Já sabemos a regra do produto se temos o produto de duas funções-- digamos f de x e g de x-- e queremos calcular a derivada disso, será igual a derivada da primeira função, f linha de x, vezes a segunda função g de x, mais a primeira função sem calcular a derivada, mais f, de x vezes a derivada da segunda função. Em dois termos, em cada termo calculamos a derivada de uma função e não da outra, e alternamos. Aqui a derivada é de f, não de g. E aqui a derivada é de g, não da f. Fazendo uma revisão. Esta é a regra do produto. O que essencialmente iremos fazer é reaplicar a regra do produto o que muitos livros de Cálculo chamam de regra do quociente. Eu tenho sensações diferentes sobre a regra do quociente. Se você conhece a regra, irá fazer cálculos mais rápidos, mas partindo da regra do produto. Eu sempre esqueço a regra do quociente, e eu encontro a partir da regra do produto. Vamos ver do que estou falando. Vamos imaginar que temos uma expressão escrita por f de x dividida por g de x. E que queremos calcular a derivada, a derivada de f de x sobre g de x. O ponto chave é reconhecer que isto é o mesmo que a derivada de -- ao invés de escrever f de f de x sobre g de x, podemos escrever como f de x vezes g de x elevado a menos um. E daí podemos usar a regra do produto com um pouco de regras. O que isto resultará? Vamos usar a regra do produto. Será a derivada da primeira função que está aqui-- vamos chamar de f linha de x-- vezes a segunda função, que é g de x elevado a menos 1 mais a primeira função, que é a f de x, vezes a derivada da segunda função. E aqui vamos ter que usar um pouco de composição de funções. A derivada da parte externa, que será algo do tipo elevado a menos um. será menos um vezes, neste caso g de x elevado a menos dois. e temos que calcular a derivada da função mais interior em relação a x, que será g linha de x. e está pronto. Encontramos a derivada disso usando a regra do produto e composição de funções. Não é a forma que você vê quando pessoas estão falando sobre a regra do quociente em seu livro de matemática. Vamos simplificar um pouco mais isso. Tudo isso é igual a -- podemos escrever este termo logo aqui como f linha de x sobre g de x. E poderíamos escrever tudo isso como-- poderíamos colocar o negativo na frente Temos menos f de x vezes g linha de x. E tudo isso sobre g de x ao quadrado. Melhorando um pouco a escrita. Tudo isso sobre g de x ao quadrado. E ainda não é a forma que você normalmente encontra em seu livro de cálculo. Para fazer isso, temos que adicionar essas duas frações. Vamos multiplicar o numerador e o denominador aqui por g de x encontrando tudo em função de g de x ao quadrado no denominador. Se multiplicarmos o numerador por g de x, teremos g de x aqui e o denominador será g de x ao quadrado. Estando pronto para somar. Derivando f de x em relação a g de x é igual a derivada de f de x vezes g de x menos-- não é mais-- vou escrever na cor branca-- f de x vezes g linha de x, tudo isso sobre g de x ao quadrado. Mais uma vez, você pode sempre derivar isso pela regra do produto e composição de funções vamos relembrar a ordem para trabalhar através de alguns problemas deste tipo um pouco mais rápido. E se você quer ver o padrão entre a regra do produto e a regra do quociente, a derivada de uma função somente multiplica a outra função. E ao invés de adicionar a derivada da segunda função multiplicado pela primeira função, E então subtraímos E tudo isso sobre a segunda função ao quadrado. Entretanto estava no denominador, tudo isso ao quadrado. Quando encontramos a derivada da função no denominador aqui acima, existe uma subtração, e nós vamos também colocar tudo sobre a segunda função ao quadrado. [legendado por Renata do Vale]