Kas ir arksinuss?

00:02:16.200 --> 00:02:18.920
Tu, iespējams, apjuktu –
tu zini, kas ir leņķa sinuss,

00:02:18.920 --> 00:02:24.480
bet te Salmans runā par kaut kādu
jaunu trigonometrisko funkciju.

00:02:24.480 --> 00:02:28.250
Taču patiesībā vienīgais, kas jāzina,
ja vārda sākumā ir šī "ark" daļa...

00:02:28.250 --> 00:02:30.810
to reizēm dēvē
arī par inversā sinusa funkciju

00:02:30.810 --> 00:02:33.590
un to varētu pierakstīt arī šādi:

00:02:33.590 --> 00:02:38.520
kāds ir inversais sinuss
no kvadrātsaknes no 2 dalīts ar 2?

00:02:38.520 --> 00:02:44.325
Būtībā tiek jautāts,
kādam leņķim jānosaka sinuss,

00:02:44.325 --> 00:02:48.340
lai iegūtā vērtība būtu
kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

00:02:48.340 --> 00:02:52.260
Arī šeit tiek jautāts,
kādam leņķim jānosaka sinuss,

00:02:52.260 --> 00:02:54.650
lai iegūtu kvadrātsakni no 2 dalīts ar 2.

00:02:54.650 --> 00:03:00.658
Abas šīs izteiksmes varam pārrakstīt –

00:03:00.658 --> 00:03:02.330
un to arī darīsim –

00:03:02.330 --> 00:03:05.650
abas šīs izteiksmes varam pārrakstīt šādi:

00:03:05.650 --> 00:03:11.340
kāda leņķa sinuss ir vienāds
ar kvadrātsakni no 2 dalīts ar 2?

00:03:11.340 --> 00:03:15.820
Uz šo jautājumu, manuprāt,
ir daudz vieglāk atbildēt.

00:03:15.820 --> 00:03:18.470
Kāda leņķa sinuss
ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2?

00:03:18.470 --> 00:03:21.950
Pirms brīža noskaidrojām,
ka sinuss no pī dalīts ar 4

00:03:21.950 --> 00:03:24.080
ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

00:03:24.080 --> 00:03:28.160
Tātad šajā gadījumā zinām,
ka sinuss no pī dalīts ar 4

00:03:28.160 --> 00:03:30.682
ir kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2,

00:03:30.682 --> 00:03:35.760
un mūsu jautājuma zīme
ir vienāda ar pī dalīts ar 4.

00:03:35.760 --> 00:03:40.270
Vai arī varam šo pārrakstīt šādi –

00:03:40.270 --> 00:03:42.400
atvaino –

00:03:42.400 --> 00:03:47.190
arksinuss
no kvadrātsaknes no 2 dalīts ar 2

00:03:47.190 --> 00:03:51.940
ir vienāds ar pī dalīts ar 4.

00:03:51.940 --> 00:03:55.040
Atkārtosim vēlreiz –

00:03:55.040 --> 00:03:58.630
es nosaucu vērtību un jautāju,
no kāda leņķa tā iegūstama.

00:03:58.630 --> 00:04:01.590
Kāda leņķa sinuss dos šādu vērtību?

00:04:01.590 --> 00:04:03.950
Bet tu saki: "Klau, Salman... –

00:04:03.950 --> 00:04:05.120
tas būs šajā vietā –

00:04:05.120 --> 00:04:08.650
šī atbilde der leņķim pī dalīts ar 4,
tā der 45 grādu leņķim.

00:04:08.650 --> 00:04:11.180
Bet es varētu pieskaitīt 360 grādus

00:04:11.180 --> 00:04:13.220
jeb 2 pī radiānus,

00:04:13.220 --> 00:04:15.800
un arī tiem leņķiem derētu šī atbilde,

00:04:15.800 --> 00:04:18.870
jo es nonāktu tajā pašā
vienības riņķa vietā, vai ne?"

00:04:18.870 --> 00:04:20.051
Tev taisnība.

00:04:20.051 --> 00:04:24.997
Tātad sanāk, ka visi šie leņķi
ir iespējamās atbildes!

00:04:24.997 --> 00:04:27.700
Jo ikvienam no šiem leņķiem sinuss būtu...

00:04:27.700 --> 00:04:29.720
Atliek tikai pieskaitīt vēl 360 grādus,

00:04:29.720 --> 00:04:31.740
un katra šāda leņķa sinuss būtu

00:04:31.740 --> 00:04:33.540
kvadrātsakne no 2 dalīts ar 2.

00:04:33.540 --> 00:04:34.500
Rodas problēma.

00:04:34.500 --> 00:04:36.946
Nepastāv funkcija –

00:04:36.946 --> 00:04:39.450
nepastāv funkcija f no x,

00:04:39.450 --> 00:04:42.020
kura ar vienu x pieņem vairākas vērtības!

00:04:42.020 --> 00:04:44.640
Tam atbilst pī dalīts ar 4

00:04:44.640 --> 00:04:48.340
vai pī dalīts ar 4 plus 2 pī,

00:04:48.340 --> 00:04:52.330
vai pī dalīts ar 4 plus 4 pī.

00:04:52.330 --> 00:04:54.840
Lai funkcija būtu patiesa,

00:04:54.840 --> 00:04:57.920
lai šī inversā sinusa funkcija
būtu patiesa,

00:04:57.920 --> 00:05:00.410
mums jāierobežo
funkcijas vērtību apgabals.

00:05:00.410 --> 00:05:04.710
Ierobežosim to visdabiskākajā vietā.

00:05:04.710 --> 00:05:06.950
Ierobežosim tātad
funkcijas vērtību apgabalu.

00:05:06.950 --> 00:05:10.120
Un maza atkāpīte – kāds ir
šīs funkcijas definīcijas apgabals?

00:05:10.120 --> 00:05:13.160
Ja es nosaku arksinusu –

00:05:13.160 --> 00:05:17.240
ja es nosaku kāda leņķa arksinusu

00:05:17.240 --> 00:05:20.350
un saku, ka tas ir vienāds ar tētu,

00:05:20.350 --> 00:05:22.350
kāds ir šīs funkcijas
definīcijas apgabals,

00:05:22.350 --> 00:05:24.642
kādas ir iespējamās x vērtības?

00:05:24.642 --> 00:05:27.360
Ar ko var būt vienāds x?

00:05:27.360 --> 00:05:30.120
Jebkuram leņķim

00:05:30.120 --> 00:05:33.890
sinusa iespējamās vērtības
ir starp 1 un mīnus 1, vai ne?

00:05:33.890 --> 00:05:37.680
Tātad x būs lielāks vai
vienāds ar mīnus 1

00:05:37.680 --> 00:05:39.310
un mazāks vai vienāds ar 1.

00:05:39.310 --> 00:05:41.570
Tas ir funkcijas definīcijas apgabals.

00:05:41.570 --> 00:05:43.700
Tālāk, lai šī funkcija būtu patiesa,

00:05:43.700 --> 00:05:46.390
jāierobežo tās vērtību apgabals
jeb iespējamās vērtības.

00:05:46.390 --> 00:05:47.790
Jāierobežo vērtību apgabals.

00:05:47.790 --> 00:05:52.630
Par arksinusa vērtību apgabalu
pieņem pirmo un ceturto kvadrantu,

00:05:52.630 --> 00:05:55.240
tātad iespējamie leņķi

00:05:55.240 --> 00:05:58.750
atrodas šajā vienības riņķa daļā –

00:05:58.750 --> 00:06:04.690
tēta ir mazāka vai vienāda
ar pī dalīts ar 2

00:06:04.690 --> 00:06:11.180
un lielāka vai vienāda
ar mīnus pī dalīts ar 2.

00:06:11.180 --> 00:06:14.150
Tagad, kad saprotam, kas ir arksinuss,

00:06:14.150 --> 00:06:17.110
atrisināsim vēl vienu uzdevumu.

00:06:17.110 --> 00:06:21.430
Atradīsim brīvu vietu un atrisināsim
vēl vienu arksinusa uzdevumu.

00:06:21.430 --> 00:06:26.540
Es varētu pajautāt, piemēram,
cik ir arksinuss –

00:06:26.540 --> 00:06:28.570
cik ir arksinuss

00:06:28.570 --> 00:06:32.520
no mīnus kvadrātsaknes no 3 dalīts ar 2 –

00:06:32.520 --> 00:06:36.480
no mīnus kvadrātsaknes no 3 dalīts ar 2.

00:06:36.480 --> 00:06:38.520
Varbūt tu uzreiz zini atbildi,

00:06:38.520 --> 00:06:42.220
ka sinuss no x jeb sinuss no tētas
ir kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

00:06:42.220 --> 00:06:44.730
Bet es to nezinu no galvas,

00:06:44.730 --> 00:06:46.851
tāpēc uzzīmēšu vienības riņķi.

00:06:46.851 --> 00:06:48.480
Ja runa ir par arksinusu,

00:06:48.480 --> 00:06:53.550
pietiek uzzīmēt tikai pirmo
un ceturto vienības riņķa kvadrantu.

00:06:53.550 --> 00:06:54.810
Lūk, y ass,

00:06:54.810 --> 00:06:56.890
un te – x ass.

00:06:56.890 --> 00:06:59.800
Atzīmējam x un y.

00:06:59.800 --> 00:07:01.300
Tātad – ko mēs zinām?

00:07:01.300 --> 00:07:04.360
Ja leņķa sinuss ir
mīnus kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2,

00:07:04.360 --> 00:07:06.933
tas nozīmē, ka y koordināta
uz vienības riņķa līnijas

00:07:06.933 --> 00:07:09.320
ir mīnus kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

00:07:09.320 --> 00:07:15.020
Tas būs aptuveni – tas būs aptuveni šeit.

00:07:15.020 --> 00:07:18.800
Tātad te būs
mīnus kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

00:07:18.800 --> 00:07:20.440
Tik tālu mēs būtu tikuši.

00:07:20.440 --> 00:07:24.160
Kādam leņķim atbilst šī vērtība?

00:07:24.160 --> 00:07:26.090
Padomāsim.

00:07:26.090 --> 00:07:31.600
Mūsu y koordināta ir
mīnus kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

00:07:31.600 --> 00:07:33.460
Lūk, arī leņķis.

00:07:33.460 --> 00:07:34.722
Tas būs negatīvs leņķis,

00:07:34.722 --> 00:07:39.130
jo tas ir zem x ass
pulksteņrādītāja virzienā.

00:07:39.130 --> 00:07:44.240
Lai šo atrisinātu, uzzīmēsim trijstūrīti –

00:07:44.240 --> 00:07:45.520
atradīšu labāku krāsu –

00:07:45.520 --> 00:07:48.040
lūk, trijstūris.

00:07:48.040 --> 00:07:52.740
Zīmēšu ar zilu.

00:07:52.740 --> 00:07:56.210
Uzzīmēsim šeit
šo trijstūri lielākā izmērā – šādi.

00:07:56.210 --> 00:07:58.530
Te ir tēta.

00:07:58.530 --> 00:08:00.660
Un kāds būs šīs malas garums?

00:08:00.660 --> 00:08:03.960
Tas atbilst y augstumam,
ja varam to tā nosaukt,

00:08:03.960 --> 00:08:06.020
un tas ir kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

00:08:06.020 --> 00:08:09.101
Zem x ass tas ir ar mīnus zīmi,
bet pagaidām izrēķināsim leņķi.

00:08:09.101 --> 00:08:11.960
Mēs zinām, ka tas būs negatīvs.

00:08:11.960 --> 00:08:14.340
Ceru, ka, redzot kvadrātsakni no 3
dalīts ar 2,

00:08:14.340 --> 00:08:16.870
tu atpazīsti trijstūri
ar 30,60, 90 grādu leņķiem.

00:08:16.870 --> 00:08:19.870
Šī mala ir kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2,
tā ir 1/2,

00:08:19.870 --> 00:08:21.250
un šī mala, protams, ir 1,

00:08:21.250 --> 00:08:24.630
jo šis ir vienības riņķis
un tā rādiuss ir 1.

00:08:24.630 --> 00:08:26.575
Trijstūrī ar 30, 60 un 90 grādu leņķiem

00:08:26.575 --> 00:08:30.500
kvadrātsaknei no 3 dalīts ar 2
pretī atrodas 60 grādu leņķis.

00:08:30.500 --> 00:08:32.610
Un šeit ir 30 grādu leņķis.

00:08:32.610 --> 00:08:36.100
Tātad mūsu tētas lielums ir 60 grādi.

00:08:36.100 --> 00:08:37.545
Taču tas ir lejupvērsts,

00:08:37.545 --> 00:08:39.970
tāpēc tie būs mīnus 60 grādi.

00:08:39.970 --> 00:08:43.240
Tātad leņķis tēta ir mīnus 60 grādi.

00:08:43.240 --> 00:08:45.210
Bet grādi mums vēl jāpārvērš radiānos –

00:08:45.210 --> 00:08:50.140
jāsareizina šis ar 180 –
atvaino, kļūdījos –

00:08:50.140 --> 00:08:54.540
ar pī radiāniem uz katriem 180 grādiem.

00:08:54.540 --> 00:08:56.070
Grādus varam noīsināt,

00:08:56.070 --> 00:08:57.250
un rezultātā iegūstam,

00:08:57.250 --> 00:09:04.090
ka tēta ir vienāda
ar mīnus pī dalīts ar 3 radiāniem.

00:09:04.090 --> 00:09:09.050
Tātad tagad varam apgalvot,

00:09:09.050 --> 00:09:12.650
ka arksinuss –

00:09:12.650 --> 00:09:16.280
ka arksinuss
no mīnus kvadrātsaknes no 3 dalīts ar 2

00:09:16.280 --> 00:09:20.130
ir vienāds ar mīnus pī
dalīts ar 3 radiāniem.

00:09:20.130 --> 00:09:26.118
Varam arī teikt, ka inversais sinuss
no mīnus kvadrātsaknes no 3 dalīts ar 2

00:09:26.118 --> 00:09:30.990
ir vienāds ar mīnus pī
dalīts ar 3 radiāniem.

00:09:30.990 --> 00:09:35.310
Lai pārliecinātos, ka atbilde ir pareiza,
ņemsim talkā kalkulatoru.

00:09:35.310 --> 00:09:38.270
Es jau esmu iestatījis radiānus.

00:09:38.270 --> 00:09:41.120
Tu vari to pārbaudīt,
nospiežot "2nd" un "Mode".

00:09:41.120 --> 00:09:43.040
Mans kalkulators ir radiānu režīmā.

00:09:43.040 --> 00:09:45.490
Cerams, ka varēšu apstiprināt
atbildes pareizību.

00:09:45.490 --> 00:09:49.510
Es tātad gribu noskaidrot inverso sinusu –

00:09:49.510 --> 00:09:51.610
"2nd" un tad "sin" podziņa –

00:09:51.610 --> 00:09:58.850
no mīnus kvadrātsaknes no 3 dalīts ar 2.

00:09:59.790 --> 00:10:03.900
Tas ir vienāds ar mīnus 1,04.

00:10:03.900 --> 00:10:11.110
Kalkulators saka,
ka šis ir vienāds ar mīnus 1,04 radiāniem.

00:10:11.110 --> 00:10:13.970
Tātad pī dalīts ar 3
jābūt vienādam ar 1,04.

00:10:13.970 --> 00:10:16.110
Pārbaudīsim.

00:10:16.730 --> 00:10:23.968
Ja pārbaudu mīnus pī dalīts ar 3,

00:10:23.968 --> 00:10:25.180
cik sanāks?

00:10:25.180 --> 00:10:26.670
Sanāk tieši tikpat.

00:10:26.670 --> 00:10:29.990
Ar kalkulatoru
ieguvām tieši to pašu vērtību,

00:10:29.990 --> 00:10:34.240
taču kalkulators nedod atbildi
mīnus pī dalīts ar 3 formā.