0:00:00.200,0:00:04.270
O que tenho aqui em amarelo[br]é o gráfico de y igual a f de x.
0:00:04.270,0:00:10.870
E aqui em lilás fiz o gráfico de <i>y</i> igual[br]a derivada de f, que é f linha de x.
0:00:10.870,0:00:15.740
E aqui em azul, fiz o gráfico de <i>y</i> igual[br]a segunda derivada de nossa função.
0:00:15.740,0:00:18.380
Então essa é a derivada disso,
0:00:18.380,0:00:21.550
da primeira derivada que está aqui.
0:00:21.550,0:00:25.340
E já vimos exemplos de como podemos[br]identificar pontos mínimos e máximos.
0:00:25.345,0:00:29.140
Claramente, tendo o gráfico bem aqui[br]não é difícil para um cérebro humano
0:00:29.140,0:00:31.950
identificar que isso é um[br]ponto máximo local.
0:00:31.950,0:00:34.530
A função pode ter valores maiores[br]mais à frente.
0:00:34.530,0:00:37.540
E identificar isso como um[br]ponto mínimo local.
0:00:37.540,0:00:40.242
A função pode ter valores menores[br]mais à frente.
0:00:40.242,0:00:42.700
Mas vimos, mesmo não tendo[br]o gráfico na nossa frente
0:00:42.700,0:00:45.957
se formos capazes de ter a derivada[br]da função, talvez--
0:00:45.957,0:00:48.498
ou mesmo se não conseguimos[br]ter a derivada da função--
0:00:48.498,0:00:51.501
talvez possamos identificar esses[br]pontos como mínimo ou máximo.
0:00:51.501,0:00:55.090
Fizemos assim e, OK, quais são os[br]pontos críticos dessa função?
0:00:55.090,0:00:58.360
Bem, pontos críticos são onde[br]a derivada da função
0:00:58.360,0:01:00.099
é ou indefinida ou zero.
0:01:00.099,0:01:01.785
Essa é a derivada da função.
0:01:01.785,0:01:04.170
É zero aqui e aqui.
0:01:04.170,0:01:05.810
Então chamamos de pontos críticos.
0:01:05.810,0:01:10.610
E não vejo pontos onde a derivada[br]é indefinida por enquanto.
0:01:10.610,0:01:15.590
Então chamamos aqui e aqui[br]de pontos críticos.
0:01:15.590,0:01:19.740
Esses são pontos candidatos[br]onde a função pode ter
0:01:19.740,0:01:21.800
valor mínimo ou máximo.
0:01:21.800,0:01:25.220
E da forma que descobrimos quando[br]seria valor mínimo ou máximo foi
0:01:25.220,0:01:29.320
olhando o comportamento da derivada[br]em torno desse ponto.
0:01:29.320,0:01:41.220
E por aqui vemos que a derivada é positiva[br]quando nos aproximamos desse ponto.
0:01:41.220,0:01:42.910
E então se torna negativa.
0:01:42.910,0:01:46.500
Começa sendo positiva e fica negativa[br]quando cruzamos esse ponto.
0:01:46.500,0:01:48.760
O que significa que a função[br]estava crescendo.
0:01:48.760,0:01:50.679
Se a derivada é positiva, significa que
0:01:50.679,0:01:53.600
a função estava crescendo quando[br]nos aproximamos desse ponto,
0:01:53.600,0:01:56.220
e decrescendo quando[br]deixamos esse ponto,
0:01:56.220,0:01:59.384
que é uma boa maneira de pensar[br]nisso sendo um ponto máximo.
0:01:59.384,0:02:02.665
Se crescemos quando nos aproximamos[br]e decrescemos quando no afastamos,
0:02:02.665,0:02:06.490
então isso será um ponto máximo.
0:02:06.490,0:02:09.330
Similarmente, bem aqui podemos ver
0:02:09.330,0:02:14.630
que a derivada é negativa quando[br]nos aproximamos do ponto,
0:02:14.630,0:02:17.420
que significa que a função[br]está decrescendo.
0:02:17.420,0:02:20.930
E vemos que a derivada é positiva[br]quando saímos desse ponto.
0:02:20.940,0:02:24.540
Partimos de uma derivada negativa[br]para uma positiva, que significa
0:02:24.540,0:02:28.970
que a função começa decrescendo[br]e cresce bem em torno desse ponto,
0:02:28.970,0:02:31.960
o que é uma boa indicação,[br]ou que é a indicação,
0:02:31.960,0:02:38.720
que esse ponto crítico é onde[br]a função tem um valor mínimo.
0:02:38.720,0:02:46.620
O que quero fazer agora é extender as[br]coisas usando a ideia de concavidade.
0:02:46.620,0:02:50.060
Talvez eu esteja pronunciando essa[br]palavra errado, mas enfim,
0:02:50.060,0:02:53.220
pensando sobre concavidade,[br]podemos começar a olhar
0:02:53.220,0:02:56.850
para a segunda derivada mais[br]do que apenas olhar essa transição
0:02:56.850,0:03:01.280
para pensar onde isso é[br]ponto mínimo ou máximo.
0:03:01.280,0:03:03.300
Pensemos sobre o que[br]está acontecendo
0:03:03.300,0:03:06.030
nessa primeira região,[br]nessa parte da curva aqui
0:03:06.030,0:03:10.010
onde se parece com um arco[br]se abrindo para baixo,
0:03:10.010,0:03:13.720
onde parece um <i>A</i> sem o traço[br]ou um U de cabeça para baixo.
0:03:13.720,0:03:19.960
E então vamos pensar no que está[br]acontecendo nessa espécie de U da curva.
0:03:19.960,0:03:23.490
Nesse primeiro intervalo,[br]bem aqui, se começarmos aqui
0:03:23.490,0:03:27.780
a inclinação é bastante-- vou fazer na[br]cor... na verdade vou continuar na mesma
0:03:27.780,0:03:30.404
porque é a mesma cor que usei[br]para essa derivada.
0:03:30.404,0:03:33.210
A inclinação é bem positiva.
0:03:33.210,0:03:36.640
E se torna menos positiva.
0:03:36.640,0:03:39.790
Então se torna ainda menos positiva.
0:03:39.790,0:03:42.600
E vai para zero.
0:03:42.600,0:03:44.000
E continua decrescendo.
0:03:44.000,0:03:47.320
Agora se torna um pouco negativa,[br]e então ainda mais negativa,
0:03:47.320,0:03:51.200
e se torna ainda mais negativa.
0:03:51.200,0:03:56.359
E parece que para de decrescer[br]mais ou menos aqui.
0:03:56.359,0:03:59.380
Ela para de decrescer por aqui.[br]E vemos isso na derivada.
0:03:59.380,0:04:01.380
A inclinação está decrescendo[br]e decrescendo
0:04:01.380,0:04:04.970
até esse ponto, e então começa[br]a ficar crescente.
0:04:04.970,0:04:18.420
Em toda essa seção,[br]a inclinação está decrescendo.
0:04:18.420,0:04:21.950
Vemos isso bem aqui quando[br]pegamos a derivada.
0:04:21.950,0:04:27.290
A derivada bem aqui, nesse intervalo[br]inteiro, está decrescendo.
0:04:27.290,0:04:29.620
E também vemos quando temos[br]a segunda derivada.
0:04:29.620,0:04:32.990
Se a derivada é decrescente, significa[br]que a segunda derivada,
0:04:32.990,0:04:35.080
a derivada da derivada, é negativa.
0:04:35.080,0:04:38.320
Vemos que esse é mesmo o caso.
0:04:38.320,0:04:45.751
Sobre esse intervalo inteiro, a segunda[br]derivada é, sem dúvida, negativa.
0:04:45.751,0:04:51.160
Agora, o que acontece quando mudamos[br]para essa parte em U da curva?
0:04:51.160,0:04:54.150
Bem, aqui a derivada é[br]razoavelmente negativa.
0:04:54.150,0:04:56.250
É razoavelmente negativa por aqui.
0:04:56.250,0:04:59.780
Mas ainda continua negativa,[br]e então se torna menos negativa
0:04:59.780,0:05:04.660
e menos negativa e menos negativa...
0:05:04.670,0:05:05.980
E então zero.
0:05:05.980,0:05:08.000
Se torna zero bem aqui.
0:05:08.000,0:05:11.170
E fica mais e mais positiva.
0:05:11.170,0:05:12.890
Vemos isso aqui.
0:05:12.890,0:05:18.440
Sobre todo esse intervalo,[br]a inclinação ou a derivada está crescendo.
0:05:18.440,0:05:24.525
A inclinação está crescendo.
0:05:24.525,0:05:25.870
E vemos isso aqui.
0:05:25.870,0:05:27.560
Aqui a inclinação é zero.
0:05:27.560,0:05:29.950
A inclinação da derivada é zero.
0:05:29.950,0:05:33.220
A derivada por si só não está[br]mudando nesse momento.
0:05:33.220,0:05:37.089
Vemos que a inclinação[br]está crescendo.
0:05:37.089,0:05:38.630
Novamente, podemos visualizar
0:05:38.630,0:05:40.900
a segunda derivada, a derivada[br]da derivada.
0:05:40.900,0:05:44.680
Se a derivada está crescendo, significa[br]que a derivada deve ser positiva.
0:05:44.680,0:05:49.240
E esse é, definitivamente, o caso[br]onde a derivada é positiva.
0:05:49.240,0:05:55.270
Temos uma palavra para o <i>U</i>[br]de cabeça para baixo e o normal.
0:05:55.270,0:06:01.950
Chamamos de côncavo para baixo.
0:06:01.950,0:06:03.560
Vou ser mais claro.
0:06:03.560,0:06:07.920
Côncavo para baixo.
0:06:07.920,0:06:13.400
E chamamos esse de côncavo para cima.
0:06:13.400,0:06:15.330
Vamos revisar como podemos identificar
0:06:15.330,0:06:18.670
intervalos côncavos para baixo e[br]intervalos côncavos para cima.
0:06:18.670,0:06:27.690
Se estamos querendo côncavo para baixo,[br]vemos bastante coisa.
0:06:27.690,0:06:37.430
Vemos que a inclinação está decrescendo,
0:06:37.430,0:06:51.730
que é outra maneira de dizer que[br]f linha de x está decrescendo.
0:06:51.730,0:06:55.590
O que é outra maneira de dizer que[br]a segunda derivada deve ser negativa.
0:06:55.590,0:06:58.090
Se a primeira derivada está decrescendo,
0:06:58.090,0:07:00.460
a segunda derivada deve ser negativa,
0:07:00.460,0:07:03.350
o que é outra forma de dizer[br]que a segunda derivada
0:07:03.350,0:07:07.900
sobre esse intervalo deve ser negativa.
0:07:07.900,0:07:11.010
Se temos uma segunda[br]derivada negativa,
0:07:11.010,0:07:14.220
estamos num intervalo[br]côncavo para baixo.
0:07:14.220,0:07:18.070
Similarmente-- tenho dificuldade[br]de pronunciar essa palavra--
0:07:18.070,0:07:21.640
vamos pensar sobre côncavo para cima,
0:07:21.640,0:07:25.630
onde temos uma abertura em <i>U</i> para cima.[br]Côncavo para cima.
0:07:25.630,0:07:28.510
Nesses intervalos, a inclinação[br]está crescendo.
0:07:28.510,0:07:31.030
Temos uma inclinação negativa, menos[br]negativa... zero,
0:07:31.030,0:07:34.040
positiva, mais positiva,[br]ainda mais positiva.
0:07:34.040,0:07:41.760
A inclinação está crescendo.
0:07:41.760,0:07:50.690
O que significa que a derivada[br]da função está aumentando.
0:07:50.690,0:07:52.680
E vemos isso bem aqui.
0:07:52.680,0:07:56.240
A derivada aumenta em valor,
0:07:56.240,0:08:00.150
o que significa que a segunda derivada[br]sobre um intervalo
0:08:00.150,0:08:03.490
onde é côncavo para cima[br]deve ser maior que zero.
0:08:03.490,0:08:06.810
Se a segunda derivada é maior que zero,[br]então a primeira derivada está
0:08:06.810,0:08:09.440
crescendo, e significa que[br]a inclinação está crescendo.
0:08:09.440,0:08:14.630
Estamos num intervalo côncavo para cima.
0:08:14.630,0:08:20.290
Dadas essas definições que obtivemos[br]de côncavos para baixo e para cima,
0:08:20.290,0:08:23.850
podemos chegar a uma outra maneira[br]de identificar quando um ponto crítico
0:08:23.850,0:08:26.490
é um ponto mínimo ou ponto máximo?
0:08:26.490,0:08:28.420
Bem, se temos um ponto máximo,
0:08:28.420,0:08:33.860
se temos um ponto crítico onde[br]a função é côncava para baixo,
0:08:33.860,0:08:36.130
estaremos em um ponto máximo.
0:08:36.130,0:08:42.003
Côncavo para baixo-- sendo mais claros,[br]significa que se abre para baixo assim.
0:08:42.003,0:08:44.179
Quando estamos falando[br]de um ponto crítico,
0:08:44.179,0:08:46.304
se assumirmos que é côncavo[br]para baixo aqui,
0:08:46.304,0:08:48.944
estamos assumindo diferenciabilidade[br]nesse intervalo.
0:08:48.944,0:08:52.380
O ponto crítico será aquele[br]que a inclinação é zero.
0:08:52.380,0:08:54.810
Será esse ponto aqui.
0:08:54.810,0:09:00.130
Se é côncavo para baixo e temos[br]um ponto onde f linha de,
0:09:00.130,0:09:11.500
digamos, <i>a</i> é igual a zero,[br]temos um ponto máximo em a.
0:09:11.500,0:09:14.210
E similarmente, se é côncavo para cima,
0:09:14.210,0:09:17.340
significa que a nossa função[br]se parece com algo assim.
0:09:17.340,0:09:20.990
Se achamos um ponto, obviamente[br]um ponto crítico seria aonde
0:09:20.990,0:09:24.800
a função não é definida, mas se estamos[br]assumindo que nossa primeira derivada
0:09:24.800,0:09:28.410
e segunda derivada é definida aqui,[br]o ponto crítico será aquele
0:09:28.410,0:09:31.380
onde a primeira derivada será zero.
0:09:31.380,0:09:35.090
<i>f</i> linha de <i>a</i> é igual a zero.
0:09:35.090,0:09:38.130
E se <i>f</i> linha de <i>a</i> é igual a zero
0:09:38.130,0:09:42.020
e côncavo para cima no[br]intervalo ao redor de a -
0:09:42.020,0:09:44.250
se a segunda derivada[br]é maior que zero,
0:09:44.250,0:09:46.010
é bem claro, podemos ver aqui,
0:09:46.010,0:09:52.305
que estamos lidando com[br]um ponto mínimo em a.
0:09:52.305,0:09:53.775
[Legendado por Miguel Infante][br][Revisado por Pilar Dib]