Concavity, concave upwards and concave downwards intervals

O que tenho aqui em amarelo
é o gráfico de y igual a f de x.

E aqui em lilás fiz o gráfico de <i>y</i> igual
a derivada de f, que é f linha de x.

E aqui em azul, fiz o gráfico de <i>y</i> igual
a segunda derivada de nossa função.

Então essa é a derivada disso,

da primeira derivada que está aqui.

E já vimos exemplos de como podemos
identificar pontos mínimos e máximos.

Claramente, tendo o gráfico bem aqui
não é difícil para um cérebro humano

identificar que isso é um
ponto máximo local.

A função pode ter valores maiores
mais à frente.

E identificar isso como um
ponto mínimo local.

A função pode ter valores menores
mais à frente.

Mas vimos, mesmo não tendo
o gráfico na nossa frente

se formos capazes de ter a derivada
da função, talvez--

ou mesmo se não conseguimos
ter a derivada da função--

talvez possamos identificar esses
pontos como mínimo ou máximo.

Fizemos assim e, OK, quais são os
pontos críticos dessa função?

Bem, pontos críticos são onde
a derivada da função

é ou indefinida ou zero.

Essa é a derivada da função.

É zero aqui e aqui.

Então chamamos de pontos críticos.

E não vejo pontos onde a derivada
é indefinida por enquanto.

Então chamamos aqui e aqui
de pontos críticos.

Esses são pontos candidatos
onde a função pode ter

valor mínimo ou máximo.

E da forma que descobrimos quando
seria valor mínimo ou máximo foi

olhando o comportamento da derivada
em torno desse ponto.

E por aqui vemos que a derivada é positiva
quando nos aproximamos desse ponto.

E então se torna negativa.

Começa sendo positiva e fica negativa
quando cruzamos esse ponto.

O que significa que a função
estava crescendo.

Se a derivada é positiva, significa que

a função estava crescendo quando
nos aproximamos desse ponto,

e decrescendo quando
deixamos esse ponto,

que é uma boa maneira de pensar
nisso sendo um ponto máximo.

Se crescemos quando nos aproximamos
e decrescemos quando no afastamos,

então isso será um ponto máximo.

Similarmente, bem aqui podemos ver

que a derivada é negativa quando
nos aproximamos do ponto,

que significa que a função
está decrescendo.

E vemos que a derivada é positiva
quando saímos desse ponto.

Partimos de uma derivada negativa
para uma positiva, que significa

que a função começa decrescendo
e cresce bem em torno desse ponto,

o que é uma boa indicação,
ou que é a indicação,

que esse ponto crítico é onde
a função tem um valor mínimo.

O que quero fazer agora é extender as
coisas usando a ideia de concavidade.

Talvez eu esteja pronunciando essa
palavra errado, mas enfim,

pensando sobre concavidade,
podemos começar a olhar

para a segunda derivada mais
do que apenas olhar essa transição

para pensar onde isso é
ponto mínimo ou máximo.

Pensemos sobre o que
está acontecendo

nessa primeira região,
nessa parte da curva aqui

onde se parece com um arco
se abrindo para baixo,

onde parece um <i>A</i> sem o traço
ou um U de cabeça para baixo.

E então vamos pensar no que está
acontecendo nessa espécie de U da curva.

Nesse primeiro intervalo,
bem aqui, se começarmos aqui

a inclinação é bastante-- vou fazer na
cor... na verdade vou continuar na mesma

porque é a mesma cor que usei
para essa derivada.

A inclinação é bem positiva.

E se torna menos positiva.

Então se torna ainda menos positiva.

E vai para zero.

E continua decrescendo.

Agora se torna um pouco negativa,
e então ainda mais negativa,

e se torna ainda mais negativa.

E parece que para de decrescer
mais ou menos aqui.

Ela para de decrescer por aqui.
E vemos isso na derivada.

A inclinação está decrescendo
e decrescendo

até esse ponto, e então começa
a ficar crescente.

Em toda essa seção,
a inclinação está decrescendo.

Vemos isso bem aqui quando
pegamos a derivada.

A derivada bem aqui, nesse intervalo
inteiro, está decrescendo.

E também vemos quando temos
a segunda derivada.

Se a derivada é decrescente, significa
que a segunda derivada,

a derivada da derivada, é negativa.

Vemos que esse é mesmo o caso.

Sobre esse intervalo inteiro, a segunda
derivada é, sem dúvida, negativa.

Agora, o que acontece quando mudamos
para essa parte em U da curva?

Bem, aqui a derivada é
razoavelmente negativa.

É razoavelmente negativa por aqui.

Mas ainda continua negativa,
e então se torna menos negativa

e menos negativa e menos negativa...

E então zero.

Se torna zero bem aqui.

E fica mais e mais positiva.

Vemos isso aqui.

Sobre todo esse intervalo,
a inclinação ou a derivada está crescendo.

A inclinação está crescendo.

E vemos isso aqui.

Aqui a inclinação é zero.

A inclinação da derivada é zero.

A derivada por si só não está
mudando nesse momento.

Vemos que a inclinação
está crescendo.

Novamente, podemos visualizar

a segunda derivada, a derivada
da derivada.

Se a derivada está crescendo, significa
que a derivada deve ser positiva.

E esse é, definitivamente, o caso
onde a derivada é positiva.

Temos uma palavra para o <i>U</i>
de cabeça para baixo e o normal.

Chamamos de côncavo para baixo.

Vou ser mais claro.

Côncavo para baixo.

E chamamos esse de côncavo para cima.

Vamos revisar como podemos identificar

intervalos côncavos para baixo e
intervalos côncavos para cima.

Se estamos querendo côncavo para baixo,
vemos bastante coisa.

Vemos que a inclinação está decrescendo,

que é outra maneira de dizer que
f linha de x está decrescendo.

O que é outra maneira de dizer que
a segunda derivada deve ser negativa.

Se a primeira derivada está decrescendo,

a segunda derivada deve ser negativa,

o que é outra forma de dizer
que a segunda derivada

sobre esse intervalo deve ser negativa.

Se temos uma segunda
derivada negativa,

estamos num intervalo
côncavo para baixo.

Similarmente-- tenho dificuldade
de pronunciar essa palavra--

vamos pensar sobre côncavo para cima,

onde temos uma abertura em <i>U</i> para cima.
Côncavo para cima.

Nesses intervalos, a inclinação
está crescendo.

Temos uma inclinação negativa, menos
negativa... zero,

positiva, mais positiva,
ainda mais positiva.

A inclinação está crescendo.

O que significa que a derivada
da função está aumentando.

E vemos isso bem aqui.

A derivada aumenta em valor,

o que significa que a segunda derivada
sobre um intervalo

onde é côncavo para cima
deve ser maior que zero.

Se a segunda derivada é maior que zero,
então a primeira derivada está

crescendo, e significa que
a inclinação está crescendo.

Estamos num intervalo côncavo para cima.

Dadas essas definições que obtivemos
de côncavos para baixo e para cima,

podemos chegar a uma outra maneira
de identificar quando um ponto crítico

é um ponto mínimo ou ponto máximo?

Bem, se temos um ponto máximo,

se temos um ponto crítico onde
a função é côncava para baixo,

estaremos em um ponto máximo.

Côncavo para baixo-- sendo mais claros,
significa que se abre para baixo assim.

Quando estamos falando
de um ponto crítico,

se assumirmos que é côncavo
para baixo aqui,

estamos assumindo diferenciabilidade
nesse intervalo.

O ponto crítico será aquele
que a inclinação é zero.

Será esse ponto aqui.

Se é côncavo para baixo e temos
um ponto onde f linha de,

digamos, <i>a</i> é igual a zero,
temos um ponto máximo em a.

E similarmente, se é côncavo para cima,

significa que a nossa função
se parece com algo assim.

Se achamos um ponto, obviamente
um ponto crítico seria aonde

a função não é definida, mas se estamos
assumindo que nossa primeira derivada

e segunda derivada é definida aqui,
o ponto crítico será aquele

onde a primeira derivada será zero.

<i>f</i> linha de <i>a</i> é igual a zero.

E se <i>f</i> linha de <i>a</i> é igual a zero

e côncavo para cima no
intervalo ao redor de a -

se a segunda derivada
é maior que zero,

é bem claro, podemos ver aqui,

que estamos lidando com
um ponto mínimo em a.

[Legendado por Miguel Infante]
[Revisado por Pilar Dib]