Já sabemos a regra do produto
se temos o produto de duas funções-- digamos
f de x e g de x-- e queremos calcular
a derivada disso,
será igual a derivada
da primeira função, f linha de x, vezes
a segunda função g de x, mais a primeira função
sem calcular a derivada,
mais f, de x vezes a derivada da segunda função.
Em dois termos, em cada termo calculamos a derivada de uma função
e não da outra, e alternamos.
Aqui a derivada é de f, não de g.
E aqui a derivada é de g, não da f.
Fazendo uma revisão.
Esta é a regra do produto.
O que essencialmente iremos fazer
é reaplicar a regra do produto
o que muitos livros de Cálculo chamam de regra do quociente.
Eu tenho sensações diferentes sobre a regra do quociente.
Se você conhece a regra, irá fazer cálculos
mais rápidos, mas partindo da
regra do produto.
Eu sempre esqueço a regra do quociente,
e eu encontro a partir da regra do produto.
Vamos ver do que estou falando.
Vamos imaginar que temos uma expressão
escrita por f de x dividida por g de x.
E que queremos calcular a derivada,
a derivada de f de x sobre g de x.
O ponto chave é reconhecer
que isto é o mesmo que a derivada de --
ao invés de escrever f de f de x sobre g de x,
podemos escrever como f de x vezes g de x elevado a menos um.
E daí podemos usar a regra do produto
com um pouco de regras.
O que isto resultará?
Vamos usar a regra do produto.
Será a derivada da primeira função que está aqui--
vamos chamar de f linha de x--
vezes a segunda função, que é
g de x elevado a menos 1 mais a primeira função,
que é a f de x, vezes a derivada
da segunda função.
E aqui vamos ter que usar um pouco de
composição de funções.
A derivada da parte externa,
que será algo do tipo
elevado a menos um.
será menos um vezes,
neste caso g de x elevado a menos dois.
e temos que calcular a derivada
da função mais interior em relação
a x, que será g linha de x.
e está pronto.
Encontramos a derivada disso
usando a regra do produto e composição de funções.
Não é a forma que você
vê quando pessoas estão falando
sobre a regra do quociente em seu livro de matemática.
Vamos simplificar um pouco mais isso.
Tudo isso é igual a -- podemos escrever este termo
logo aqui como f linha de x sobre g de x.
E poderíamos escrever tudo isso como--
poderíamos colocar o negativo na frente
Temos menos f de x vezes g linha de x.
E tudo isso sobre g de x ao quadrado.
Melhorando um pouco a escrita.
Tudo isso sobre g de x ao quadrado.
E ainda não é a forma que você
normalmente encontra em seu livro de cálculo.
Para fazer isso, temos que adicionar essas duas frações.
Vamos multiplicar o numerador e o denominador
aqui por g de x encontrando tudo em função de
g de x ao quadrado no denominador.
Se multiplicarmos o numerador por g de x,
teremos g de x aqui e
o denominador será g de x ao quadrado.
Estando pronto para somar.
Derivando f de x
em relação a g de x é igual a derivada de f de x vezes g
de x menos-- não é mais-- vou escrever
na cor branca-- f de x vezes g linha de x,
tudo isso sobre g de x ao quadrado.
Mais uma vez, você pode sempre derivar isso
pela regra do produto e composição de funções
vamos relembrar a ordem
para trabalhar através de alguns problemas deste tipo um pouco mais rápido.
E se você quer ver o padrão entre a regra do produto
e a regra do quociente, a derivada de uma função
somente multiplica a outra função.
E ao invés de adicionar a derivada
da segunda função multiplicado pela primeira função,
E então subtraímos
E tudo isso sobre a segunda função ao quadrado.
Entretanto estava no denominador, tudo isso ao quadrado.
Quando encontramos a derivada
da função no denominador aqui acima,
existe uma subtração, e nós vamos também colocar tudo
sobre a segunda função ao quadrado.
[legendado por Renata do Vale]