Quotient rule from product rule

Já sabemos
a regra do produto

se temos o produto
de duas funções-- digamos

f de x e g de x--
e queremos calcular

a derivada disso,

será igual a derivada

da primeira função, f linha de x, vezes

a segunda função g de x,
mais a primeira função

sem calcular a derivada,

mais f, de x vezes
a derivada da segunda função.

Em dois termos, em cada termo
calculamos a derivada de uma função

e não da outra, e alternamos.

Aqui a derivada é de f, não de g.

E aqui a derivada é de g, não da f.

Fazendo uma revisão.

Esta é a regra do produto.

O que essencialmente iremos fazer

é reaplicar a regra
do produto

o que muitos livros de Cálculo
chamam de regra do quociente.

Eu tenho sensações
diferentes sobre a regra do quociente.

Se você conhece a regra,
irá fazer cálculos

mais rápidos, mas partindo da

regra do produto.

Eu sempre
esqueço a regra do quociente,

e eu encontro a partir
da regra do produto.

Vamos ver do que estou falando.

Vamos imaginar que temos uma expressão

escrita por f de x dividida por g de x.

E que queremos calcular a derivada,

a derivada de f de x sobre g de x.

O ponto chave é reconhecer

que isto é o mesmo que a derivada de --

ao invés de escrever
f de f de x sobre g de x,

podemos escrever como
f de x vezes g de x elevado a menos um.

E daí podemos usar a regra do produto

com um pouco de regras.

O que isto resultará?

Vamos usar a regra do produto.

Será a derivada da primeira função
que está aqui--

vamos chamar de f linha de x--

vezes a segunda função, que é

g de x elevado a menos 1
mais a primeira função,

que é a f de x,
vezes a derivada

da segunda função.

E aqui vamos ter que usar
um pouco de

composição de funções.

A derivada da parte externa,

que será algo do tipo

elevado a menos um.

será menos um vezes,

neste caso g de x elevado a menos dois.

e temos que calcular a derivada

da função mais
interior em relação

a x, que será g linha de x.

e está pronto.

Encontramos a derivada disso

usando a regra do produto
e composição de funções.

Não é a forma que você

vê quando pessoas
estão falando

sobre a regra do quociente
em seu livro de matemática.

Vamos simplificar um pouco mais isso.

Tudo isso é igual a -- podemos
escrever este termo

logo aqui como f linha de x sobre g de x.

E poderíamos escrever tudo isso como--

poderíamos colocar
o negativo na frente

Temos menos f de x vezes g linha de x.

E tudo isso sobre g de x ao quadrado.

Melhorando um pouco a escrita.

Tudo isso sobre g de x ao quadrado.

E ainda não é a forma que você

normalmente encontra
em seu livro de cálculo.

Para fazer isso, temos que
adicionar essas duas frações.

Vamos multiplicar o
numerador e o denominador

aqui por g de x encontrando
tudo em função de

g de x ao quadrado no denominador.

Se multiplicarmos o numerador por g de x,

teremos g de x aqui e

o denominador será g de x ao quadrado.

Estando pronto para somar.

Derivando f de x

em relação a g de x é igual a
derivada de f de x vezes g

de x menos-- não é mais--
vou escrever

na cor branca-- f de x
vezes g linha de x,

tudo isso sobre g de x ao quadrado.

Mais uma vez, você pode sempre
derivar isso

pela regra do produto e
composição de funções

vamos relembrar a ordem

para trabalhar através de alguns
problemas deste tipo um pouco mais rápido.

E se você quer ver o padrão
entre a regra do produto

e a regra do quociente,
a derivada de uma função

somente multiplica a outra função.

E ao invés de adicionar a derivada

da segunda função multiplicado
pela primeira função,

E então subtraímos

E tudo isso sobre a segunda
função ao quadrado.

Entretanto estava no denominador,
tudo isso ao quadrado.

Quando encontramos a derivada

da função no denominador aqui acima,

existe uma subtração,
e nós vamos também colocar tudo

sobre a segunda função ao quadrado.

[legendado por Renata do Vale]